124 176 Théorème. Soit (X, ∗) un espace pointé connexe

124 3. Groupoïdes fondamentaux et revêtements
☞176 Théorème. Soit (X, ∗)un espace pointé connexe, localement connexe[thm:revet-universel]
par arcs et semi-localement simplement connexe. Alors (X, ∗)a un revêtement
universel, qui est un revêtement principal de groupe π1(X, ∗), dont l’espace total
est connexe par arcs et simplement connexe.
Démonstration. Recouvrons Xpar des ouverts (non vides) (Ui)i∈Iconnexes
par arcs et assez petits pour que tout lacet de l’un de ces ouverts soit homotope à
un lacet constant dans X. Dans chaque Uichoisissons un point ai. Il est possible
de faire en sorte que a0soit le point de base ∗de X. Soit τiun chemin de ∗àai
(le chemin constant dans le cas de a0). Posons Ei=Ui×π1(X, ∗). On va recoller
les Ei(via une colimite dans Top) pour en faire l’espace total d’un revêtement
sur X.
Pour tout x∈Ui∩Uj, on choisit un chemin ude aiàxdans Uiet un chemin v
de ajàxdans Uj.
Ui
Uj
aiaj
∗
τi
τj
x
u
v
C’est possible puisque Uiet Ujsont connexes par arcs (ce qui n’est pas nécessai-
rement le cas de Ui∩Uj). De plus, les classes d’homotopie (dans X) de uet vne
dépendent pas des choix de uet v. En effet, si u�est un autre choix pour u, le
lacet u��u−1est homotope à un lacet constant dans X. On a donc [u�][u]−1= 1ai
dans le groupoïde fondamental Π(X, X), et par conséquent [u] = [u�]. On définit
le lacet γi,j (x) de (X, ∗) comme la concaténation τi�u�v−1�τ−1
j. Bien que ce lacet
dépende des choix de uet v, sa classe d’homotopie [γi,j (x)] n’en dépend pas.
Construction du revêtement : Pour chaque paire (i, j)deI×I, Posons Ei,j =
(Ui∩Uj)×π1(X, ∗). On définit les applications :
EiEj
Ei,j
αi,j
βi,j

3.8. Revêtement universel 125
par αi,j (x, [σ]) = (x, [σ]) et βi,j (x, [σ]) = (x, [σ][γi,j (x)]).( 6)
Les flèches αi,j et βi,j (pour tous les couples (i, j)) forment alors un diagramme
dans Top, et on définit Ecomme la colimite de ce diagramme. Chaque Eiet
chaque Ei,j se projette sur X(par (x, [σ]) �→ x), et ces projections, qui commutent
avec les flèches du diagramme, définissent une flèche (c’est-à-dire une application
continue) π:E→X. On notera [Ei, x, [σ]] l’image du couple (x, [σ]) ∈Eipar
l’insertion canonique θide Eidans la colimite E. On prend [E0,∗,1] comme point
de base ∗de E.
Il reste à montrer que πest un revêtement principal, que Eest connexe par arcs
et simplement connexe (lemme 173 (page 122)).
L’insertion canonique θi:Ei→Eest injective. En effet, Soient (x, [σ]) et (y, [τ])
deux éléments de Eitels que [Ei, x, [σ]] = [Ei, y, [τ]]. En appliquant πaux deux
membres de cette égalité, on obtient x=y. Il reste donc à prouver que [σ] = [τ].
La colimite Eest le quotient de l’union disjointe des Eipar la relation d’équiva-
lence engendrée par les équations [Ei, x, [σ]] ∼[Ej, x, [σ][γi,j (x)]]. Comme cette
équation est équivalente à [Ej, x, [σ]] ∼[Ei, x, [σ][γj,i(x)]], il suffit donc de prou-
ver que toute composition de la forme [γi1,i2(x)][γi2,i3(x)] ...[γin−1,in(x)], telle que
i1=in(= idans le cas qui nous intéresse), est égale à 1. Or, si u1, . . . , unsont
des chemins tels que ukrelie aikàxdans Uik,ona:
[γi1,i2(x)] ...[γin−1,in(x)] = [τi1u1u−1
2τ−1
i2]...[τin−1un−1u−1
nτ−1
in]
= [τi1u1u−1
nτ−1
in]
= 1
car u1=unet τi1=τin.
De plus, l’insertion canonique de Eidans Eest une application ouverte. En effet,
il suffit de montrer que si Vest un ouvert de Ei, alors pour tout j,θ−1
jθi(V) est
6. Noter qu’on peut intervertir iet j, et qu’on a donc les flèches
Ej,i
βj,i
αj,i
ϕj,i
EiEj
Ei,j
αi,j
βi,j
où ϕj,i(x, [σ]) = (x, [σ][γj,i(x)]). Ce diagramme est commutatif, ϕj,i est un homéomorphisme,
et on voit qu’on a une forme de redondance. On a également Ei,i =Eiet αi,i =βi,i = 1Ei.
Alternativement, on pourrait supposer Itotalement ordonné et ne considérer que les couples
(i, j) tels que i < j.

126 3. Groupoïdes fondamentaux et revêtements
un ouvert de Ej. Or, on a le diagramme commutatif :
E
Ei
θi
Ej
θj
Ej,i
βj,i
αj,i
fait d’applications injectives. En fait, il s’agit d’un carré cartésien. En effet, notons
Ple produit fibré (ensembliste usuel) des flèches θiet θj. On a le diagramme
commutatif :
E
Ei
θi
Ej
θj
P
Ej,i
βj,i
αj,i
ϕ
et, comme ϕest clairement injective, il y a juste à montrer qu’elle est surjective.
Un élément de Pest de la forme ((x, [σ]),(x, [τ])), où x∈Uj,i et où θi(x, [σ]) =
θj(x, [τ]). Compte tenu la définition de αj,i, un antécédent de ((x, [σ]),(x, [τ])) par
ϕne peut être que (x, [τ]). Il y a donc juste à montrer que βj,i(x, [τ]) = (x, [σ]), ce
qui résulte de l’injectivité de θiet de la commutativité du diagramme ci-dessus.
On en déduit que θ−1
jθi(V) = αj,iβ−1 j,i (V),( 7) qui est ouvert car αj,i est une
application ouverte.
Ceci montre que pour tout i, le carré :
Ei
p1
θiE
π
UiX
est cartésien (dans Top). En effet, donnons-nous deux applications continues
ϕ:Z→Uiet ψ:Z→E, telles que pour tout z∈Z, on ait π(ψ(z)) = ϕ(z). Alors
7. Cette propriété est la « condition de Beck-Chevalley », qui s’applique à tout carré cartésien
dans tout topos. Dans le cas de la catégorie des ensembles, c’est une propriété tout à fait
élémentaire laissée en exercice au lecteur.

3.8. Revêtement universel 127
πψ(z)∈Uiet ψ(z) est donc de la forme [Ei,ϕ(z),[σ]]. Définissons ζ:Z→Eien
posant ζ(z) = (ϕ(z),[σ]). L’injectivité de θimontre que ζest bien définie. Par
ailleurs, le composé θi◦ζ(qui est égal à ψ) est continu. Comme θiest injective
et ouverte, on voit que ζest continue. Par ailleurs, toujours par injectivité de θi,
elle est la seule flèche telle que θi◦ζ=ψ.
L’application πest donc un revêtement de fibre π1(X, ∗), et il est bien sûr trivial
au dessus de chaque Ui. Comme l’application [σ]�→ [σ][γi,j ] qui a servi plus haut
à définir βi,j est équivariante pour l’action à gauche de π1(X, ∗) sur lui-même (de
même bien sûr que l’application [σ]�→ [σ] qui sert à définir αi,j ), le revêtement
π:E→Xest principal de groupe π1(X, ∗).
Relèvement d’un chemin le long de π: Soit σun chemin de ∗à un point xde
X. Soit k∈Itel que x∈Uk, et soit uun chemin de akàxdans Uk. Nous allons
montrer que l’unique relèvement de σpartant de ∗aboutit à [Ek, x, [σ�u−1�τ−1
k]]
(ceci quel que soit le choix de u).
Uk−2
Uk−1
Uk
∗
ak−2
τk−2
ak−1
τk−1
ak
τk
x
σk
σxk−1
xk
u
v
w
Par compacité de l’intervalle [0,1], σest une concaténation de chemins σ0�. . . �σk,
où chaque σiest contenu dans un Ui. Si k= 0, σest contenu dans U0, et le
lacet σ�u−1�τ−1
0, qui est contenu dans U0est homotope à un lacet constant dans
(X, ∗). Autrement-dit, on a [σ�u−1�τ−1
0] = 1. Par ailleurs, dans le revêtement
trivial p1:U0×π1(X, ∗)→U0, le relèvement de σà partir de (∗,1) aboutit à
(x, 1), donc dans le revêtement π, le relèvement de σà partir de ∗ ∈ Eaboutit à
[E0, x, 1]. Supposons maintenant k > 0 et raisonnons par récurrence sur k. Soient
uet vdes chemins dans Ukde akàxet à xk(l’origine de σk) respectivement, et
wun chemin dans Uk−1de ak−1àxk. Par hypothèse de récurrence, le relèvement
de σ0�. . . �σk−1(qui va de ∗àxk) à partir de ∗ ∈ Eaboutit à
[Ek−1, xk,[σ0�. . . �σk−1�w−1�τ−1
k−1]]

128 3. Groupoïdes fondamentaux et revêtements
Or, par définition de la colimite E, cet élément est le même que
[Ek, xk,[σ0�. . . �σk−1�w−1�τ−1
k−1�τk−1�w�v−1�τ−1 k]]
c’est-à-dire [Ek, xk,[σ0�. . . �σk−1�v−1�τ−1
k]], ou encore
[Ek, xk,[σ0�. . . �σk�u−1�τ−1
k]]
puisque v−1est homotope à σk�u−1dans Xpar l’hypothèse de connexité
simple semi-locale. Comme par ailleurs le revêtement est trivial au dessus de
Uk, on voit que le relèvement du chemin σà partir de ∗ ∈ Eaboutit à
[Ek, x, [σ0�. . . �σk�u−1�τ−1
k]], ce qui termine cette preuve par récurrence.
Eest connexe par arcs : Si maintenant σest un lacet de (X, ∗), l’unique
relèvement de σà partir de ∗ ∈ Eaboutit donc à [E0,∗,[σ�u−1�τ−1
0]] (où uest
un lacet contenu dans U0), c’est-à-dire à [E0,∗,[σ]]. Comme [σ]∈π1(X, ∗) est
arbitraire, on voit que tout point de la fibre de πau dessus de ∗ ∈ Xpeut être
relié par un chemin à ∗∈E. Comme par ailleurs, la connexité par arcs de Xet
le théorème de relèvement des chemins montrent que tout point de Epeut être
relié à un point de cette fibre, on voit que Eest connexe par arcs.
Eest simplement connexe : Soit enfinσun lacet de (E, ∗). π◦σest alors un
lacet de (X, ∗), dont le relèvement à partir de ∗ ∈ Eest σ. Comme ce relèvement
aboutit à [E0,∗,[π◦σ]], on a [π◦σ] = 1. Ainsi, π◦σest homotope à un lacet
constant, et il en est donc de même de σpar relèvement de cette homotopie. ❏
☞177 Remarque. Le théorème 176 s’applique en particulier aux variétés topologiques
connexes de dimension n(n∈N), c’est-à-dire aux espaces (connexes) localement homéomorphes
àRn.
☞178 Théorème. Soit (X, ∗)un espace pointé connexe, localement connexe
par arcs et semi-localement simplement connexe. Soit Hun sous-groupe (non
nécessairement distingué) de π1(X, ∗). Alors il existe un revêtement pointé π:
(E, ∗)→(X, ∗)tel que Hsoit l’image de π∗:π1(E, ∗)→π1(X, ∗). De plus, ce
revêtement a H\π1(X, ∗)comme fibre.(8)
Démonstration. Il résulte du théorème 176 (page 124) que (X, ∗) a un revête-
ment universel π:E→X, et que π1(X, ∗) agit librement (à gauche) sur E(car
πest un revêtement principal). Ainsi, Hagit librement à gauche sur E, et on a la
projection π:E=H\E→X. Il est immédiat que πest un revêtement (qui n’est
généralement pas principal( 9)) vérifiant les dernières affirmations de l’énoncé. ❏
8. Où H\π1(X, ∗) est le quotient de π1(X, ∗) par l’action à gauche de H. Lire : « Hsous
π1(X, ∗) ».
9. On va voir plus loin en 186 (page 132) qu’il l’est si et seulement si Hest distingué dans
π1(X, ∗).