DM : Revêtements des groupes topologiques

Groupe fondamental et revêtements pour le lundi 23 février 2015
DM : Revêtements des groupes topologiques
Soit Gun groupe topologique 1connexe et localement connexe par arcs. On note eson
élément neutre. Soit p:e G→Gun revêtement connexe et ˜e∈p−1(e). L’objet du problème
est de définir une structure de groupe topologique sur e Gavec pour élément neutre ˜eet
telle que psoit un morphisme de groupes.
1. Montrer que pest galoisien.
2. On définit deux applications (continues) met ipar :
m:e
G×e G→G
(a, b)7→ p(a)p(b)i:e
G→G
a7→ p(a)−1
(i) Montrer qu’il existe un unique application continue ˜m:e G×e G→e Gtelles
que p◦˜m=met ˜m(˜e, ˜e) = ˜e.
(ii) Montrer qu’il existe une unique application continue ˜ i:e G→e Gtelle que
p◦˜ i=iet ˜ i(˜e) = ˜e.
3. Montrer les relations :
˜m( ˜m(a, b), c)) = ˜m(a, ˜m(b, c)) et ˜m(˜ i(a), a) = 
4. En déduire que ˜mdéfinit une structure de groupes sur e Gd’élément neutre ˜e, "d’ap-
plication inverse" ˜ iet telle que psoit un morphisme de groupes.
5. Soit ˜e0un autre élément de p−1(e). La construction précédente fournit une autre
structure de groupe sur e Gd’élément neutre ˜e0notée ˜m0. Montrer qu’il existe un
unique automorphisme gdu revêtement ptel que g(˜e) = ˜e0et que c’est un isomor-
phisme de groupes (e G, ˜m)→(e G, ˜m0).
6. (i) Déterminer toutes les structures de groupe topologique sur R(muni de la
topologie usuelle) telles que l’application :
p:R→S1
t7→ ei2πt
soit un morphisme continu de groupes.
(ii) Montrer qu’il existe un groupe topologique compact, connexe par arcs et
simplement connexe, noté Spin(3), et un revêtement
p: Spin(3) →SO(3,R)
qui est un morphisme continu de groupes. À quoi est isomorphe le noyau de p? A
quel espace bien connu Spin(3) est-il homéomorphe ?
1. C’est-à-dire que Gest muni d’une topologie pour laquelle les applications (g, h)7→ gh et g7→ g−1
sont continues.
ENS Lyon 1 L3