Le chapitre 3 de mon cours de topologie algébrique : Groupoïdes

Le chapitre 3 de mon cours de topologie algébrique : Groupoïdes fondamen-
taux et revêtements. Les différences avec le cours 2012 se trouvent dans les
sections 3.7 et 3.8.

Chapitre 3
Groupoïdes fondamentaux et
revêtements
3.1 Chemins
☞122 Définition. Soit Xun espace topologique, aet bdeux points de X.
Un « chemin (de X)deaàb» est une application continue γ: [u, u +l]→X
(où uet lsont deux réels et 0≤l), telle que γ(u) = aet γ(u+l) = b. Le réel l
est appelé la « longueur » du chemin γ(qui peut être nulle). Si u= 0 et l= 1,
on dit que le chemin γ: [0,1] →Xest « standard ». Si γ: [u, u +l]→Xest
un chemin quelconque, le chemin standard γdéfini par γ(s) = γ(u+sl)est
appelé le « standardisé de γ».
Les points aet bsont appelés respectivement l’« origine » et l’« extrémité »
de γ.aet bseront aussi appelés « les extrémités de γ». Il est clair que tout
chemin a les mêmes extrémités (et la même image) que son standardisé.
☞123 Définition. Soient γ: [u, u+l]→Xet δ: [x, x+k]→Xdeux chemins
d’un espace topologique X. On dit que « δest concaténable à γ» si l’origine de
δest l’extrémité de γ(i.e. δ(x) = γ(u+l)). Si tel est le cas, la concaténation
γδ: [u, u +l+k]→Xest le chemin défini par
(γδ)(s) = γ(s)si s∈[u, u +l]
δ(s−u−l+x)si s∈[u+l, u +l+k]
L’application γδest bien définie car pour u+l≤s≤u+l+k, on a x≤
s−u−l+x≤x+k,etγ(u+l)étant égal à δ(x), le théorème 468 (page
99

100 3. Groupoïdes fondamentaux et revêtements
394) montre que γδest une fonction continue. Noter également que si deux
chemins sont concaténables, il en est de même de leurs standardisés (puisque
la standardisation ne modifie pas les extrémités).
☞124 Lemme. La concaténation des chemins est associative, et les chemins
de longueur nulle sont neutres pour la concaténation.
Démonstration. Soient γ: [u, u +l]→X,δ: [x, x +k]→Xet : [y, y +m]→
Xtrois chemins de X, tels que γ(u+l)=δ(x)et δ(x+k) = (y). La définition
123 nous donne
((γδ))(s) = 
γ(s)si s∈[u, u +l]
δ(s−u−l+x)si s∈[u+l, u +l+k]
(s−u−l−k+y)si s∈[u+l+k, u +l+k+m]
Par ailleurs, elle donne
(δ)(s) = δ(s)si s∈[x, x +k]
(s−x−k+y)si s∈[x+k, x +k+m]
et comme (s−u−l+x)−x−k+y=s−u−l−k+y, on voit que
((γδ))(s) = (γ(δ))(s). L’assertion concernant les chemins de longueur
nulle est triviale. ❏
En conséquence, pour toute paire topologique (X, A), on a une catégorie
Chem(X, A)des « chemins de Xrelatifs à A». Les objets de Chem(X, A)
sont les éléments de A, et les flèches de a∈Avers b∈Asont les chemins
de aàb. La composition des flèches est la concaténation des chemins et le
chemin de longueur nulle en a∈A, est l’identité de a.
☞125 Lemme. Chem est un foncteur (covariant) de la catégorie Top2 des
paires topologiques vers la catégorie Cat des petites catégories.
Démonstration. On a déjà construit Chem sur les objets. Soit f: (X, A)→
(Y, B)une application continue. Si γ: [u, u +l]→Xest un chemin de Xde
a∈Aàb∈A, le composé f◦γ: [u, u +l]→Yest un chemin de f(a)∈Bà
f(b)∈B. Il est immédiat que cette correspondance préserve la concaténation
et les chemins de longueur nulle. ❏
☞Exercice 24. En remarquant que Chem(f) : Chem(X, A)→Chem(Y, B)
préserve la longueur des chemins, montrer que Chem n’a pas d’adjoint à
gauche. Montrer que Chem n’a pas non plus d’adjoint à droite. Montrer que
Chem préserve quand-même les produits et les sommes.
☞126 Définition. Soit Xun espace topologique, aet bdeux points de X,
γ: [u, u +l]→Xet δ: [x, x +k]→Xdeux chemins de aàb(on a donc

3.1. Chemins 101
γ(u) = δ(x)=aet γ(u+l)=δ(x+k) = b). On dit que « γest homotope à
δ» s’il existe une application continue (appelée une « homotopie de γàδ»)
h: [0,1] ×[0,1] →Xtelle que
h(0, s) = γ(u+sl)pour tout s∈[0,1]
h(1, s) = δ(x+sk)pour tout s∈[0,1]
h(t, 0)=apour tout t∈[0,1]
h(t, 1)=bpour tout t∈[0,1]
☞127 Lemme. Tout chemin est homotope à son standardisé.
Démonstration. Soit γ: [u, u +l]→Xun chemin, et δ: [0,1] →Xson
standardisé. On a δ(s)=γ(u+sl)pour tout s∈[0,1]. Il suffit de poser
h(t, s)=γ(u+sl). On a alors en effet :
h(0, s) = γ(u+sl)
h(1, s) = γ(u+sl)=δ(s) = δ(0 + s×1)
h(t, 0)=γ(u) = a
h(t, 1)=γ(v) = b
❏
☞128 Remarque. On peut éventuellement s’étonner du fait que l’homotopie hde la
démonstration précédente ne fasse pas intervenir t. La raison est qu’une homotopie entre
deux chemins est juste par définition une homotopie entre leurs standardisés. Du point de
vue de l’homotopie, un chemin est donc essentiellement indiscernable de son standardisé, ce
qui fait que l’homotopie de la démonstration précédente est « constante par rapport à t».
☞129 Définition. Un chemin γ: [u, u +l]→Xd’un espace topologique X
est dit « constant » si γest une application constante.
On a dans ce cas γ(s)=a(où aest un point de X) pour tout s∈[u, u +l]. Les
extrémités d’un tel chemin sont aet a. Le standardisé d’un chemin constant
est évidemment constant. Si un chemin γ: [u, u +l]→Xest tel que l= 0
(ce qui est permis par la définition 122), et si γ(u)=a, il est le « chemin de
longueur nulle en a» et il est bien sûr constant.
☞130 Lemme. Soit Xun espace topologique, aet bdeux points de X.
L’homotopie entre chemins de aàbest une relation d’équivalence.
Démonstration. On a vu que deux chemins sont homotopes si et seule-
ment si leurs standardisés sont homotopes. Il suffit donc de démontrer que
l’homotopie est une relation d’équivalence entre chemins standard. Mais
ceci résulte immédiatement du lemme 108 (page 84) appliqué aux triades
([0,1],{0},{1})et (X, {a},{b}).❏

102 3. Groupoïdes fondamentaux et revêtements
Bien sûr, deux chemins qui ont le même standardisé sont homotopes.
☞131 Lemme. L’homotopie est une congruence sur la catégorie Chem(X, A).
Démonstration. Il s’agit de montrer que si les chemins γet γde aàbsont
homotopes, et si les chemins δet δde bàcsont homotopes, alors les chemins
γδet γδ(de aàc) sont homotopes. Soit h1une homotopie de γàγet h2
une homotopie de δàδ. On a
h1(0, s)=γ(u+sl)h2(0, s)=δ(x+sk)
h1(1, s)=γ(u+sl)h2(1, s)=δ(x+sk)
h1(t, 0)=a h2(t, 0)=b
h1(t, 1)=b h2(t, 1)=c
Il suffit de poser h(t, s)=h1(t, 2s)pour s∈[0,1
2]et h(t, s)=h2(t, 2s−1) pour
s∈[1
2,1]. Pour s=1 2, on a h1(t, 2s)=b=h2(t, 2s−1). La fonction hest donc
bien définie et continue sur [0,1] ×[0,1]. Par ailleurs, c’est une homotopie de
γδàγδ.❏
En particulier, on voit que bien que le standardisé d’une concaténation γδ
ne soit pas la concaténation des standardisés de γet δ(puisque le premier
est défini sur [0,1] et la seconde sur [0,2]), ces deux chemins sont homotopes.
☞132 Lemme. Soit f: (X, A)→(Y, B)une application continue. Si les
chemins γet δde a∈Aàb∈Asont homotopes, il en est de même des
chemins f◦γet f◦δ.
Démonstration. Comme une homotopie entre chemins est une homotopie
entre leurs standardisés, ceci résulte immédiatement du lemme 109 (page
84). ❏
Soient γ: [u, u+l]→Xun chemin de aàbd’un espace topologique X. On pose
γ−1(s) = γ(2u+l−s). Noter que γ−1est bien défini, car pour si u≤s≤u+l,
on a u≤2u+l−s≤u+l. De plus γ−1(u)=γ(u+l) = bet γ−1(u+l) = γ(u) = a.
L’origine de γ−1est donc l’extrémité de γet réciproquement. γ−1est appelé
le « chemin inverse de γ».
☞133 Lemme. Pour tout chemin γde aàbdans un espace topologique X,
γγ−1est homotope au chemin de longueur nulle en aet γ−1γest homotope
au chemin de longueur nulle en b.
Démonstration. Soit γ: [u, u +l]→Xun chemin de aàbde X.