Test 1 du 10/02/2011 - IMJ-PRG

Universit´e Paris Diderot – Paris 7 10/02/2011
U.F.R. de Math´ematiques B. Keller et C. Leruste
M1 de Math´ematiques : Topologie alg´ebrique M2406
TEST No1
NOM :
Pr´enom :
1) a) Qu’est-ce qu’un espace topologique connexe ?
b) Montrer que l’adh´erence d’une partie connexe d’un espace topologique est
encore connexe.
c) Qu’est-ce qu’un espace topologique connexe par arcs ? L’adh´erence d’une
partie connexe par arcs d’un espace topologique est-elle encore connexe par
arcs ? (on justifiera la r´eponse par une d´emonstration ou un exemple).
2) Pour un nombre complexe znotons Czle cercle de rayon 1 autour de z, c’est-
`a-dire le sous-espace
Cz={u∈C| |u−z|= 1 }
du plan C. Montrer que C0n’est pas hom´eomorphe `a la r´eunion C−1∪C1
(faire un dessin !).