TD5

Groupe fondamental et revêtements TD 5 23 février 2015
TD 5 : Revêtements, suite
Exercice 1.— [Examen 2014] Tore, Klein, Möbius, Projectif
On considère, parmi les isométries affines de R2, le sous-groupe Gengendré par les deux
applications :
a(x, y) = (x, y + 1), b(x, y)=(x+ 1,−y)
et le sous-groupe Hengendré par aet b2.
1. Montrer que p:R2→R2/G = K et q:R2→R2/H = T sont des revêtements.
2. Donner les groupes fondamentaux de Ket T.
3. Montrer que pinduit un revêtement r:R2/H →R2/G. Donner son groupe d’auto-
morphismes.
4. Si M= (R×[−, ])/hbi, quel est le groupe fondamental de l’objet obtenu en
recollant à Mrespectivement un disque ou deuxième copie de Mle long de son
bord (qui est un cercle).
Exercice 2.— [Examen 2014] Groupes fondamentaux finis
Soit Xun espace topologique connexe et localement connexe par arcs tel que π1(X, x)
soit un groupe fini. Soit f:X→Eune application continue.
1. Rappeler pourquoi la propriété “π1(X, x)est fini” ne dépend pas du point base x.
2. Si E= S1, montrer que fest homotope (librement et même relativement à {x}) à
une constante.
3. Qu’en est-il pour E= Tn?
4. Qu’en est-il pour E= Sn?
5. Donner des conditions suffisantes les plus générales possibles sur l’espace topologique
Epour que toute application, d’un espace Xdont le groupe fondamental est fini, à
valeurs dans E, soit homotope à une constante.
Exercice 3.— Un revêtement non galoisien
Dans R2, on considère l’espace E=R×Z∪Z×R.
1. Montrer que la restriction à Ede la projection R2→R2/Z2est un revêtement du
bouquet de 2cercles.
2. On place R2dans R3, on retire {0,1}×]0,1[ àZet on lui ajoute les images de [0,1]
par t7→ (t, t, t −t2)et t7→ (1 −t, t, t2−t). On appelle Yl’espace obtenu, montrer
que Yest encore un revêtement du bouquet de 2cercles.
3. En observant les relevés du lacet aba−1b−1, montrer que Aut(Y) = {id}.
Exercice 4.— Un revêtement galoisien non séparé
Soit l’action de Zsur R2\{0}engendrée par la transformation φ(x, y) = (2x, y/2). Montrer
que X→X/Zest un revêtement, puis montrer que X/Zn’est pas séparé.
ENS Lyon 1 L3