TD5

Groupe fondamental et revêtements
TD 5
23 février 2015
TD 5 : Revêtements, suite
Exercice 1.— [Examen 2014] Tore, Klein, Möbius, Projectif
On considère, parmi les isométries affines de R2 , le sous-groupe G engendré par les deux
applications :
a(x, y) = (x, y + 1), b(x, y) = (x + 1, −y)
et le sous-groupe H engendré par a et b2 .
1. Montrer que p : R2 → R2 /G = K et q : R2 → R2 /H = T sont des revêtements.
2. Donner les groupes fondamentaux de K et T.
3. Montrer que p induit un revêtement r : R2 /H → R2 /G. Donner son groupe d’automorphismes.
4. Si M = (R × [−, ])/hbi, quel est le groupe fondamental de l’objet obtenu en
recollant à M respectivement un disque ou deuxième copie de M le long de son
bord (qui est un cercle).
Exercice 2.— [Examen 2014] Groupes fondamentaux finis
Soit X un espace topologique connexe et localement connexe par arcs tel que π1 (X, x)
soit un groupe fini. Soit f : X → E une application continue.
1. Rappeler pourquoi la propriété “π1 (X, x) est fini” ne dépend pas du point base x.
2. Si E = S1 , montrer que f est homotope (librement et même relativement à {x}) à
une constante.
3. Qu’en est-il pour E = Tn ?
4. Qu’en est-il pour E = Sn ?
5. Donner des conditions suffisantes les plus générales possibles sur l’espace topologique
E pour que toute application, d’un espace X dont le groupe fondamental est fini, à
valeurs dans E, soit homotope à une constante.
Exercice 3.— Un revêtement non galoisien
Dans R2 , on considère l’espace E = R × Z ∪ Z × R.
1. Montrer que la restriction à E de la projection R2 → R2 /Z2 est un revêtement du
bouquet de 2 cercles.
2. On place R2 dans R3 , on retire {0, 1}×]0, 1[ à Z et on lui ajoute les images de [0, 1]
par t 7→ (t, t, t − t2 ) et t 7→ (1 − t, t, t2 − t). On appelle Y l’espace obtenu, montrer
que Y est encore un revêtement du bouquet de 2 cercles.
3. En observant les relevés du lacet aba−1 b−1 , montrer que Aut(Y ) = {id}.
Exercice 4.— Un revêtement galoisien non séparé
Soit l’action de Z sur R2 \{0} engendrée par la transformation φ(x, y) = (2x, y/2). Montrer
que X → X/Z est un revêtement, puis montrer que X/Z n’est pas séparé.
ENS Lyon
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