Existence d`un revêtement universel

Existence d’un revêtement universel
Pour tout lacet σde (X, ∗), on note [σ]∈π1(X, ∗)sa classe d’homotopie. On notera ∗le lacet
constant en ∗et donc [∗]sa classe d’homotopie.
Rappelons qu’un espace topologique Xest dit « semi-localement simplement connexe » si
pour tout point x∈X, il existe un voisinage Vde xdans X, tel que le morphisme de
groupes π1(V, x)→π1(X, x)induit par l’inclusion de Vdans Xsoit trivial. Ceci signifie
qu’un lacet de (V, x), qu’il soit ou qu’il ne soit pas homotope à un lacet constant dans V, est
homotope à un lacet constant dans X.
On utilisera le fait que si xet ysont reliés par un chemin τdans un tel ouvert V, la classe
d’homotopie [τ]de τdans Xne dépend pas de τ, puisque que si τ0est un autre chemin de x
àydans V, le lacet τ ? τ0−1est homotope à un lacet constant dans X.
+1 Théorème. Soit (X, ∗)un espace pointé connexe, localement connexe par arcs et
semi-localement simplement connexe. Alors (X, ∗)a un revêtement universel, qui est un
revêtement principal de groupe π1(X, ∗), dont l’espace total est connexe par arcs et simple-
ment connexe.
Démonstration. Posons G=π1(X, ∗). Pour tout x∈X, notons [∗, x]l’ensemble des classes
d’homotopies de chemins de Xde ∗àx. Noter que Gagit à gauche sur [∗, x]et que cette
action est libre est transitive. Enfin soit
E=a
x∈X
[∗, x]
l’union disjointe de la famille des ensembles [∗, x]. Un élément de Eest donc une paire
(x, [σ]), où xest un élément de Xet σun chemin de ∗àxdans X. Le groupe Gagit à
gauche librement sur E. On prendra le point ∗= (∗,[∗]) pour point de base dans E. Pour
tout Uouvert de Xconnexe par arcs et tel que tout lacet de Usoit homotope dans Xà un
lacet constant, on considère le sous-ensemble
EU=a
x∈U
[∗, x]
de E. Soit x0∈Uet soit ϕ:EU→U×[∗, x0]l’application qui envoie tout (x, [σ]) de EUsur
(x, [σ ? τ]), où τest un chemin de xàx0dans U. Noter que [σ ? τ]ne dépend pas du choix
de τà cause du fait que deux chemins de Ude mêmes extrémités sont homotopes dans X.
L’application ϕest donc bien définie et ne dépend que de Uet de x0. Par ailleurs, elle est
bijective avec pour inverse l’application définie par ϕ−1(x, [σ]) = (x, [σ ? τ−1]), où τest à
nouveau un chemin dans Ude xàx0.
On munit l’ensemble [∗, x0]de la topologie discrète et EUde l’unique topologie telle que
ϕ:EU→U×[∗, x0]soit un homéomorphisme. Il est alors clair que la projection canonique
EU→Uest un revêtement trivial. On recouvre Xpar des ouverts Uiayant les propriétés
de l’ouvert Uprécédent, et on munit Ede la topologie finale pour la famille des injections
EUi→E. Noter qu’une partie de Eest ouverte si et seulement si son intersection avec
chaque EUiest un ouvert de EUi. Il s’en suit que EUivu comme un sous-espace topologique
de Ea la topologie définie plus haut faisant de ϕun homéomorphisme.
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La projection p:E→Xest alors un revêtement, puisque la restriction pi:p−1(Ui)→Uide
pàp−1(Ui)n’est autre que la projection canonique EUi→Ui, qui est un revêtement trivial.
De plus, pest un revêtement principal de groupe G.
Si τ: [0,1] →Xest un chemin de ∗àx, et σun lacet de (X, ∗), l’unique relèvement de τ
à partir de (∗,[σ]) ∈Eaboutit à (τ(1),[σ][τ]) ∈E. En effet, on a l’application ˜τ: [0,1] →E
donnée par ˜τ(t)=(τ(t),[σ][s7→ τ(ts)]) (noter que le chemin σ ? (s7→ τ(ts)) va de ∗àτ(t)),
qui est clairement continue, qui est telle que ˜τ(0) = (∗,[σ]) et p◦˜τ=τ, et qui est donc
l’unique relèvement de τà partir de (∗,[σ]) ∈E. Ce relèvement aboutit à (τ(1),[σ][τ]) ∈E.
Pour voir que le revêtement p:E→Xest universel, il suffit de montrer que Eest connexe
par arcs et simplement connexe. Comme pest un revêtement et comme Xest connexe par
arcs, il suffit pour montrer que Eest connexe par arcs de montrer que pour tout point (∗,[σ])
de p−1(∗)il existe un chemin de (∗,[∗]) à(∗,[σ]) dans E. Or, l’unique relèvement du lacet
σà partir de (∗,[∗]) est précisément un tel chemin. Enfin, si σest un lacet de (E, (∗,[∗])),
σ0=p◦σest un lacet de (X, ∗), et σest l’unique relèvement de σ0à partir de (∗,[∗]), et ce
relèvement aboutit à (∗,[σ0]). On a donc [σ0]=[∗], c’est-à-dire [σ0]=1∈π1(X, ∗), et comme
p∗:π1(E, ∗)→π1(X, ∗)est injectif, on a [σ]=1∈π1(E, ∗).o
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