Groupes libres et groupe fondamental

Groupes libres et groupe fondamental
Gaël Cousin dirigé par Jean-Romain Heu
Table des matières
1 Correspondance entre sous-groupes et revêtements. 1
2 Le groupe fondamental d’un graphe est un groupe libre 4
3 Tout revêtement d’un graphe est un graphe 6
4 Calcul des générateurs de sous-groupes de F26
4.1 Exemple1............................. 7
4.2 Exemple2............................. 8
Bibliographie 9
1 Correspondance entre sous-groupes et revêtements.
Tous les espaces topologiques considérés sont connexes et localement
connexes par arc. Toutes les applications entre espaces topologiques sont
continues.
Définition 1. Soit Xun espace topologique, un revêtement de Xest un
espace topologique ˜ Xmuni d’une application p:˜ X→Xqui respecte la
condition suivante : il existe un recouvrement d’ouverts (Uα)de Xtel que,
pour tout α,p−1(Uα)soit union disjointe d’ouverts chacun envoyé homéo-
morphiquement sur Uαpar p. Si xest élément de Uα, on dit que Uαest un
voisinage élémentaire de x.
On utilise les résultats suivant, les assertions d’unicité sont importantes.
Proposition 1 (relèvement).Soient f: (Y, y0)→(X, x0)et ˜x0∈p−1(x0).
Il existe ˜ f: (Y, y0)→(˜ X, ˜x0)telle que ˜ f(y0) = ˜x0et p˜ f=fsi et seulement
si f∗(Π(Y, y0)) ⊂p∗(Π(X, x0)). Le cas échéant, ˜ fest unique.
Proposition 2 (relèvement des homotopies).Soit f0:Y→Xet (ft)une
homotopie de f0. Si f0=p˜ f0, pour une certaine fonction ˜ f0:Y→˜ X, alors
il existe une unique homotopie (˜ ft)de ˜ f0, tel que, pour tout t,p˜ ft=ft.
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Avec Yun singleton on obtient le relèvement des chemins, avec Yun
segment on obtient le relèvement des homotopies de chemins. On considèrera
uniquement des homotopies de chemins qui fixent les extrêmités du chemin
au cours du temps. Si on relève une telle homotopie de chemins en γt,t7→
γt(1) et t7→ γt(0) sont localement constantes et continues donc constantes,
on a donc encore une homotopie qui fixe les extrêmités.
On en déduit :
Proposition 3. Soient (˜ X, p)un revêtement de X,x0∈Xet ˜x0∈p−1(x0).
Si p∗est le morphisme induit par p, alors p∗: Π( ˜ X, ˜x0)→Π(X, x0)est
injectif.
Démonstration. Soit fun chemin fermé de ˜ Xde point de base ˜x0tel que
g0:= pf est homotope au chemin constant en x0. Soit (gt)qui réalise cette
homotopie, g0se relève en f, donc (gt)se relève en une homotopie (˜gt)de
f= ˜g0. Reste à voir que g1est un chemin constant, donc ˜g1aussi.
Donc certains sous-groupes de Π(X, x0)sont réalisés comme groupes fon-
damentaux de revêtements de X. Avec certaines hypothèses, on peut réaliser
tous les sous-groupes Hde Π(X, x0)de cette façon.L’idée est de faire agir le
sous-groupe considéré sur les fibres du revêtement universel de X.
Définition 2. Soit (˜ X, p)un revêtement de Xet gun élément de Π(X, x0).
Si x∈p−1(x0), on relève un représentant fde gen un chemin ˜ fpartant de
xet on définit x.g comme le point d’arrivée de ˜ f. Cette définition ne dépend
pas du choix du représentant fcar les homotopies de chemin se relèvent. On
dira que cette action est l’action à droite de Π(X, x0).
Si ˜ Xest le revêtement universel de Xet si ˜x0est dans p−1(x0), Dans
un quotient Qde ˜ Xoù les points de l’orbite de ˜x0sous l’action de Hsont
identifiés, on peut espérer que Π(Q, cl(˜x0)) soit isomorphe à H. Il faudrait
aussi que ce quotient donne un revêtement de X.
Définition 3. Soient (˜ X1, p1)et (˜ X2, p2)deux revêtements d’un espace to-
pologique X. Un morphisme de revêtement de ˜ X1vers ˜ X2est une application
ϕtelle que le diagramme suivant commute.
˜
X1
ϕ//
p1
ÃÃ
A
A
A
A
A
A
A
˜
X2
p2
~~}
}
}
}
}
}
}
X
Si, de plus, ϕest un homéomorphisme, on dit que c’est un isomorphisme de
revêtement.
Proposition 4. Si (˜ X, p)est un revêtement de Xet ˜x0∈p−1(x0)sont
tels que p∗(Π( ˜ X, ˜x0)) est distingué dans Π(X, x0), alors pour tout point ˆx0
il existe un unique automorphisme ϕde (˜ X, p)tel que ϕ(˜x0) = ˆx0.
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Démonstration. Ceci est un corollaire du théorème de relèvement puisque
p∗(Π( ˜ X, ˜x0)) est un conjugué de p∗(Π( ˜ X, ˆx0)).
Cette proposition dit que le groupe des automorphismes de (˜ X, p)agit
transitivement sur p−1(x0).
Le résultat suivant conclut la partie. Sa preuve sera suivie dans des
exemples concrets en fin d’exposé.
Proposition 5. Si (X, x0)a un revêtement (˜ X, ˜x0)simplement connexe
alors, pour tout sous-groupe Hde Π(X, x0), il existe un revêtement (XH, p)
de Xet un point de base ˆx0tels que p∗(Π(XH,ˆx0)) = H.
Démonstration. Pour tout h∈H, d’après la proposition précédente il existe
un automorphisme ϕhde ˜ Xtel que ϕh(˜x0) = ˜x0.h. Ainsi, Hagit sur ˜ X:
on notera h.x := ϕh(x), de sorte que nous considérerons une action à
droite et une action à gauche de H.
Considérons le quotient ˜ X/H de ˜ Xpar l’action à gauche de Het notons
rla projection sur le quotient. L’application ppasse au quotient car les fibres
de psont stables sous cette action. Soit π:˜ X/H →Xtelle que πr =p, i.e.
telle que le diagramme suivant commute.
˜
Xr
//
p
""
D
D
D
D
D
D
D
D
D˜
X/H
π
²²
X
(˜ X/H, π)est un revêtement de X.
En effet, soient x∈Xet Uxun voisinage élémentaire de xpour p, on
va montrer que Uxest un voisinage élémentaire pour π. Soient ˜x, ˆx∈p−1(x)
tels que r(˜x) = r(ˆx)et U˜xet Uˆxles voisinages de ˜xet ˆxrespectivement
qui sont envoyés homéomorphiquement sur Uxpar p. Soit h∈Htel que
ϕh(˜x) = ˆx.ϕh(U˜x) = Uˆxcar ϕhest un homéomorphisme et commute avec
p, Ainsi r(U˜x) = r(Uˆx). De plus, comme pl’est, πest ouverte et π|r(U˜x)est
un homéomorphisme. Uxdonne bien un voisinage élémentaire de xpour π.
Soit ˆx0:= r(˜x0). Considérons
Ψ : H−→ Π( ˜ X/H, ˆx0)
h7−→ relèvement de hpartant de ˆx0.
π∗Ψ∗=idHdonc π∗: Π( ˜ X/H, ˆx0)→Hest surjectif. Ce morphisme est
aussi injectif comme (˜ X/H, π)est un revêtement de X. D’où le résultat.
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2 Le groupe fondamental d’un graphe est un groupe
libre
Définition 4. Un graphe est un complexe cellulaire composé de cellules de
dimension inférieure à 1.
Définition 5. – Un arbre est un graphe simplement connexe, en parti-
culier un arbre est connexe.
– Quand on parlera d’un arbre dans un graphe, il sera entendu que l’arbre
en question est un sous-graphe (i.e. un sous-complexe cellulaire).
Proposition 6. Un arbre est contractile. On peut même préscrire le sommet
v0sur lequel on veut contracter l’arbre.
Démonstration. On procède suivant les étapes que voici :
1. On construit l’homotopie rtsur {u} × Ipour tout sommet ude A.
2. On prolonge rtsur a×Ipour chaque arête ade A.
3. On montre que l’on a ainsi défini une application continue sur A×I.
1. Soit v0un sommet de A,pour tout sommet ude Achoisissons A(u)un
sous-arbre fini de Aqui contient uet v0. Fixons t7→ rt(u)un chemin
de uàv0dans A(u).
2. Soient aune arête de A,uet vles sommets de a,a×Iest homéomorphe
a un carré, et r0, r1, rt(u), rt(v)sont déterminés. on a une application
continue sur le bord d’un carré dont l’image est dans A(u)∪A(v)∪a
qui est un sous graphe connexe d’un arbre donc un arbre ; cet arbre est
simplement connexe, on peut donc prolonger cette application conti-
nument à tout le carré.
3. On a défini une application ftelle que f(t, x) = rt(x)dont la restriction
au produit a×Iest continue pour chaque arête a. La topologie de
complexe cellulaire de A×Idonne la continuité de f.
Proposition 7. Soit G un graphe, tout arbre Ade Gest contenu dans un
arbre maximal de G.
Démonstration. On utilise le lemme de Zorn. Considérons l’ensemble des
arbres de Gqui contiennent A. On doit montrer que cet ensemble est inductif,
cela signifie que si on en prend un sous-ensemble totalement ordonné non
vide, il a une borne supérieur. Soit {Ai, i ∈I}un tel sous-ensemble, la
réunion ∪i∈IAiest encore un arbre qui donne la borne supérieure voulue.
On a une caractérisation commode des arbres maximaux d’un graphe :
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Proposition 8. Soit Aun arbre d’un graphe connexe G.Aest maximal si
et seulement si tous les sommets de Gsont des sommets de A.
Démonstration. Supposons Amaximal.
Si set est un sommet de Gqui n’est pas dans Aet s1est un sommet
de A, par connexité de G, il existe un chemin réduit a1, .., ande s1àsdans
G, on voit -par récurrence sur n- que ce chemin contient une arête aidont
le point de départ est dans Aet dont le point d’arrivée n’est pas dans A,
A∪aiest un arbre strictement plus grand que A, ce qui est contraire à la
maximalité de A.
Réciproquement, supposons que Acontient tous les sommets de G. Soient
aune arête de Gqui n’est pas dans Aet uet vses sommets. Il existe un
unique chemin réduit de uàvdans A, ajouter l’arête aàAen donnerait un
second, donc a∪An’est pas un arbre.
On utilise le résultat général suivant.
Proposition 9. Si Xest un complexe cellulaire et Yest un sous-complexe
contractile de X, alors la projection π:X→X/Y est une équivalence
d’homotopie.
On applique ce résultat à un graphe connexe et un arbre maximal.
Proposition 10. Soient Gun graphe connexe et Aun arbre maximal de G.
La projection π:G→G/A est une équivalence d’homotopie.
Reste à voir le résultat suivant.
Proposition 11. Soient Gun graphe connexe et Aun arbre maximal de G.
G/A est un bouquet de cercle ∧(S1
i)i∈I, de plus la projection π:G→G/A
induit une bijection Ψ : {Arêtes de G\A} → {S1
i, i ∈I};a7→ π(a).
Démonstration. Soit aune arête de G\A,π(a)est un segment avec les
sommets identifiés, c’est donc un cercle S1
i. Soit bune autre arête de G\A,
π(a)∩π(b) = π(A)donc π(a)6=π(b).
On peut maintenant conclure la partie.
Proposition 12. Le groupe fondamental d’un graphe connexe Gest un
groupe libre. De plus, si Aest un arbre maximal de Get s0est un som-
met de de G, on peut décrire un système de générateurs de Π(G, s0).
– Pour tout sommet s, notons csl’unique chemin réduit de s0àsdans
A.
– Orientons une fois pour toute les arêtes de G\A. Soit aune telle arête,
de sommet initial set de sommet final s0, définissons le chemin fermé
γa:= csa(cs0)−1.
Un système de générateurs du groupe libre Π(G, s0)est {γa, a arête de G\A}.
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