Terminale S Les ROC d`analyse à connaître. Vous trouverez ici les

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Terminale S Restitution Organisée de Connaissance (ROC d’analyse) Sujets de Bac
1
Terminale S
Les ROC d’analyse à connaître.
Vous trouverez ici les démonstrations que vous avez officiellement dues faire en cours (dans le programme).
Il est important de préciser que cela ne signifie en aucun cas qu’il ne faille pas connaître les autres…
D’autres ROC classiques seront aussi traitées, mais sachez que le jour du Bac, vous pouvez très bien avoir
une ROC que vous n’aurez jamais traité ou une ROC à démontrer différemment.
C’est pourquoi votre intérêt n’est pas d’apprendre les démonstrations par cœur, mais plutôt de comprendre
comment elles fonctionnent, quelle est l’idée directrice des raisonnements, quels sont les prérequis…
ROC sur les suites
Définition : Une suite admet pour limite
+∞
si pour tout réel A, tous les termes de la suite à partir d’un
certain rang sont dans un intervalle de la forme
[ ; [
A
+ ∞
. La définition est la même pour
−∞
, mais les termes
seront dans un intervalle
] ; ]
A
− ∞ .
Autrement dit, une suite tend vers
+∞
si , , n
A N tel que n N on a u A
∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ≥ ≥
.
Théorème : Si une suite (un) est croissante et non majorée, alors lim n
nu →+∞
= +∞
; si une suite (un) est
décroissante et non minorée, alors lim n
nu →+∞
= −∞
.
Démo : Soit (un) une suite croissante et non majorée.
Par définition, comme (un) est non majorée, pour tout réel A, il existe un terme
N
u
de la suite tel que N
u M
>.
Mais comme la suite est croissante, pour tout n > N,
n N
u u
>.
Nous avons donc prouvé que pour tout réel A, à partir d’un certain rang N, on aura n
u M
> pour n > N ,ce qui
correspond à la définition de tendre vers
+∞
.
La démonstration est analogue pour
−∞
.
Définition : On dit que deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si :
( )
,
lim 0
n n
n n
n n
n
u v
u croissante v décroissante
v u
→∞
≤
− =
.
Théorème : Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont même limite L.
De plus on a
n n
u L v
≤ ≤
.
Démo : Soient deux suites adjacentes (un) et (vn).
On a
0
n n
u v v
≤ ≤
car v est décroissante donc majorée par son premier terme : ainsi, la suite u est croissante et
majorée, donc elle converge. On note L sa limite.
On montre de même (faite le) que la suite v est décroissante minorée donc elle converge ; on note L’ sa limite.
Comme on a
(
)
lim 0
n n
nv u →∞
− =
, on obtient L – L’ = 0 donc L = L’.
Enfin, la suite u étant croissante, on a n
u L
≤
et comme v décroît,
n
L v
≤
d’où
n n
u L v
≤ ≤
.

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ROC sur les fonctions : théorème des gendarmes
Définition : On dit que la fonction f tend vers le réel L quand x tend vers
+∞
si le nombre f(x) peut être
rendu aussi proche de L que l’on veut, pour x assez grand. On notera lim ( )
x
f x L
→+∞
=
.
Autrement dit, en terminale, lim ( )
x
f x L
→+∞
=
si pour tout intervalle J qui contient L, alors J contient aussi tous
les f(x) pour x assez grand.
Théorème : Soit f, g, h trois fonctions définies sur un intervalle
[
[
;I a
= + ∞
telles que
( ) ( ) ( )
f x h x g x
≤ ≤ sur I.
Si
lim ( ) lim ( )
x x
f x L g x
→+∞ →+∞
= = , alors h admet une limite en +
∞
et on a lim ( )
x
h x L
→+∞
=
.
Démo : Soit J un intervalle contenant L.
Comme
lim ( ) lim ( )
x x
f x L g x
→+∞ →+∞
= = , par définition pour x suffisamment grand f(x) et g(x) sont dans J.
Comme pour tout x
( ) ( ) ( )
f x h x g x
≤ ≤ , h(x) est également dans J pour ces mêmes valeurs de x.
Donc h vérifie la définition de lim ( )
x
h x L
→+∞
=
.
ROC sur les fonctions continues : TVI et corollaire
Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Démo : il s’agit ici de formaliser le principe de dichotomie que vous devez connaître. Si tel n’est pas le cas,
cette démonstration vous paraîtra encore plus compliquée… Mais qu’est ce qu’elle est belle !!
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I avec
a b
≤
.
Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Définissons maintenant deux suites (an) et (bn) :
• On pose 0
a a
=
et 0
b b
=
: on a donc
[
]
0 0
( ) ; ( )
k f a f b∈
• Supposons que les termes an et bn soient construits et tels que
[
]
( ) ; ( )
n n
k f a f b
∈, et définissons les
termes suivants (récurrence…). Plaçons nous alors dans l’intervalle
[
]
;
n n
a b
et calculons
2
n n
a b
u f + = .
Si k est supérieur à u, nous posons 1 1 ,
2
n n
n n n
a b
a b b
+ +
+
= =
.
Si k est inférieur à u, nous posons 1 1 ,
2
n n
n n n
a b
a a b
+ +
+
= = .
Dans tous les cas on sera sûr que
[
]
1 1
( ) ; ( )
n n
k f a f b
+ +
∈.
• Par construction, an est croissante, bn est décroissante et en plus, comme à chaque fois on prend le
milieu de l’intervalle, 1 1 1
( )
2
n n n n
b a b a
+ +
− = − .
La suite
(
)
n n
b a
− est donc géométrique de raison ½ donc elle tend vers 0.
• Ces deux suites sont donc adjacentes, donc elles convergent. Notons c leur limite commune.
Comme f est continue,
lim ( ) lim ( ) ( )
n n
n n
f a f b f c
→∞ →∞
= = .

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• Enfin, pour tout n,
( ) ( )
n n
f a k f b
≤ ≤ par construction, et d’après le théorème des gendarmes,
lim ( ) lim ( ) ( )
n n
n n
k f a f b f c
→+∞ →+∞
= = = .
Théorème des valeurs intermédiaires (bis) : Soit f une fonction continue, strictement monotone sur un
intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c compris
entre a et b tel que f(c) = k.
Démo : L’existence de c a été démontrée ci-dessus. Démontrons maintenant son unicité pour les fonctions
strictement monotones.
Supposons que f est strictement croissante par exemple.
Soit c’ un autre antécédent de k.
Si c < c’, par monotonie de f, f(c) < f(c’), cad k < k ! Absurde !
Il est clair que si c > c’, la même absurdité apparaît. On a donc c’ = c, d’où l’unicité.
ROC sur la dérivation
Définition : Soit f une fonction définie sur I, et a un réel de I (qui ne soit pas une borne de I).
On dit que la fonction f est dérivable en a si
( ) ( )
lim
x a
f x f a
x a
→
−
− existe et est finie.
On notera alors
( ) ( )
'( ) lim
x a
f x f a
f a x a
→
−
=−, nombre dérivé de la fonction en a.
Théorème : Soient u et v deux fonctions telle que la composée soit définie sur I.
Si u et v sont dérivables alors
u v
est dérivable et on a
(
)
(
)
' ' '
u v v u v
= × cad
(
)
(
)
'( ) '( ) ' ( )
u v x v x u v x
= × .
Principe de la démo : Soient u et v deux fonctions dérivables.
On a
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
u v x u v a u v x u v a
u v x u v a v x v a
x a x a v x v a x a
− −
− −
= = ×
− − − −
  .
Posons X = v(x) et A = v(a) : alors
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
u X u A
u v x u v a v x v a
x a X A x a
−
− −
= ×
− − −
  . Regardons la limite de ces
rapports quand x tend vers a.
• Comme v est dérivable, elle est continue et donc
lim ( ) ( )
x a
v x v a
→
= cad lim
x a
X A
→
=
.
Par conséquent,
(
)
(
)
(
)
(
)
lim lim '( )
x a X A
u X u A u X u A
u A
X A X A
→ →
− −
= =
− − puisque u est dérivable.
• Comme v est dérivable, ( ) ( )
lim '( )
x a
v x v a
v a
x a
→
−=
−.
Ainsi, par produit,
( )
( ) ( )
lim '( ) '( ) '( ) ' ( )
x a
u v x u v a
v a u A v a u v a
x a
→
−= × = ×
−
.

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4
ROC sur l‘intégration et les primitives
L’objectif est ici d’établir l’existence d’une primitive pour les fonctions continues, croissantes et positives, et
le lien avec la notion d’aire sous la courbe.
Le résultat sera ensuite admis pour les fonctions continues.
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est
dérivable et si pour tout x de I, F’(x) = f(x).
Théorème : Soit f une fonction continue, croissante et positive sur [a ;b]. Alors F admet une primitive sur cet
intervalle.
Démo : Soit D le domaine défini par l’ensemble des points M(x ; y) tels que : 
a ≤ x ≤ b
0 ≤ y ≤ f(x) .
Soit x0 dans [a ;b], F(x0) l’aire du domaine défini par 
a ≤ x ≤ x0
0 ≤ y ≤ f(x) .
• Pour tout h > 0 tel que x0+h soit dans I, F(x0+h) − F(x0) est l’aire du domaine 0 0
0 ( )
x x x h
y f x
≤ ≤ +
≤ ≤
,
hachurée en bleu sur le graphique.
• On peut alors encadrer cette aire par l’aire du petit rectangle de coté h /
0
( )
f x
et par l’aire du grand
rectangle de coté h / 0
( )
f x h
+
. On obtient donc 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
h f x F x h F x h f x h
× ≤ + − ≤ × +
, cad
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
F x h F x
f x f x h
h
+ −
≤ ≤ +
.
• Renouvelons cet encadrement pour h < 0, il vient 0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
F x h F x
f x h f x
h
+ −
+ ≤ ≤ .
La fonction f étant continue, on a lim
h→0 f(x0+h) = f(x0) : par conséquent, d’après le théorème des gendarmes,
0 0
0
0
( ) ( )
lim ( )
h
F x h F x
f x
h
→
+ − =. Par définition, la fonction F est donc dérivable en x0 et on a
0 0
'( ) ( )
F x f x
=.
La fonction f admet donc une primitive, F.
y=f(x)
b
ax0x0
+h
f(xo)
f(xo+h)
h
0 1
1
x
y

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5
Théorème (admis) : On admet que le résultat précédent se généralise aux fonctions continues, cad que si f est
définie et continue sur un intervalle I alors f admet une primitive sur I.
Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un point de I.
Alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(a) = 0 : cette primitive sera notée
( ) ( )
x
a
F x f t dt
= .
Démo :
Existence : D’après le théorème précédent, l’existence d’une primitive de f sur I est établie. Soit donc G une
primitive de f sur I. Alors, la fonction F(x) = G(x) – G(a) est bien une primitive de f qui s’annule en a.
Unicité : Soient F et G deux primitives de f sur I telles que F(a) = G(a) = 0.
On a F’(x) = G’(x) = f(x) donc sur I, (F-G)’ = 0 donc la fonction F – G est constante sur I : il existe donc un
réel k tel que F = G + k.
Comme F(a) = G(a), on trouve k = 0 et donc F = G. F est bien unique.
ROC sur la construction de l’exponentielle
Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que f ’ = f et f(0) = 1.
Résultat Préliminaire : Si f est une fonction dérivable sur telle que f ’ =k f et f(0) = 1 alors f ne
s’annule pas sur .
Démo : Soit g(x) = f(x)f(-x), dérivable sur .
On a g’(x) = f ’(x)f(-x) –f(x)f ’(-x) = kf(x)f(-x) –f(x)( kf(-x) ) = 0 : g est donc constante et comme
g(0) = 1, pour tout x on a g(x) = 1.
Comme g(x) = f(x)f(-x), g ne peut donc pas s’annuler.
Unicité
Soient f et g deux fonctions solution de notre équation y’ = y avec f(0) = g(0) = 1 : posons alors
f
h
g
=
(g ne
s’annule pas, résultat préliminaire), fonction dérivable sur .
On a 2 2
' '
' 0
f g g f fg gf
hg g
− −
= = =
puisque f’ = f et g’ = g : la fonction h est donc constante sur , et comme
h(0) = 1, pour tout x,
( )
1
( )
f x
g x
=
d’où f = g. L’unicité est démontrée.
Existence
→
L’existence est en général (plus ou moins démontrée) à l’aide de la méthode d’Euler et des approximations
affines.
Nous allons ici démontrer l’existence de cette fonction d’une manière « plus propre », à l’aide du logarithme
népérien.
• La fonction 1/x est continue sur
]0 ; [
+ ∞
, elle admet donc une unique primitive qui s’annule en 1 sur
cet intervalle (théorème précédent) : nous notons ln(x) cette fonction, et donc ln(1) = 0.
Par dérivation des fonctions composées on a :
( )
'
ln '
f
f
f
=
.