nombres complexes : cours et exercices

Nombres complexes
Table des matières
I Cours 3
1 Les opérations + et ×3
1.1 Propriétésdesopérations ...................................... 3
1.2 Intégrité................................................ 4
1.3 R,Q,Z,N, stabilité par les opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Présentation de C6
2.1 Propriétés caractéristiques de C................................... 6
2.2 Parties réelles et imaginaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Lienaveclagéométrieduplan ................................... 7
2.3.1 Affixeetcoordonnées .................................... 7
2.3.2 Lienaveclesopérations ................................... 8
2.4 Conjugaison.............................................. 9
2.4.1 Définitionetpropriétés ................................... 9
2.4.2 Orthogonalité......................................... 10
2.5 Module ................................................ 10
2.5.1 Définition et propriétés simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.2 Inégalitétriangulaire..................................... 11
2.5.3 En géométrie : alignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Les fonctions cosinus et sinus 11
3.1 Propriétésadmises .......................................... 11
3.2 Formulesd’addition ......................................... 12
3.3 Duplication .............................................. 13
3.4 Tangente ............................................... 13
4 Exponentielle complexe 13
4.1 Définition de l’exponentielle sur U................................. 13
4.2 Morphisme .............................................. 14
4.3 Définition de l’exponentielle sur C................................. 15
5 Trigonométrie 16
5.1 Linéarisation ............................................. 16
5.2 Factorisation ............................................. 16
5.3 Méthode : quand développer, quand factoriser ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.4 Phaseetamplitude.......................................... 17
5.5 Équationstrigonométriques ..................................... 18
5.6 Écriture exponentielle d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.7 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1

6 Interlude : applications linéaires 20
7 Géométrie 20
7.1 Interprétation géométrique de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.1.1 Multiplication par eiθ .................................... 20
7.1.2 Multiplication par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1.3 Résumé, et autres transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.2 Calculd’angle............................................. 22
7.3 Alignement .............................................. 22
7.4 Milieu ................................................. 23
7.5 En résumé : formules de géométrie à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Exercices 23
1 Opérations sur les nombres 1
2 Module, conjugué, notions générales 1
3 Trigonométrie 2
4 Application à la géométrie 3
2

Première partie
Cours
La définition précise de Cet de ses opérations +et ×n’est pas au programme. Nous allons dans cette
première partie énumérer les propriétés élémentaires de cet ensemble et de ces opérations, sans les justifier :
ce seront nos axiomes.
En fait, pour la plupart des chapitres nous procéderons ainsi : on admet un petit d’assertions de base, et
on voit tout ce qu’on peut en déduire. C’est précisément cela la démarche mathématique.
1 Les opérations + et ×
1.1 Propriétés des opérations
On commence par énumérer les propriétés de l’addition + et de la multiplication ×. Elles vont vous
paraître évidentes, mais elles prendront leur importance au second semestre lorsque nous étudierons d’autre
additions et d’autre multiplications qui ne les vérifierons pas toujours.
De plus, même si les propriétés vous sont connues, vous ne connaissez peut-être pas leur nom.
1. L’addition est associative, ce qui signifie que :
∀(a, b, c)∈C3,(a+b) + c=a+ (b+c).
En conséquence, il n’est pas obligatoire d’écrire les parenthèses dans un calcul ne faisant intervenir que
l’addition : le nombre a+ (b+c)(qui est aussi égal à (a+b) + c) pourra être noté juste a+b+c.
2. La multiplication aussi est associative.
3. Le nombre 0 est un élément neutre pour l’addition, ce qui signifie que
∀a∈C, a + 0 = aet 0 + a=a.
4. Le nombre 1 est un élément neutre pour la multiplication.
5. Pour tout nombre complexe z, il existe un nombre complexe opposé àz, qu’on note −zet qui vérifie :
z+ (−z)=0et −z+z= 0
6. Pour tout nombre complexe non nul z, il existe un nombre complexe inverse de z, qu’on note 1
zou
z−1et qui vérifie :
z×1
z= 1 et 1 z×z= 1
7. L’addition est commutative, ce qui signifie que ∀(a, b)∈C2,a+b=b+a.
8. La multiplication aussi est commutative.
9. La multiplication est distributive par rapport à l’addition, ce qui signifie :
∀(a, b, c)∈C3,(a+b)×c=a×c+b×cet a×(b+c) = a×b+a×c.
Remarques et notations :
•Soit (z1, z2)∈C2. Le nombre z1+ (−z2)peut être noté z1−z2.
De même, si z26= 0 de sorte que 1
z2
existe, le nombre z1×1
z2
peut être noté z1
z2
.
3

•On remplace souvent le symbole ×par un simple point. Parfois même, lorsque le contexte est clair,
on l’oublie complètement.
•Dans un calcul utilisant uniquement +, les parenthèses sont inutiles grâce à l’associativité. De même
dans un calcul utilisant uniquement ×. Par contre, dans un calcul combinant les deux, elles sont
indispensables. On décide que lorsqu’aucune parenthèse n’est écrite, c’est la multiplication qui doit
être effectuée en premier. Ainsi 2.3 + 2 signifie (2.3) + 2 (donc 8) et non pas 2.(3 + 2) (qui ferait 10).
•Puisque +est commutative, lorsque la condition a×1 = aest vérifiée, on a automatiquement 1×a=a.
Mais le jour où vous rencontrerez une multiplication non commutative, il faudra bien vérifier les deux
pour prouver qu’un élément est neutre.
Exemple: Effectuer le calcul (114+31)−14 le plus rapidement possible. Quelles propriétés utilisez-vous ?
Même question avec (17 + 39) + (11 −17), puis 992, en remarquant que 99 = 100 −1.
Proposition 1.1. (multiplication par 0)
Pour tout z∈C,0.z =z.
1.2 Intégrité
Voici une conséquence du fait tout complexe hormis 0 admet un inverse pour ×, qui est indispensable à
la résolution d’équations :
Théorème 1.2. ((C,+, .)est intègre)
Pour tout (z, z0)∈C2:
z.z0= 0 ⇔z= 0 ou z0= 0.
Démonstration:
Le sens ⇐n’est autre que la proposition 1.1.
Réciproquement, supposons que z.z0= 0. Nous allons considérer deux cas, selon que zest nul ou pas :
1. Si z= 0 :l’assertion « z= 0 ou z0= 0 » est vraie.
2. Si z6= 0 :Dans ce cas, zest inversible, i.e. z−1existe. On a alors, en multipliant l’égalité z.z0= 0 par z−1à
gauche :
z−1.z.z0=z−1.0
donc 1.z0= 0 (définition de z−1à gauche, et proposition 1.1 à droite )
donc z0= 0.(1 est neutre pour .)
Nous avons traité tous les cas possibles (z= 0 ou z6= 0) et à chaque fois, nous avons vu que z= 0 ou z0= 0 .
Ce théorème est très important : c’est celui qui permet de résoudre la plupart des équations. Par exemple
résoudre les équations suivantes, d’inconnue x∈C:
(A):x2= 4
(B):x2= 2
(C):x2=−1
(D):cos(x)+2xcos(x)=0
(E):x2+ 2x+ 2 = 0
(F):x2+x+ 2 = 0
1.3 R,Q,Z,N, stabilité par les opérations
La définition des ensembles N,Z,Q,Rn’est pas au programme. Dans ce paragraphe, on rappelle juste un
point : les opérations +et ×appliquées à deux nombres réels donnent un nombre réel. En formules :
∀(a, b)∈R2, a +b∈Ret ∀(a, b)∈R2, a ×b∈R
4

On dit que Rest stable par +et ×.
Les ensembles Q,Zet Nsont également stables par +et ×.
Concernant l’opposé et l’inverse, on a :
• ∀a∈R,−a∈R. On dit que Rest stable par passage à l’opposé.
•Zégalement est stable par passage à l’opposé. Par contre Nne l’est pas.
• ∀a∈R∗,1
a∈R∗.
Exemple: Soit a∈Ret b∈C\R. Démontrer que a+b∈C\R.Indication :Par l’absurde.
Même question pour a.b. Attention : il y a un piège ...
Remarque : La notation d’ensemble stable par les opérations sera très importante au second semestre.
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