Mouvement rectiligne à accélération propre constante, ficelle de Bell

Paris 7
PH042
–
CHAMPS CLASSIQUES
Exercices, feuille 4
1Mouvement “uniform´ement acc´el´er´e”
1. Deux ´ev´enements dans la vie de Sophie, parmi tant d’autres :
— l’´ev´enement S1o`u la vitesse de Sophie vaut 0 pour Isaac et vpour Albert, tous deux inertes,
— suivi, apr`es un temps dt0pour Isaac et dt pour Albert, de l’´ev´enement S2o`u la vitesse de Sophie
vaut dv0pour Isaac et v+dv pour Albert.
Quelle est l’expression de dv0en fonction de vet dv ?
2. Quelle est l’expression de “l’acc´el´eration propre” ade Sophie, en fonction de dv0et dt0? Quelle
est l’expression de la dur´ee dt0en fonction de vet dt ? En d´eduire l’expression de la dur´ee dt en
fonction de a,vet dv.
3. Sophie, en surveillant bien son poids, pilote sa fus´ee `a acc´el´eration propre constante. Sachant
qu’elle a quitt´e Albert en douceur, avec une vitesse v(0) nulle, `a l’instant t= 0, quelle est l’expression
de sa vitesse v(t) `a l’instant tpour Albert toujours inerte ?
4. En d´eduire l’expression de la position x(t) de Sophie `a l’instant tpour Albert. Quelles sont les
expressions approch´ees de x(t) et de v(t) lorsque test petit ? lorsque test grand ? (par rapport `a quoi
au fait ?) Repr´esenter sur un mˆeme graphe d’espace-temps dans le rep`ere (x, t) d’Albert :
i) la ligne d’univers d’Albert,
ii ) la ligne d’univers de Sophie,
iii) la ligne d’univers d’Isaac, inerte, qui `a l’instant t1co¨ıncide, en douceur avec Sophie.
5. Quelle est, en g´en´eral, la dur´ee dτ ´ecoul´ee pour Sophie, entre S1et S2, en fonction de dt0? en
fonction de dt et v? Lorsque Sophie se dote d’un mouvement `a acc´el´eration propre constante a, que
devient cette dur´ee dτ, en fonction de dt,aet t?
6. En d´eduire le temps propre τ(t) `a la pendule de Sophie, en fonction de aet tpour Albert.
Quelles sont les expressions approch´ees de τ(t) pour tpetit ? pour tgrand ?
7. Sophie se donne l’acc´el´eration de confort a=g= 9,8 m s−2. Calculer aen m−1, en s−1, en
ann´ee−1. Calculer v(t) et τ(t) apr`es 1 mois, 3 mois, 1 an, 3 ans, 10 ans.
2Mouvement hyperbolique, r´ecapitulation
Pour une particule dont la trajectoire est x(t) = a−1p1 + (at)2,y(t) = z(t) = 0, o`u aest une
constante...
1. Calculer τ(t).
2. Exprimer t(τ), x(τ), les composantes U0(τ) et U1(τ) de la quadri-vitesse, le facteur γ, et la
vitesse dx/dt, en fonction des lignes hyperboliques de aτ .
3. Calculer les composantes A0(τ) et A1(τ) de la quadri-acc´el´eration. En d´eduire, dans ce cas de
mouvement, une relation entre les quadrivecteurs dA
e/dτ et U e.
4. Calculer U
e
2,U
e
·A
eet A e
2. Quel nom peut-on donner `a ce mouvement ?
5. Calculer la rapidit´e ϕ(τ). Ce r´esultat pouvait-il ˆetre attendu ?
3Un paradoxe (plus t´etra que logique)
Sieglinde et Siegmund d´erivent de conserve et, bien entendu, de concert, dans l’espace, libres, inertes.
Siegmund d´ecide de quitter Sieglinde en se donnant une acc´el´eration propre constante a=gpendant
une dur´ee finie ∆τ. Puis, apr`es une rapide manœuvre de retournement de sa fus´ee, il continue encore,
avec la mˆeme acc´el´eration propre, pendant la dur´ee 2∆τ. Puis il retourne encore sa fus´ee et continue,
toujours avec la mˆeme acc´el´eration propre, pendant ∆τ, pour finir par couper son moteur. Pendant
tout ce temps Sieglinde est rest´ee au repos.
1. Repr´esenter toute cette ´epop´ee (lignes d’univers) sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere
de Sieglinde.
2. Calculer le temps total 4∆τqui s’est ´ecoul´e pour Siegmund si cette histoire a dur´e 9 mois pour
Sieglinde.

2Champs classiques, PH042 Paris 7
4Les grands voyages
Un vaisseau spatial se rend en droite ligne de la plan`ete Terre jusqu’au centre de la galaxie
(distance D≈30.000 ann´ees) en acc´el´erant (proprement) `a 9,8 m s−2pendant la moiti´e du voyage puis
en d´ec´elerant, `a la mˆeme valeur, pendant la seconde moiti´e. L’itin´eraire direct passe suffisamment loin
de tout corps c´eleste pour que les effets gravitationnels soient n´egligeables.
1. Repr´esenter l’allure de cette histoire sur un diagramme d’espace-temps dans le rep`ere terrestre.
2. En utilisant l’ann´ee comme unit´e de base...
i) Calculer la valeur de l’acc´el´eration propre gen ann´ees.
ii ) Quel est le temps terrestre ∆tn´ecessaire pour ce voyage ?
iii) Quel est la dur´ee ∆τde ce voyage pour les astronautes ? Le r´esultat n’est-il pas encourageant ?
3. On ´etudie maintenant les conditions m´ecaniques de r´ealisation de ce voyage.
i) Pour cela on se place dans un rep`ere inertiel o`u, en un ´ev´enement donn´e de la fus´ee, celle-ci a
une masse met une vitesse nulle. Apr`es avoir ´eject´e une quantit´e d’´energie dε sous une vitesse de
module u, la fus´ee a une masse m+dm et une vitesse dv. Quelle relation le principe de conservation
de la quadri-impulsion totale permet-il de trouver entre dv,dm,uet m?
ii ) Quelle valeur d’accroissement dV en d´eduit-on pour la vitesse Vde la fus´ee dans le rep`ere inertiel
terrestre ? (Utiliser par exemple la formule de composition des vitesses.)
iii) En d´eduire l’expression du rapport des masses m2/m1en fonction des rapidit´es ϕ1et ϕ2d’une
fus´ee qui fonctionne `a vitesse d’´ejection uconstante entre les ´ev´enements 1 et 2.
4. Pour le voyage pr´evu. . .
i) En d´eduire la masse finale mfau terme du voyage, en fonction de la masse miau d´epart, de la
rapidit´e `a mi-chemin ϕ1/2et de la vitesse d’´ejection u.
ii ) Estimer la rapidit´e `a mi-chemin en fonction de get D.
iii) Quelle est la vitesse d’´ejection optimale ?
iv) En supposant cette vitesse techniquement r´ealisable, quelle masse mila fus´ee doit-elle avoir au
d´epart pour acheminer mf= 1 tonne au centre de la galaxie ?
5La ficelle de Bell
Br¨unnhilde, Sieglinde et Siegmund sont d’abord inertes, immobiles les uns par rapport aux autres,
align´es, et Br¨unnhilde est `a mi-chemin entre Sieglinde et Siegmund. Une ficelle est tendue entre
Sieglinde et Siegmund.
Nos trois h´eros sont convenus depuis longtemps que lorsque Sieglinde et Siegmund re¸coivent un signal
radio de Br¨unnhilde, ils doivent tous deux prendre la fuite dans ce qui ´etait ant´erieurement la direction
de la ficelle, dans le mˆeme sens (disons de Sieglinde vers Siegmund), en mettant en route leurs moteurs
respectifs qu’ils pilotent avec le mˆeme programme d’acc´el´eration propre (par exemple constante). Toute
la question est maintenant de pr´edire le d´enouement (si l’on peut dire) pour le lien qui unit Sieglinde
et Siegmund : la ficelle va-t-elle rester tendue, se d´etendre, ou casser. . .
1. Repr´esenter tout ce sc´enario sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Br¨unnhilde : lignes
d’univers, signaux radio (mais pas la ficelle qui a vraiment trop de points et dont on ne sait pas encore
grand chose).
2. Soit un ´ev´enement Ade Sieglinde au cours de sa fuite.
i) Repr´esentez la ligne d’univers de Bell, inerte, qui a en Aune vitesse nulle par rapport `a Sieglinde.
ii ) Repr´esentez l’ensemble des ´ev´enements qui, pour Bell, sont simultan´es avec A.
iii) Repr´esentez l’´ev´enement Bde Siegmund qui, pour Bell, est simultan´e avec A.
iv) Repr´esentez la ligne d’univers de Richard qui, en B, a une vitesse nulle par rapport `a Siegmund.
3. A l’aide du graphique ainsi construit...
i) Comparez les vitesses de Bell et de Richard.
ii ) Qu’en d´eduisez-vous pour la vitesse de Richard par rapport `a Bell, et pour le sort de la ficelle ?
R´ef. : J.S. Bell,How to teach special relativity, in Speakable and unspeakable in quantum mechanics,
Cambridge University Press (), p. 67.