Trigonometrie2013

TRIGONOM ´ ETRIE
Version 2013
Lang Fred
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1 D´efinition des fonctions trigonom´etriques
1.1 Le cercle trigonom´etrique
Figure 1: Le cercle trigonom´etrique: on peut voir OP comme l’aiguille d’une montre.
•Le cercle trigonom´etrique est un cercle de rayon 1. Voir figure (1).
•Un angle α,−∞ < α < ∞est repr´esent´e par un point Pdu cercle, mais un point du cercle
repr´esente une infinit´e d’angles possibles, ils sont tous ´egaux modulo 360◦ou modulo 2π.
•Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
•Le cercle est divis´e en quatre quadrants: I, II, III, IV .
•La projection de Psur l’axe horizontal donne le cosinus de l’angle, not´e cos(α), celui-ci
varie entre −1 et +1.
•La projection de Psur l’axe vertical donne le sinus de l’angle, not´e sin(α), celui-ci varie
entre −1 et +1.
•La projection de Psur la tangente verticale au cercle donne la tangente de l’angle, not´e
tan(α), celle-ci varie entre −∞ et +∞.
•La projection de Psur la tangente horizontale au cercle donne la cotangente de l’angle,
not´e cot(α), celle-ci varie entre −∞ et +∞.
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1.2 Valeurs particuli`eres
La figure (2) permet d’obtenir les valeurs particuli`eres des angles figurant dans le tableau (1).
Figure 2: Un triangle ´equilat´eral et un triangle isoc`ele.
1.3 Signes des fonctions trigonom´etriques
Le tableau (2) donne le signe des fonctions trigonom´etriques.
1.4 La fonction cosinus
•Cette fonction est toujours d´efinie.
•Elle est p´eriodique de p´eriode 2 π.
•Elle prend des valeurs entre −1 et 1.
•Elle est nulle si l’angle vaut π/2 + k π.
•Elle est positive dans les quadrants Iet IV .
•C’est une fonction paire car
cos(−x)≡cos(x)
•La droite x=πest un axe de sym´etrie du graphe de la fonction, car
cos(π−x)≡cos(π+x)
•Le point (π/2; 0) est un centre de sym´etrie du graphe de la fonction, car
cos(π/2−x)≡ −cos(π/2 + x)
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Angle cosinus sinus tangente cotangente
0 1 0 0 ∞
π/6√3/2 1/2 1/√3√3
π/4√2/2√2/2 1 1
π/3 1/2√3/2√3 1/√3
π/2 0 1 ∞0
2π/3−1/2√3/2−√3−1/√3
3π/4−√2/2√2/2−1−1
5π/6−√3/2 1/2−1/√3−√3
π−1 0 0 ∞
7π/6−√3/2−1/2 1/√3√3
5π/4−√2/2−√2/2 1 1
4π/3−1/2−√3/2√3 1/√3
3π/2 0 −1∞0
5π/3 1/2−√3/2−√3−1/√3
7π/4√2/2−√2/2−1−1
11π/6√3/2−1/2−1/√3−√3
2π1 0 0 ∞
Table 1: Valeurs des fonctions trigonom´etriques pour quelques angles simples.
Quadrant cosinus sinus tangente cotangente
Ox+ 1 0 0 ∞
I+ + + +
Oy+ 0 1 ∞0
II −+− −
Ox− −1 0 0 ∞
III − − + +
Oy−0−1∞0
IV +− − −
Table 2: Signes des fonctions trigonom´etriques
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-4Π - 3Π - 2Π - Π Π 2Π3Π4Π
x
-1
1
cosHxL
0
Figure 3: Le cosinus: domaine de d´efinition et ensemble image.
1.5 La fonction sinus
•Cette fonction est toujours d´efinie.
•Elle est p´eriodique de p´eriode 2 π.
•Elle prend des valeurs entre −1 et 1.
•Elle est nulle si l’angle vaut 0 + k π.
•Elle est positive dans les quadrants Iet II.
•C’est une fonction impaire car
sin(−x)≡ − sin(x)
•La droite x=π/2 est un axe de sym´etrie du graphe de la fonction, car
sin(π/2−x)≡sin(π/2 + x)
•Le point (π; 0) est un centre de sym´etrie du graphe de la fonction, car
sin(π−x)≡ −sin(π+x)
-4Π - 3Π - 2Π - Π Π 2Π3Π4Π
x
-1
1
sinHxL
0
Figure 4: Le sinus: domaine de d´efinition et ensemble image.
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