LICENCE DE MATH´EMATIQUES 3`eme année ESPACES

LICENCE DE MATH´ EMATIQUES 3`eme ann´ee
ESPACES VECTORIELS NORM´ ES
Mihai Gradinaru
2007-2008

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Table des mati`eres
1 Espaces de Banach et de Hilbert 1
1.1 EspacesdeBanach................................. 1
1.1.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Espace quotient d’un espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Espace des op´erateurs lin´eaires born´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 EspacesdeHilbert ................................. 9
1.2.1 Espaces pre-hilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Ensembles orthonormaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Th´eor`eme de repr´esentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Exercices ...................................... 17
2 Th´eor`emes de Banach et cons´equences 27
2.1 ´ Etude de l’espace B(E, F )............................. 27
2.1.1 Th´eor`emes de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Classes remarquables d’op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Th´eorie spectrale : une introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 ´ Etude de l’espace E?................................ 34
2.2.1 Th´eor`emes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Exemples d’espaces en dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Convergences faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Exercices ...................................... 39
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4TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre 1
Espaces de Banach et de Hilbert
1.1 Espaces de Banach
1.1.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es
D´efinition 1.1 Soit Eun espace vectoriel sur un corps K(dans la suite Ksera Rou C).
On appelle norme sur Eune application de Edans R, not´ee k·k telle que
a) kxk>0,∀x∈Eet kxk= 0 ssi x= 0 ;
b) kx+yk6kxk+kyk(in´egalit´e triangulaire), ∀x, y ∈E;
c) αx =|α|·kxk(homog´en´eit´e), ∀α∈K,∀x∈E.
Un espace vectoriel norm´e (e.v.n.) est un couple (E, k·k). Il s’agit d’un cas particulier d’espace
m´etrique muni de la distance
d(x, y) := kx−yk, x, y ∈E.
La topologie sur Eest la topologie d’espace m´etrique. On dit qu’une suite {xn}n>1⊂E
converge (fortement) vers x∈Esi kxn−xk → 0, lorsque n→ ∞.
Proposition 1.1
1. |kxk−kyk| 6kx−yk,∀x, y ∈E;
2. si xn→x, alors kxnk→kxk, lorsque n→ ∞ ;
3. si αn→α,xn→x, alors αnxn→αx, lorsque n→ ∞ ;
4. si xn→x,yn→y, alors xn+yn→x+y, lorsque n→ ∞.
Preuve. On peut ´ecrire kx−yk>kxk−kyket kx−yk=| − 1|·ky−xk>kyk−kx, d’o`u la
premi`ere in´egalit´e. De cette in´egalit´e le deuxi`eme point est imm´ediat. Pour le dernier point on
utilise l’in´egalit´e triangulaire : k(x+y)−(xn+yn)k=k(x−xn)+(y−yn)k6kx−xnk+ky−ynk.
Enfin, kαx −αnxnk6kαx −αnxk+kαnx−αnxnk=|α−αn| · kxk+|αn| · kx−xnk. On
d´eduit le troisi`eme point puisque {αn}est une suite born´ee. 
Remarque : On a obtenu que k·k est lipschitzienne (donc uniform´ement continue sur E) et
que les op´erations (x, y)7→ x+yet (α, x)7→ αx sont continues.
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