Topologie Aut - Université d`Orléans

Universit´e d’Orl´eans
Facult´e des Sciences
D´epartement de Math´ematiques
Licence de Math´ematiques
MA5.01 – Topologie
Automne 2006
Page web:
http : //www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF.html
IV. Espaces de Banach et espaces de Hilbert,
applications lin´eaires continues,
exemples
David Hilbert
math´ematicien allemand
(1862–1943)
Stefan Banach
math´ematicien polonais
(1892–1945)
1. G´en´eralit´es sur les espaces de Banach
D´efinition : Un espace de Banach est un espace norm´e (E, k. .k) qui est complet pour
la distance d(x, y) = kx−yk
Exemples :
•Ret Csont des espaces de Banach pour |.|(valeur absolue, respectivement module)
•Rnet Cnsont des espaces de Banach pour les normes ´equivalentes
kxkp=(|x1|p+... +|xn|p1
psi 1 ≤p < +∞
max |x1|, ...,|xn|si p= +∞
Plus g´en´eralement, un produit E=E1×E2d’espaces de Banach est un espace de
Banach, pour les normes ´equivalentes
k(x1, x2)kp=(kx1kp
E1+kx2kp E21
psi 1 ≤p < +∞
max kx1kE1,kx2kE2si p= +∞
•L’espace B(X) des fonctions born´ees sur un ensemble quelconque Xest de Banach
pour la norme (de la convergence uniforme)
kfk∞= supx∈X|f(x)|
•(Voir §4) L’espace C(X) des fonctions continues sur un espace m´etrique compact X
est un espace de Banach pour la norme de la convergence uniforme. (C’est un sous–espace
de Banach de B(X).)
•C([0,1]) n’est pas un espace de Banach pour la norme
kfk1=Z1
0
|f(x)|dx
•L’espace P([0,1]) des fonctions polynomiales f(x) = Pn
j=0 ajxjsur [0,1] n’est un
espace de Banach pour aucune norme
kfk= max |aj|,kfk+∞= sup
x∈[0,1]
|f(x)|,kfk1=Z1
0
|f(x)|dx

Proposition : Un espace norm´e Eest de Banach si et seulement si, pour toute suite
(xn)n∈Ndans E, la convergence de la s´erie P+∞
n=0 kxnkdans Rimplique la convergence
de la s´erie P+∞
n=0 xndans E(convergence normale).
2. Espaces de dimension finie
Th´eor`eme : Toutes les normes sur Rnsont ´equivalentes
Corollaire :
(a) Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont ´equivalentes
(b) Tout espace norm´e de dimension finie est de Banach
(c) Dans un espace norm´e de dimension finie,
une partie est compacte si et seulement si elle est `a la fois ferm´ee et born´ee.
Th´eor`eme (Riesz) :
Les boules ferm´ees d’un espace norm´e de dimension infinie ne sont jamais compactes
3. Applications lin´eaires continues
Th´eor`eme : Conditions ´equivalentes,
pour une application lin´eaire T:E→Fentre deux espaces norm´es :
(a) Test continue
(b) Test continue `a l’origine
(c) ∃C≥0 , ∀x∈E,kT(x)kF≤CkxkE
(d) sup x∈Er{0}
kT(x)kF
kxkE<+∞
(e) sup kxkE≤1kT(x)kF<+∞
(f) sup kxkE=1 kT(x)kF<+∞
Remarques :
•Dans ce cas, les quantit´es (d), (e), (f) sont ´egales au minimum des constantes C≥0
intervenant dans (c). On obtient ainsi la norme d’op´erateur de T.
•L’ensemble L(E, F ) des applications lin´eaires continues de Edans Fest un espace
vectoriel norm´e pour
◦l’addition : (S+T)(x) = S(x) + T(x)
◦la multiplication scalaire : (λT )(x) = λ T (x)
◦la norme d’op´erateur not´ee kTkL(E,F ),kTkE→Fou plus simplement k|Tk| ,kTk
•La norme d’op´erateur v´erifie
◦kT(x)kF≤ kTkL(E,F )kxkE
◦kT◦SkL(E,G)≤ kTkL(F,G)kSkL(E,F )
◦kIkL(E,E)= 1
•La norme d’op´erateur est difficile `a ´evaluer en g´en´eral
•dim E < +∞=⇒toute application lin´eaire T:E→Fest continue.
•Fde Banach =⇒ L(E, F ) de Banach
D´efinition : Soit Eun espace vectoriel norm´e sur F=Rou C.
Le dual (topologique) de Eest
l’espace E∗=L(E, F) des formes lin´eaires continues sur E
( i.e. des applications lin´eaires continues f:E→F) .
C’est un espace de Banach pour la norme (d’op´erateur)
kfkE∗= sup kxkE≤1|f(x)|= sup kxkE=1 |f(x)|

4. Exemple : C(X)
Cadre :
X= espace m´etrique compact
C(X) = ensemble des fonctions continues sur X(`a valeurs r´eelles ou complexes)
Proposition : C(X) est une alg`ebre de Banach avec unit´e
•addition : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
•[ multiplication scalaire : (λf )(x) = λ f (x) ]
•multiplication : (f·g)(x) = f(x)g(x)
•unit´e : 1 (fonction constante)
•norme (de la convergence uniforme) : kfk+∞= sup x∈X|f(x)|
•kf·gk+∞ ≤ k fk+∞ k gk+∞
•k1k+∞= 1
•C(X) est complet pour k. .k+∞
Th´eor`eme de Weierstrass :
L’espace P([a, b]) des fonctions polynomiales est dense dans C([a, b])
•R´eduction `a un intervalle de r´ef´erence (TD)
•D´emonstration 1 : Polynˆomes de Bernstein (TD)
•D´emonstration 2 : Convolution (TD)
•D´emonstration 3 : Corollaire de Stone–Weierstrass
Th´eor`eme de Stone–Weierstrass :
Soit Aune partie non vide de C(X). Supposons que
(i) Aest une sous–alg`ebre de C(X) i.e.
Aest stable par addition, mutiplication scalaire, et multiplication
(ii) Aest autoadjointe i.e.
f∈A=⇒f∈A
(iii) Ane s’annule nulle part i.e.
∀x∈X,∃f∈Atelle que f(x)6= 0
(iv) As´epare les points de Xi.e.
si xet ysont deux points distincts de X, il existe f∈Atelle que f(x)6=f(y)
Alors Aest dense dans C(X).
Remarques :
•La condition (ii) est superflue dans le cas r´eel
•Si Acontient les fonctions constantes (ce qui est souvent le cas dans les applications),
la condition (iii) est superflue
et la condition (i) se r´eduit `a la stabilit´e de Apar addition et par multiplication
Th´eor`eme d’Ascoli–Arzel`a :
Soit Aune partie (non vide) de C(X). Alors Aest compacte si et seulement si
(i) Aest ´equicontinue i.e.
∀x∈X,∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀f∈A,∀y∈B(x, δ), |f(x)−f(y)|< ε
(ii) Aest ´equiborn´ee i.e.
∀x∈X,∃C≥0, ∀f∈A,|f(x)| ≤ C
Remarques :
•Comme pour la continuit´e, l’´equicontinuit´e est uniforme sur X:
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀f∈A,∀x, y ∈Xavec d(x, y)< δ,|f(x)−f(y)|< ε
•A posteriori, Aest uniform´ement born´ee :
sup f∈Asup x∈X|f(x)|<+∞

5. Exemple : `p
D´efinition : Soit 1 ≤p≤+∞.
On d´esigne par `p(N) ou plus simplement `pl’ensemble des suites x= (xn)n∈Nde
nombres r´eels ou complexes telles que
Pn∈N|xn|p<+∞si p < +∞
sup n∈N|xn|<+∞si p= +∞
Propri´et´es :
•`pest un espace vectoriel (r´eel ou complexe).
•kxkp=(Pn∈N|xn|p1
psi p < +∞
sup n∈N|xn|<+∞si p= +∞est une norme sur `p.
L’in´egalit´e de Minkowski est l’in´egalit´e triangulaire
Pn∈N|xn+yn|p1
p
| {z }
kx+ykp
≤Pn∈N|xn|p1
p
| {z }
kxkp
+Pn∈N|yn|p1
p
| {z }
kykp
.
Elle est imm´ediate dans les cas p= 1 et p= +∞.
Si 1 < p < +∞, elle r´esulte de l’in´egalit´e suivante.
•In´egalit´e de H¨older :
Soient 1 ≤p, q ≤+∞des indices conjugu´es i.e. 1
p+1 q= 1 .
Alors P+∞
n=0 xnyn≤P+∞ n=0 |xn| |yn| ≤ kxkpkykq.
•`pest un espace de Banach.
•`p⊂`qsi et seulement si p≤q.
•Soit 1 ≤p < +∞:
L’espace ccdes suites finies (i.e. nulles `a partir d’un certain rang) est dense dans `p.
Dans `∞, l’adh´erence de ccest l’espace c0des suites tendant vers 0 `a l’infini.
•Soient 1 ≤p < +∞et 1 < q ≤+∞des indices conjugu´es.
Alors le dual topologique de `ps’identifie `a `q.
Plus pr´ecis´ement, tout y∈`qd´efinit une forme lin´eaire continue sur `ppar
Ty(x) = P+∞
n=0 xnyn.
L’application y7−→ Tyest un isomorphisme isom´etrique de `qsur (`p)∗.
Le dual topologique de c0s’identifie de mˆeme `a `1.
Le dual topologique de `∞est difficile `a d´ecrire.
6. Espaces de Hilbert
Soit Hun espace vectoriel sur F=Rou C.
D´efinition :
Un produit scalaire sur Hest une application (x, y)7−→ h x, y ide H × H dans F
telle que
•hy, x i=hx, y i
•hx, y iest lin´eaire en xet antilin´eaire en y
•hx, x i ≥ 0 avec ´egalit´e ⇐⇒ x= 0

Propri´et´es :
•In´egalit´e de Cauchy–Schwarz :
|h x, y i|2≤ h x, x ihy, y iavec ´egalit´e ⇐⇒ xet ysont colin´eaires
•kxk=phx, x iest une norme
In´egalit´e de Minkowski :
kx+yk ≤ kxk+kykavec ´egalit´e ⇐⇒ xet ysont positivement colin´eaires
•Formule de polarisation :
4hx, y i=kx+yk2− kx−yk2si F=R
kx+yk2− kx−yk2+ikx+iyk2−ikx−iyk2si F=C
•Identit´e du parall`elogramme :
Une norme sur Hest associ´ee `a un produit scalaire si et seulement elle v´erifie
kx+yk2+kx−yk2= 2 kxk2+kyk2
D´efinition : Un espace de Hilbert est un espace vectoriel (r´eel ou complexe)
qui est muni d’un produit scalaire et qui est complet pour la norme associ´ee
Remarque : Les espaces de Hilbert sont les espaces de Banach v´erifiant l’identit´e du
parall`elogramme
Exemple : `2est un espace de Hilbert pour le produit scalaire hx, y i=P+∞
n=0 xnyn.
G´en´eralisation : Soit Xun ensemble non vide.
`2(X) est l’ensemble des fonctions f`a valeurs r´eelles ou complexes sur Xtelles que
Px∈X|f(x)|2<+∞,
o`u Px∈X|f(x)|2d´esigne le supremum des sommes Px∈Y|f(x)|2,Yparcourant les
sous–ensembles finis de X. C’est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
hf, g i=Px∈Xf(x)g(x).
D´efinition : Soit Aune partie non vide de H
A⊥={x∈ H | h x, y i= 0 ∀y∈A}est l’orthogonal de Adans H
Propri´et´es :
•A⊥est un sous–espace ferm´e de H
•On a la d´ecomposition orthogonale H=V⊕V⊥,
pour tout sous–espace ferm´e Vdans H.
•Soit Vun sous–espace de H.
Alors (V⊥)⊥co¨ıncide avec l’adh´erence Vde Vdans H.
En particulier, Vest dense dans Hsi et seulement si V⊥={0}.
D´efinitions :
Un syst`eme orthonorm´e dans Hest une partie de Hdont les vecteurs sont
•deux `a deux orthogonaux,
•de norme ´egale `a 1 .
Une base Hilbertienne de Hest un syst`eme orthonorm´e Bqui est total
( i.e. Bengendre un sous–espace dense dans H).
Propri´et´es :
•Un syst`eme orthonorm´e est libre
•Tout espace de Hilbert Hposs`ede des bases hilbertiennes. Plus pr´ecis´ement,
tout syst`eme orthonorm´e dans Hest contenu dans une base hilbertienne de H
•Toutes les bases hilbertiennes de Hont le mˆeme cardinal
•Hest s´eparable ( i.e. Hcontient un ensemble dense au plus d´enombrable )
⇐⇒ H poss`ede une base hilbertienne au plus d´enombrable