Analyse fonctionnelle - Université d`Orléans

Universit´e d’Orl´eans
UFR Sciences
D´epartement de Math´ematiques
Master de Math´ematiques
M1S1MT05 – Analyse fonctionnelle
Automne 2007
Page web :
http : //www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF1.html
1. Le th´eor`eme de Baire et ses cons´equences
D´efinition : Un espace de Baire est un espace topologique Xv´erifiant les conditions
´equivalentes suivantes :
•Toute intersection1au plus d´enombrable U=TnUnd’ouverts denses dans Xest
dense dans X,
•Toute r´eunion2au plus d´enombrable F=SnFnde ferm´es d’int´erieur vide a un
int´erieur vide.
Remarque : Un espace de Baire non vide Xjouit en particulier des propri´et´es suiv-
antes :
•Toute famille au plus d´enombrable d’ouverts denses dans Xa une intersection totale
non vide,
•Xn’est pas maigre i.e. Xn’est pas une r´eunion au plus d´enombrable d’ensembles An
avec An◦=∅.
Lemme d’intersection de Cantor : Dans un espace m´etrique complet X, consid´erons
une suite d´ecroissante F0⊃F1⊃... d’ensembles ferm´es non vides dont le diam`etre
diam Fn= supx,y ∈Fnd(x, y) tend vers 0 . Alors F=TnFnest un singleton.
Th´eor`eme de Baire : Tout espace m´etrique complet Xest de Baire.
Remarques :
•Tout espace de Banach est de Baire.
•Toute partie ouverte3Ud’un espace m´etrique complet est de Baire (corollaire de la
d´emonstration du th´eor`eme de Baire).
•Tout espace localement compact est de Baire (annexe).
Le th´eor`eme de Baire implique des r´esultats de continuit´e automatique.
Th´eor`eme de la borne uniforme (Banach–Steinhaus) : Soient Eun espace de
Banach et Fun espace norm´e . Les conditions suivantes sont ´equivalentes, pour une
partie Ade L(E, F ) :
•Aest born´ee dans L(E, F ) : sup T∈A |||T||| <+∞,
i.e. Aest born´ee localement uniform´ement :∀r >0 , sup T∈A,kxk≤r||T x|| <+∞.
•Aest born´ee ponctuellement :∀x∈E, sup T∈A ||T x|| <+∞.
Corollaire : Avec les mˆemes hypoth`eses, si (Tn) est une suite d’applications lin´eaires
continues de Edans Fconvergeant simplement vers une application T:E→F, alors
Test lin´eaire continue.
1Un’est pas ouvert, en g´en´eral.
2Fn’est pas ferm´e, en g´en´eral.
3Un’est pas complet, en g´en´eral.

Th´eor`eme de l’application ouverte (Banach) : Soit T:E→Fune application
lin´eaire continue surjective entre espaces de Banach. Alors Test ouverte i.e. l’image
par Tde tout ouvert de Eest un ouvert de F.
Corollaire : Les conditions suivantes sont ´equivalentes, pour une application lin´eaire
bijective T:E→Fentre espaces de Banach :
•Test bicontinue : ∃0< C1≤C2<+∞,∀x∈E,C1kxk ≤ kT xk ≤ C2kxk;
•Test continue : ∃C≥0 , ∀x∈E,kT xk ≤ Ckxk;
•Test ouverte : ∃C >0 , ∀x∈E,kT xk ≥ Ckxk.
Th´eor`eme du graphe ferm´e : Les conditions suivantes sont ´equivalentes, pour une
application lin´eaire T:E→Fentre deux espaces de Banach :
•Test continue ,
•le graphe de Test ferm´e dans E×F.