Feuille 2 : Applications linéaires continues

Master de math´ ematiques Universite de Nice Sophia Antipolis
ANALYSE FONCTIONNELLE
ET INT´ EGRATION 2015-16
Feuille 2 : Applications lin´eaires continues
Exercice 1. On consid`ere l’espace `1(N,C)des suites complexes u= (un)telles que kuk`1:=
Pn∈N|un|<∞.
(1) Montrer que `1muni de cette norme est un espace de Banach.
(2) Soit a∈`∞(N,C)une suite born´ee et soit Ma:`1→`1donn´ee par (Ma(u))n=anunpour
tout n∈N. Montrer que Maest lin´eaire continue sur `1et calculer sa norme.
Exercice 2. Soit k: [0,1] ×[0,1] →Rune fonction continue et pour tout f∈C([0,1]), soit
K(f)(x) = R1
0k(x, y)f(y)dy. Soit E=C([0,1]) muni de la norme kukE= sup[0,1] |f|. Montrer que
l’application Kest lin´eraire continue de Edans lui mˆeme et que kKkE→E= supx∈|0,1] R1
0|k(x, y)|dy.
Exercice 3. Soit Eun espace de Banach et u∈ L(E).
(1) On suppose que kukE→E<1. Montrer que Id +uest inversible et continue.
(2) Montrer que l’ensemble des applications lin´eaires inversibles est un ouvert de L(E)
Exercice 4. Soit Eun espace de Banach et A∈ L(E). Pour tout polynˆome P(X) = PN
n=0 anXn,
on d´efinit
P(A) =
N
X
n=0
anAn
o`u An=A◦. . . ◦A,nfois.
(1) Montrer que pour tout A∈ L(E),P(A)∈ L(E).
(2) Montrer que pour tout A∈ L(E), l’application φA:R[X]→ L(E)d´efinie par φA(P) = P(A)
est un morphisme d’alg`ebre.
(3) Montrer que les r´esultats pr´ec´edents se g´en´eralisent au cas o`u fest une fonction holomorphe.
Exercice 5. Soit E=`∞(N,C)l’espace des suites complexes born´ees muni de la norme kuk=
supn∈N|un|. Soit a∈Eet soit Ma:E→Ed´efinie par Ma(u) = v= (vn)avec vn=anun.
(1) Montrer que Maest lin´eraire continue sur Eet que kMakE→E=kakE.
(2) Soit A={an, n ∈N}. Montrer que pour tout λ∈C,(Ma−λId)est inversible si et seulement
si λ /∈ A.

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Exercice 6. Soit Eun espace de Banach et I= [a, b]un intervalle compact de R. On cherche `a
d´efinir Rb
af(s)ds pour toute fonction f∈C(I, X).
(1) Soit g:I→Xune fonction constante par morceaux, g=PJ
j=1 xj1[aj,aj+1],xj∈X. On
d´efinit I(g) = PJ
j=1(aj+1 −aj)xj. Montrer que pour toutes f, g constantes par morceaux et
λ∈R, on a I(f+λg) = I(f) + λI(g).
(2) Soit f∈C(I, X). Montrer qu’il existe une suite de fonctions fn:R→Xconstantes par
morceaux qui converge vers funiform´ement.
(3) Montrer que la suite In=I(fn)est de Cauchy.
(4) On note Rb
a(f(s)ds la limite de la suite pr´ec´edente. Montrer que l’application f→Rb af(s)ds
est lin´eaire sur C(I, X).
(5) Pour f∈C(I, X), on note F(x) = Rx
af(s)ds. Montrer que l’application Fapartient `a
C1(I, X)et que F0(x) = f(x)pour tout x∈I.
(6) Pour f∈C1(I, X), montrer que Rb
af0(t)dt =f(b)−f(a).
(7) Soit f∈C1(I, X)et soit ϕ: [α, β]→[a, b]un C1diffeormorphisme croissant. Montrer que
Zβ
α
f◦ϕ(s)ϕ0(s)ds =Zb
a
f(t)dt.
Exercice 7. Soit Eun espace de Banach.
(1) Soit A∈ L(E). Pour tout t∈R, on pose etA =P∞
n=0
(tA)n
n!.D´emontrer les propri´et´es
suivantes :
(a) La fonction P:t7→ etA est continue de Rdans L(E).
(b) P(0) = Id et ∀t, s ∈R, P (t)P(s) = P(t+s).
(c) La fonction P:t7→ etA est de classe C1et P0(t) = AP (t)pour tout t∈R.
(2) R´eciproquement, on suppose que P:R→ L(E)v´erifie les assertions a)et b)ci-dessus.
(a) Montrer qu’il exsite h > 0tel que l’op´erateur Qh=Rh
0P(s)ds soit inversible.
(b) D´emontrer que pour tout t∈R,
(Zh
0
P(s)ds)P(t) = Zt+h
t
P(s)ds.
En d´eduire que Pv´erifie la propri´et´e c)ci-dessus avec A=Q−1
h(P(h)−Id).
(c) Calculer la d´eriv´ee de P(t)e−tA. Que peut on en d´eduire ?
Exercice 8. Soient Eun espace de Banach et F, G deux evn. Soit B:E×F→Gune application
bilin´raire. On suppose que pour tout x∈Eet y∈Fles application partielles E3z7→ B(z, y)et
F3w7→ B(x, w)sont continues. Montrer qu’il existe C > 0tel que
∀(x, y)∈E×F, kB(x, y)kG≤CkxkEkykF.
Indication : appliquer le th´eor`eme de Banach-Steinhaus

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Exercice 9. Soit Eun espace de Banach. On suppose qu’il existe A, B, deux sous espaces ferm´es
de Etels que E=A⊕B. Montrer qu’il existe γ > 0telle que
∀(a, b)∈A×B, kakE+kbkE≤γka+bkE
Exercice 10. Soient (X, k.kX)et (Y, k.kY)deux espaces de Banach tels que Y⊂Xest dense dans
(X, k.kX)et Y6=X, ∅. On suppose que l’injection i:y∈Y7→ y∈Xest continue, c’est `a dire qu’il
existe C > 0tel que
∀y∈Y, kykX≤CkykX.
(1) En proc´edant par l’absurde, montrer que les normes k.kXet k.kYne peuvent pas ˆetre equiva-
lentes.
(2) Montrer que i∗:X0→Y0associe `a tout f∈X0sa restriction f|Y∈Y0.
(3) Montrer que i∗est injective.
(4) Montrer que i∗n’est pas surjective.
(5) Soit ϕ∈Y0. Montrer que
ϕ∈i∗(X0)⇐⇒ ∃C > 0,∀y∈Y, |ϕ(y)| ≤ CkykX.
(6) Soit X=L1(R)muni de sa norme usuelle et Y={f∈X, kfkY<∞} o`u
kfkY=ZR (1 + |t|)f(t)dt.
Montrer qu’on est bien dans la situation pr´ec´edente. Donner un exemple de forme lin´eaire
ϕ∈Y0qui n’appartient pas `a X0.