Topologie - Feuille n o 5 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

TOPOLOGIE ET ANALYSE FONCTIONNELLE
FEUILLE D’EXERCICES N◦5
MASTER DE MATH´ EMATIQUES, PREMIER SEMESTRE, ANN´ EE 2005/2006
Exercice 1. Le th´eor`eme d’Ascoli. Soient Xet Ydeux espaces m´etriques compacts.
Notons C0(X, Y ) l’espace des applications continues de Xdans Y, muni de la distance de
la convergence uniforme :
d(f, g) = sup
x∈X
d(f(x), g(x)).
(1) Rappeler pourquoi (C0(X, Y ), d) est complet, et pourquoi ses ´el´ements sont des
applications uniform´ement continues.
Une partie A⊆C0(X, Y ) est dite ´equicontinue si pour tout ε∈R>0, il existe δ∈R>0tel
que (∀x, y ∈X, ∀f∈A)d(x, y)< δ ⇒d(f(x), f(y)) < ε (c’est une propri´et´e d’uniformit´e
sur l’uniforme continuit´e).
Th´eor`eme d’Ascoli : Soit A⊆C0(X, Y ). Il y a ´equivalence entre :
(i) Aest ´equicontinue ;
(ii) Aest relativement compacte.
Rappelons que Aest relativement compacte si son adh´erence Aest compacte.
(2) Montrer que (ii)⇒(i).
(3) Supposons (i) et montrons que Aest pr´ecompact. Soit ε∈R>0et δ∈R>0un
module d’´equicontinuit´e associ´e. Recouvrir Xet Ypar un nombre fini de boules
B(xi, δ)1≤i≤net B(yj, ε/2)}1≤j≤mrespectivement. Conclure en consid´erant
l’ensemble des applications de {x1,...,xn}dans {y1,...,ym}.
(4) En d´eduire que (i)⇒(ii).
Exercice 2. Munissons l’espace C0([0,1]) des fonctions continues de [0,1] dans Rde la
norme de la convergence uniforme kfk∞= max
x∈[0,1] |f(x)|. Munissons l’espace C1([0,1]) des
fonctions continˆument d´erivables sur [0,1] `a valeurs dans R(en entendant d´erivable `a
droite en 0 et `a gauche en 1) de la norme C1:kfkC1=kfk∞+kf0k∞. Montrer que
l’homomorphisme d’inclusion j: C1([0,1]) →C0([0,1]) est compact.
Exercice 3. Soient Hun espace de Hilbert, (xn)n∈Nune suite orthonorm´ee de Het (αn)n∈N
une suite born´ee de nombres complexes. On d´efinit un endomorphisme de Hen posant
Ax =
∞
X
n=0
αnhx, xnixn.
Montrer que Aest continu et qu’il est compact si et seulement si lim
n→∞ αn= 0.
Supposons que (xn)n∈Nest une base orthonormale de H(ie. Vect(xn)n∈N) = H) et
lim
n→∞ αn= 0. Quel est le spectre de A?
Exercice 4. Soient Hun espace de Hilbert, (xn)n∈Nune suite orthonorm´ee de Het K
un op´erateur compact de H. Montrer que lim
n→∞ Kxn= 0 (on montrera que 0 est la seule
valeur d’adh´erence).
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Exercice 5. Soient Hun espace de Hilbert s´eparable et T:H→Hun op´erateur compact.
On se donne (en)n∈Nune base othonormale de H.
(i) Posons λn= sup{kT xk, x ∈Vect(e0,...,en)⊥,kxk ≤ 1}. Montrer que lim
n→∞ λn= 0.
(ii) En d´eduire que Test limite d’une suite d’op´erateurs de rang fini.
(Remarque : le r´esultat qui pr´ec`ede est valable dans tout espace de Hilbert).
Exercice 6. Soit Hun espace de Hilbert complexe et Tun op´erateur autoadjoint compact.
(a) Montrer que hT x, xi ∈ Rpour tout x∈H. Montrer que kTk= sup
kxk≤1
|hT x, xi|.
Pour le sens “difficile”, on notera que kTk= sup
kxk≤1
sup
kyk≤1
|hT x, yi|, on se ram`enera au
cas o`u hT x, yi ∈ R≥0, et on calculera
hT(x+y),(x+y)i − hT(x−y),(x−y)i+ihT(x+iy),(x+iy)i − hT(x−iy),(x−iy)i.
(b) Montrer que kTkou −kTkest valeur propre de T(utiliser la question pr´ec´edente
pour construire une suite (xn)n∈Nde Havec kxnk ≤ 1 pour tout n∈Ntelle que
lim
n→∞hT xn, xni=λ∈ {kTk,−kTk}).
(c) Montrer que si Tn’a pas de valeur propre non nulle, alors T= 0.
(d) Montrer que si xet ysont deux vecteurs propres de Tcorrespondant `a des valeurs
propres distinctes, alors hx, yi= 0.
(e) Soit (λi)i∈Nla suite des valeurs propres non nulles de T. Soit (eα)α∈Ala r´eunion
d’une base orthonormale de Ker(T) et de bases orthonormales de Ker(T−λiIdH)
pour tout i∈N. Montrer que (eα)α∈Aest une base orthonormale de H(on pourra
poser M={x∈H, (∀α∈A)hx, eαi= 0}et montrer que M= 0 en regardant
l’action de Tsur Met en utilisant le (c)).
(f) Quitte `a renum´eroter, on a λα=hT eα, eαi. Montrer que pour x∈H, on a
T x =X
α∈A
λαhx, eαieα.
Exercice 7. Soient Hun espace de Hilbert s´eparable, (en)n∈Nune base ortonormale de H
et T∈ L(H) continue. Supposons que
∞
P
n=0
kT enk2converge. Montrer que
(i) Test compact ;
(ii) pour toute base orthonormale (yn)n∈Nde H, la s´erie
∞
P
n=0
kT ynk2converge et sa
somme est ≥ kTk2, ind´ependante de la base (yn)n∈N(on pourra consid´erer une
base orthogonale de Hqui diagonalise T∗T).
Les op´erateurs de ce type sont dits de Hilbert-Schmidt.
Exercice 8. Soient a, b ∈R, avec a < b. On pose H= L2([a, b]), que l’on munit du
produit hermitien h·,·i classique. Soit f∈L2([a, b]2). Pour u∈H, on pose :
K(u)(x) = Zb
a
f(x, y)u(y) d y.
(1) Montrer que K(u) appartient `a L2([a, b]).
(2) Montrer que Kest lin´eaire continu sur Het calculer son adjoint.
(3) On suppose ici que fest continue. Montrer que Kest compact.

TOPOLOGIE ET ANALYSE FONCTIONNELLE FEUILLE D’EXERCICES N◦5 3
(4) Soit (en)nune base hilbertienne de H. Montrer que kKkHS := ∞
P
n=0
kK(en)k2
1
2
est fini, ind´ependant de la base hilbertienne choisie, et que kKkL(H)≤ kKkH S .
(5) On d´efinit Kn∈ L(H) par
Kn(ei) = (K(ei) si i≤n,
0 sinon.
Montrer que Kntend vers Kdans L(H) et en d´eduire que Kest un op´erateur
compact.
Exercice 9. Soit A∈ L(L2([0,1])) l’op´erateur d´efini par
A(u)(x) = Zx
0
u(t) d t.
(1) Montrer que Aest compact.
(2) D´eterminer l’adjoint de A.
(3) Montrer que A∗Aest un op´erateur autoajoint compact et d´eterminer son spectre.
(4) En d´eduire la norme de A∗Apuis la norme de A.