TERMINALE S - Spécialité Chapitre 2 : les nombres

TERMINALE S - Spécialité
Chapitre 2 : les nombres premiers
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1. Nombres premiers
Définition et exemples
Définition :
• un entier naturel p est premier s’il possède exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même.
Exemples :
• 0 n’est pas premier, il admet une infinité de diviseurs
• 1 n’est pas premier, il n’admet qu’un seul diviseur positif, 1.
• 2 est premier, il admet exactement deux diviseurs dans N : 1 et 2. C’est le seul entier pair premier !
• 3est premier, il admet exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même
Remarque :
• Il ne faut pas confondre nombre premier et nombres premiers entre eux !
Reconnaître un nombre premier
Théorème :
• Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Alors
o Ou bien n admet au moins un diviseur premier
o Ou bien si n n’est divisible par aucun entier p premier tel que 2 ≤ p ≤ n , alors n est premier.
Vocabulaire :
• Vérifier si un entier est premier ou pas se dit tester la primalité de cet entier
Infinité des nombres premiers
Propriété :
• Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration (dite par l’absurde)
Supposons que l’ensemble des nombres premiers est fin On a p
1
, p
2
, p
3
, p
4
,…, p
n
Considérons le nombre m = p
1
×
××
× p
2
×
××
× p
3
×
××
× p
4
×
××
×…×
××
× p
n
+ 1
Cet entier est supérieur ou égal à 2 donc il admet au moins un diviseur premier p
i
, de l’ensemble des
nombres premiers : p
1
, p
2
, p
3
, p
4
,…, p
n
. Cet entier p
i
divise m et p
1
×
××
× p
2
×
××
× p
3
×
××
× p
4
×
××
×…×
××
× p
n
donc leur
différence m - p
1
×
××
× p
2
×
××
× p
3
×
××
× p
4
×
××
×…×
××
× p
n
qui est égale à 1. Autrement dit p
i
divise 1, ce qui est impossible,
sinon p
i
est 1 et donc non premier. La supposition de départ était donc fausse, par conséquent c’est sa
négation qui est vraie, à savoir, il existe une infinité de nombre premiers !
2. Décomposition en facteurs premiers
Propriété
• Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 est premier ou est un produit de nombres premiers

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Chapitre 2 : les nombres premiers
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Démonstration :
Si n est premier, la propriété est établie.
Sinon le plus petit diviseur p de n est premier (voir théorème) et il existe un entier k tel que n = p × k avec k < n.
Si k est premier, la propriété est établie (produit de nombres premiers)
Sinon, comme ci-dessus, on reitère le procédé et de proche en proche on obtient une suite d’entiers de plus en
plus petits, jusqu’à 1 et on a n = p × p’ × p’’ × … p
(n)
où les p sont des nombres premiers
NB : les nombres premiers du produit ne sont pas nécessairement distincts et on peut les regrouper ainsi :
n = p
1
α
αα
α
1
×
××
× p
2
α
αα
α
2
×
××
× p
3
α
αα
α
3
×
××
× p
4
×
××
×…×
××
× p
n
On dit que cette écriture est la décomposition de n en un produit de
Exemple : 56
56 2
28 2
14 2
7 7
1
56 = 2
3
× 7
Unicité (Propriété admise)
• La décomposition en un produit de facteurs premiers de tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est
unique à l’ordre des facteurs près.
3. Application à la recherche des diviseurs
Théorème :
Si un entier naturel n, supérieur ou égal à 2, se décompose en un produit de facteurs premiers sous la forme n =
p
1
α1
p
2
α2
p
3
α3
… p
k
αk
ALORS les diviseurs positifs de n sont de la forme p
1
β1
p
2
β2
p
3
β3
… p
k
βk
avec 0 ≤ β
i
≤ α
i
pour
tout i tel que 1 ≤ i ≤ k.
Exemple : les diviseurs de 60
60 = 2² × 3 × 5 = 2² × 3
1
× 5
1
, alors tous les diviseurs de 60 sont de la forme 2
α1
× 3
α2
× 5
α3
avec α1 = 0, 1 ou 2
et α2 = 0, 1 et α3 = 0, 1
D’où l’arbre
5° 1
3° 5 5
2° 5° 3
3 5 15
5° 2
3° 5 10
2 5° 6
3 5 30
5° 4
3° 5 20
2² 5° 12
3 5 60
Si un entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en p
1
α1
p
2
α2
p
3
α3
… p
k
αk
alors il a : (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 +
1)… (αk + 1) diviseurs positifs.
Ici 60 a (2+1)(1+1)(1+1) = 12 diviseurs