TERMINALE S - Spécialité Chapitre 2 : les nombres

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TERMINALE S - Spécialité
Chapitre 2 : les nombres premiers
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1. Nombres premiers
Définition et exemples
Définition :
•
un entier naturel p est premier s’il possède exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même.
Exemples:
•
•
•
•
0 n’est pas premier, il admet une infinité de diviseurs
1 n’est pas premier, il n’admet qu’un seul diviseur positif, 1.
2 est premier, il admet exactement deux diviseurs dans N : 1 et 2. C’est le seul entier pair premier !
3est premier, il admet exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même
Remarque :
•
Il ne faut pas confondre nombre premier et nombres premiers entre eux !
Reconnaître un nombre premier
Théorème :
•
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Alors
o Ou bien n admet au moins un diviseur premier
o
Ou bien si n n’est divisible par aucun entier p premier tel que 2 ≤ p ≤
n, alors n est premier.
Vocabulaire :
•
Vérifier si un entier est premier ou pas se dit tester la primalité de cet entier
Infinité des nombres premiers
Propriété :
•
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration (dite par l’absurde)
Supposons que l’ensemble des nombres premiers est fin On a p1, p2, p3, p4,…, pn
Considérons le nombre m = p1 × p2 × p3 × p4 ×…×
× pn + 1
Cet entier est supérieur ou égal à 2 donc il admet au moins un diviseur premier pi , de l’ensemble des
nombres premiers : p1, p2, p3, p4,…, pn. Cet entier pi divise m et p1 × p2 × p3 × p4 ×…×
× pn donc leur
différence m - p1 × p2 × p3 × p4 ×…×
× pn qui est égale à 1. Autrement dit pi divise 1, ce qui est impossible,
sinon pi est 1 et donc non premier. La supposition de départ était donc fausse, par conséquent c’est sa
négation qui est vraie, à savoir, il existe une infinité de nombre premiers !
2. Décomposition en facteurs premiers
Propriété
•
Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 est premier ou est un produit de nombres premiers
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Chapitre 2 : les nombres premiers
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Démonstration :
Si n est premier, la propriété est établie.
Sinon le plus petit diviseur p de n est premier (voir théorème) et il existe un entier k tel que n = p × k avec k < n.
Si k est premier, la propriété est établie (produit de nombres premiers)
Sinon, comme ci-dessus, on reitère le procédé et de proche en proche on obtient une suite d’entiers de plus en
plus petits, jusqu’à 1 et on a n = p × p’ × p’’ × … p(n) où les p sont des nombres premiers
NB : les nombres premiers du produit ne sont pas nécessairement distincts et on peut les regrouper ainsi :
n = p1 α1 × p2α2 × p3 α3 × p4 ×…×
× pn On dit que cette écriture est la décomposition de n en un produit de
Exemple : 56
56 2
28 2
14 2
7 7
1
56 = 23 × 7
Unicité (Propriété admise)
•
La décomposition en un produit de facteurs premiers de tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est
unique à l’ordre des facteurs près.
3. Application à la recherche des diviseurs
Théorème :
Si un entier naturel n, supérieur ou égal à 2, se décompose en un produit de facteurs premiers sous la forme n =
p1α1 p2α2 p3α3… pkαk ALORS les diviseurs positifs de n sont de la forme p1β1 p2β2 p3β3… pkβk avec 0 ≤ βi ≤ α i pour
tout i tel que 1 ≤ i ≤ k.
Exemple : les diviseurs de 60
60 = 2² × 3 × 5 = 2² × 31 × 51, alors tous les diviseurs de 60 sont de la forme 2α1 × 3α2 × 5α3 avec α1 = 0, 1 ou 2
et α2 = 0, 1 et α3 = 0, 1
D’où l’arbre
5°
1
3°
5
5
2°
5°
3
3
5
15
5°
2
3°
5
10
2
5°
6
3
5
30
5°
4
3°
5
20
2²
5°
12
3
5
60
Si un entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en p1α1 p2α2 p3α3… pkαk alors il a : (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 +
1)… (αk + 1) diviseurs positifs.
Ici 60 a (2+1)(1+1)(1+1) = 12 diviseurs
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