I. Diviseurs et multiples II. Nombres premiers.

I. Diviseurs et multiples
1. Définition
a et b sont deux entiers positifs.

Si a est divisible par b, alors il existe un entier q tel que a = b  q .
On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a.

Si a n'est pas divisible par b alors il existe un nombre entier r appelé reste tel que :
a = b  q + r avec 0< r < b. (Division euclidienne)
2. Exemple
48 est divisible par 6 car 48  6  8
48 n’est pas divisible par 5.
48  5  9  3
a  bq  r
58
59
40
45
510
48
50
3. Disposition pratique :
On cherche les diviseurs de 24 :
24 = 124
24 = 212
24 = 38
24 = 46
On peut écrire dans un tableau :
1
2
3
4
24
12
8
6
Les diviseurs de 24 sont {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
II. Nombres premiers.
1. Définition :
On dit qu’un nombre est premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
2. Exemples :
2 est un nombre premier
3 est un nombre premier
4 n’est pas premier car il admet 3 diviseurs.
Attention : 1 n’est pas premier ! Il n’admet qu’un seul diviser.
3ème 2016
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3. Fractions irréductibles
a. Définition :
Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur ne sont plus simplifiables.
b. Propriété :
Pour rendre une fraction irréductible :
- On décompose le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.
- On simplifie par le plus grand diviseur commun aux deux nombres
c. Exemple :
Soit à simplifier la fraction :
175
245
175  52  7
245  5  7 2
175 5  5  7 5


donc
245 5  7  7 7
5
Et la fraction est irréductible.
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