Nombres premiers

Nombres premiers
Définition
Un nombre entier naturel est
premier ssi il a exactement
deux diviseurs positifs
Propriétés
 Tout entier admet au
moins un diviseur premier
 Tout entier composé n
a (au moins) un diviseur
premier d tel que 2  d  n
 L’ensemble des
nombres premiers est infini
Crible d’Eratosthène
Pour le construire, il suffit de
partir de 1 et de regarder si le
nombre est premier. Si oui, on
l’entoure puis on barre tous
ses multiples. Ensuite on
recommence avec le nombre
non rayé suivant et ainsi de
suite. A la fin, on obtient la
grille suivante :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81 91
82 92
83 93
84 94
85 95
86 96
87 97
88 98
89 99
90 100
Les cases jaunes représentent
les nombres composés et les
cases bleues, les nombres
premiers.
1 n’est pas premier car il n’a
qu’un seul diviseur, lui-même.
Théorème fondamental de
l’arithmétique
Tout nombre entier naturel
supérieur ou égal à 2 admet
une décomposition en produit
de facteurs premiers. Cette
décomposition est unique à
l’ordre des facteurs près.
Diviseurs d’un nombre
1
2

Soit N  p1 p2 ...pn n . Les
diviseurs de N sont les
1
2

nombres p1 p2 ...pn n avec
0  i i (pour 1 i n )
Remarques
 p est premier et aN ,
soit p et a sont premiers entre
eux, soit a est un multiple de
p.
 Si p, nombre premier,
divise un produit, alors il
divise l’un des facteurs de ce
produit
 Les diviseurs premiers
de N sont les pi , c’est à dire
p1, p2, ..., pn

i
Si pi N alors
0  i i
Nombres de diviseurs d’un
nombre
1
2

Soit N  p1 p2 ...pn n , le
nombre de diviseurs de N se
calcule de la manière
suivante :
1 12 1...n 1
Petit théorème de Fermat
Si p est premier et a n’est pas
multiple de p, alors a p1 1 p