Nombres premiers

Nombres premiers
Définition
Un nombre entier naturel est
premier ssi il a exactement
deux diviseurs positifs
Propriétés
 Tout entier admet au
moins un diviseur premier
 Tout entier composé n
a (au moins) un diviseur
premier d tel que
nd2
 L’ensemble des
nombres premiers est infini
Crible d’Eratosthène
Pour le construire, il suffit de
partir de 1 et de regarder si le
nombre est premier. Si oui, on
l’entoure puis on barre tous
ses multiples. Ensuite on
recommence avec le nombre
non rayé suivant et ainsi de
suite. A la fin, on obtient la
grille suivante :
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Les cases jaunes représentent
les nombres composés et les
cases bleues, les nombres
premiers.
1 n’est pas premier car il n’a
qu’un seul diviseur, lui-même.
Théorème fondamental de
l’arithmétique
Tout nombre entier naturel
supérieur ou égal à 2 admet
une décomposition en produit
de facteurs premiers. Cette
décomposition est unique à
l’ordre des facteurs près.
Diviseurs d’un nombre
Soit
n
nppp ...N 21 21
. Les
diviseurs de N sont les
nombres
n
nppp ...
21 21
avec
ii 0
(pour
ni1
)

Remarques
 p est premier et
Na
,
soit p et a sont premiers entre
eux, soit a est un multiple de
p.
 Si p, nombre premier,
divise un produit, alors il
divise l’un des facteurs de ce
produit
 Les diviseurs premiers
de N sont les
ip
, c’est à dire
nppp ..., , , 21
 Si
N
i
ip
alors
ii 0
Nombres de diviseurs d’un
nombre
Soit
n
nppp ...N 21 21
, le
nombre de diviseurs de N se
calcule de la manière
suivante :
1...11 21  n
Petit théorème de Fermat
Si p est premier et a n’est pas
multiple de p, alors
pap1
1