feuille d`exercices n 1

Université Paris 7
MT 132 – groupe I11
Printemps 2003
FEUILLE D’EXERCICES N◦1
1Groupes, Sous-groupes, Morphismes de groupes
Exercice 1.1 Soit Nl’ensemble des entiers naturels. On considère la loi de composition interne ∗
sur Ndéfinie par : a∗b=a2+b2. Cette loi est-elle commutative ? associative ? munie d’un élément
neutre ?
Exercice 1.2 Soit H={1+2p
1+2q/(p, q)∈Z}. Montrer que Hest un sous-groupe multiplicatif de Q.
Exercice 1.3 Soit (G, ∗)un groupe. Considérons l’ensemble C={y∈G / ∀x∈G, x ∗y=y∗x}:
c’est l’ensemble des éléments yde Gtels que pour tout xde G,xet ycommutent, c’est-à-dire
x∗y=y∗x. Montrer que Cest un sous-groupe de (G, ∗).
Exercice 1.4 Considérons Q+={r∈Q/ r > 0}. La loi interne définie sur Q+par a∗b=a
b
fait-elle de (Q+,∗)un groupe ?
Exercice 1.5 Soient f1,f2,f3et f4les fonctions de R+−→ R+définies par :
f1:x7−→ x f2:x7−→ 1
xf3:x7−→ −x f4:x7−→ −1 x.
Montrer que {f1, f2, f3, f4}est un groupe pour la loi de composition usuelle des fonctions.
Exercice 1.6 Soit (G, ∗)un groupe de neutre e. Supposons que l’on ait : ∀x∈G, x∗x=e. Montrer
que Gest commutatif. Donner un exemple de groupe vérifiant cette propriété.
Exercice 1.7 Montrer que si dans un groupe, deux éléments aet bcommutent, alors pour tout n
dans Net pour tout mdans N,anet bmcommutent.
Indication : montrer d’abord par récurrence que ∀n∈N,anet bcommutent ; fixer ensuite un n
quelconque dans Net montrer par récurrence que ∀m∈N,anet bmcommutent.
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Exercice 1.8 Considérons G= x x
0 0 / x ∈R∗⊂ M2(R).
1. Montrer que Gn’est pas un sous-groupe de GL2(R).
2. Montrer que Gest cependant un groupe pour la multiplication matricielle, de neutre 1 1
0 0 .
3. Montrer que (G, ×)est isomorphe au groupe (R∗,·).
Exercice 1.9 (groupe des quaternions) Dans M2(C), fixons les matrices
E=1 0
0 1 , I =i0
0−i, J =0 1
−1 0 , K =0i
i0.
1. Calculer les produits I2,J2,K2,IJ,JK et KI.
2. Calculer astucieusement IJ,KJ et IK.
3. Montrer que G={E, −E, I, −I, J, −J, K, −K}est un groupe.
4. Ce groupe est-il commutatif ?
5. Dresser la table de multiplication de ce groupe.
Exercice 1.10 Montrer que l’application trace, notée tr, qui à une matrice M= (mi,j)1≤i,j,≤n
de Mn(R)associe le réel tr(M) = Pn
k=1 mk,k est un morphisme de groupes de (Mn(R),+) dans
(R,+).
Exercice 1.11 On note Ila matrice identité de Mn(R).
1. Montrer que l’ensemble H={λ·I / λ ∈R∗}des homothéties de Mn(R)est un groupe pour
la multiplication des matrices.
2. Montrer que (H,×)est isomorphe à (R∗,·).
2Le Groupe Symétrique
Exercice 2.1 On se place dans un groupe symétrique d’ordre quelconque.
1. Montrer que l’inverse d’un cycle est un cycle de même longueur.
2. Un produit de cycles est-il un cycle ?
3. La puissance d’un cycle est-elle un cycle ?
Exercice 2.2 Soit Snle groupe symétrique d’ordre n. Soient ti,j et tk,` deux transpositions de Sn.
Posons s=ti,j ◦tk,`. Montrer que l’on a soit s= Id, soit s2= Id, soit s3= Id.
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Exercice 2.3 Dans cet exercice, on note S5le groupe symétrique d’ordre 5. Soit σun élément
quelconque de S5;σest inversible pour la loi de composition de S5, notons σ−1son inverse.
Soit Ψl’application de définie par :
Ψ : S5−→ S5
s7−→ σ◦s◦(σ−1)
1. Montrer que Ψest un morphisme de groupe.
2. Montrer que c’est un isomorphisme.
Exercice 2.4 (théorème de Cayley) Soit (G, ∗)un groupe fini d’ordre n. Notons SGl’ensemble
des permutations de G, c’est-à-dire des applications bijectives de Gdans G; c’est un groupe pour
la composition.
1. Fixons un élément gde G. On définit la translation à gauche Lgpar :
Lg:G−→ G
x7−→ g∗x
Montrer que Lgest dans SG.
2. Démontrer que l’application L:G−→ SGdéfinie en posant L(g) = Lgest un morphisme de
groupes.
3. Vérifier que Lest injective.
4. En déduire que tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe des permutations.
5. Fixons un élément gde G. On définit la translation à droite Rgpar :
Rg:G−→ G
x7−→ x∗g
Montrer que Rgest dans SG, mais que l’application R:G−→ SGdéfinie par R(g) = Rgn’est
pas un morphisme de groupes.
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FEUILLE D’EXERCICES N◦2
3Anneaux, Idéaux
Exercice 3.1 Soit Aun anneau commutatif. Pour a,bet cdans A, calculer
S= (a+b+c)3+ (a−b−c)3+ (−a+b−c)3+ (−a−b+c)3.
Exercice 3.2 Soient Eet Fdeux R-espaces vectoriels, et soit L(E, F )l’ensemble des applications
linéaires de Edans F.L(E, F )est muni de la loi +d’addition des applications linéaires.
1. Montrer que (L(E, F ),+) est un groupe.
2. On prend dans cette question F=E, et on note L(E) = L(E, E).
(a) Montrer que la loi de composition ◦est bien définie sur L(E).
(b) Montrer que (L(E),+,◦)est un anneau.
(c) Montrer que (L(E),+,◦)n’est pas un corps en général.
Exercice 3.3 Soit (A, +,·)un anneau. On définit une nouvelle loi de composition interne ∗sur A
par : x∗y=x·y−y·x.
1. Montrer que ∗est distributive par rapport à l’addition.
2. Montrer que ∀x∈A,∀y∈A, on a x∗y=−(y∗x).
3. Montrer que ∀x∈A,∀y∈A,∀z∈A, on a :
(a) x∗(y∗z) + y∗(z∗x) + z∗(x∗y) = 0 (Identité de Jacobi).
(b) x∗(y∗z)−(x∗y)∗z= (z∗x)∗y.
Exercice 3.4 Soit Aun anneau commutatif. Soit Iun idéal de A. On pose
R(I) = {x∈A / ∃n∈N, xn∈I}.
C’est l’ensemble des éléments de Adont une certaine puissance est dans I(attention : l’entier n
peut dépendre de x). Montrer que R(I)est un idéal de A.
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Exercice 3.5 Soit Mm,n(R)l’ensemble des matrices à mlignes et ncolonnes et à coefficients
dans R.
1. Montrer que Mm,n(R)est un groupe pour l’addition des matrices.
2. Dans cette question, on suppose que n=m= 2, et on note M2(R) = M2,2(R).
(a) Montrer que M2(R)muni de l’addition et de la multiplication des matrices est un an-
neau.
(b) Montrer que (M2(R),+,×)n’est pas un corps.
Exercice 3.6 (éléments nilpotents d’un anneau) Soit Aun anneau commutatif. Un élément
a∈Aest dit nilpotent d’indice ns’il existe un entier n∈N\ {0}tel que an= 0 et an−16= 0.
1. Montrer que si aet bsont nilpotents d’indices met nrespectivement avec m≤n, alors ab
est nilpotent d’indice inférieur ou égal à m.
2. Montrer que si l’anneau Aest intègre (c’est-à-dire ne possède pas de diviseurs de zéro), alors
0est le seul élément nilpotent.
3. Trouver les éléments nilpotents de Z/8Z.
Exercice 3.7 (entiers de Gauss) Notons Z[i] = {a+ib / a, b ∈Z} ⊂ Cl’ensemble des entiers
de Gauss.
1. Montrer que Z[i]est un anneau pour l’addition et la multiplication usuelles.
2. Déterminer les éléments inversibles de Z[i].
4Arithmétique dans Z
Exercice 4.1 Résoudre dans Zles équations suivantes :
a) x≡3 [15]
b) y+ 2 ≡ −8 [9]
Exercice 4.2 Donner la décomposition en facteurs premiers de : a) 378 b) 850 c) 23 b) 260.
Exercice 4.3 1. Calculer les pgcd suivants :
(a) pgcd(378,850)
(b) pgcd(850,260)
(c) pgcd(260,378)
2. Montrer que 378 et 25 sont premiers entre eux.
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Exercice 4.4 1. Rappeler la forme générale des sous-groupes de Z.
2. (a) Montrer que la somme de 2 sous-groupes d’un groupe commutatif Gest un sous-groupe
de G.
(Si Het Ksont 2 sous-groupes d’un groupe (G, +), leur somme H+Kest définie par
H+K={x+y / x ∈H, y ∈K}.)
(b) Mettre 2Z+ 3Zsous la forme nZ.
(c) Même question pour 12Z+ 8Z.
(d) Même question pour 378Z+ 25Z.
(e) Même question pour 850Z+ 260Z.
3. (a) Montrer que l’intersection de 2 sous-groupes d’un groupe (quelconque, non nécessaire-
ment commutatif) est un sous-groupe.
(b) Mettre 2Z∩3Zsous la forme nZ.
(c) Même question pour 12Z∩8Z.
(d) Même question pour 25Z∩35Z.
Exercice 4.5 Ecrire l’algorithme d’Euclide pour a= 850 et b= 378.
Exercice 4.6 1. Déterminer tous les entiers uet vtels que 47u+ 17v= 1.
2. Déterminer tous les entiers uet vtels que 9u+ 32v= 1.
3. Calculer le pgcd dde 129 et 27 et déterminer tous les entiers uet vtels que 129u+ 27v=d.
Exercice 4.7 1. Soient a,b∈Z. Démontrer que pour que l’équation ax+by =zait une solution
(x, y)∈Z2, il faut et il suffit que zsoit un multiple du pgcd de aet b.
2. Déterminer tous les entiers relatifs xet ytels que :
a) 7x−9y= 1 c) 11x+ 17y= 5 d) 955x+ 183y= 1 e) 1665x+ 1035y= 45
b) 7x−9y= 6 f) 1665x+ 1035y= 8
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FEUILLE D’EXERCICES N◦3
5Arithmétique dans Z: suite
Exercice 5.1 Soient a= 22×5×172,b= 32×5×172,c= 2 ×7et d= 11 ×177.
1. Donner la décomposition en facteurs premiers des pgcd(x, y)pour xet yqui parcourrent
{a, b, c, d}.
2. Même question pour ppcm(x, y).
3. Donner la décomposition en facteurs premiers de tous les diviseurs positifs de a.
4. Compter les diviseurs positifs de b,c, et d.
Exercice 5.2 Soient pun nombre premier et n∈N. Déterminer la liste des diviseurs de m= 2np,
et calculer leur somme en fonction de pet n.
Indication : on donne Pn
i=1 2i= 2n−1.
Exercice 5.3 Soit nun entier naturel. Pour quelles valeurs de nle nombre n2−3n+ 6 est-il
divisible par 5?
Exercice 5.4 Soient aet bdeux entiers premiers entre eux ; on pose S=a+bet P=ab. Trouver
pgcd(S, a)et pgcd(S, P ).
Exercice 5.5 Résoudre dans Zl’équation
10x+ 15y=−365.
Exercice 5.6 1. Montrer que si le polynôme à coefficients entiers anxn+an−1xn−1+···+a1x+a0
a une solution rationelle q=r
savec pgcd(r, s) = 1, alors sdivise anet rdivise a0.
2. En déduire que √2est irrationnel.
3. Même question pour √3.
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Exercice 5.7 Résoudre dans Zles équations suivantes :
1. 5x≡1 [7]
2. 3x≡2 [78]
3. 14x≡5 [45]
Exercice 5.8 Montrer que 27≡2 [7].
Exercice 5.9 On suppose que 3x+ 7yest un multiple de 11. Montrer qu’il en est de même de
4x−9y.
Exercice 5.10 Calculer 218 modulo 37.
Exercice 5.11 (Petit théorème de Fermat) Soit pun nombre premier.
1. Montrer que pour tout entier ktel que 0< k < p, le coefficient binomial Ck
pest divisible par
p.
2. Montrer que si aet bsont deux entiers, (a+b)p≡ap+bp[p]. En déduire que pour tout entier
a, on a (a+ 1)p≡ap+ 1 [p].
3. Montrer (par récurrence sur a) que pour tout entier a,ap≡a[p], et que si an’est pas congru
à0modulo p, alors ap−1≡1 [p].
Exercice 5.12 Montrer que la somme de deux carrés n’est pas congrue à 3modulo 4.
Exercice 5.13 Montrer que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.
Exercice 5.14 1. Montrer que si a,b, et csont trois entiers tels que adivise c,bdivise c, et
pgcd(a, b) = 1, alors ab divise c.
Indication : utiliser le lemme de Gauss.
2. En déduire que pour tout entier naturel n,120 divise n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4).
Exercice 5.15 Montrer que pour tout entier naturel n,n5−nest divisible par 30.
Exercice 5.16 Résoudre les systèmes suivants :
a)x≡7 [17]
x≡0 [6] b)x≡4 [3]
x≡1 [6] c)x≡2 [10]
x≡5 [6] d)x≡17 [3]
x≡22 [4]
e)x≡1 [10]
x≡7 [16] f)x≡29 [1]
x≡2 [18]
Exercice 5.17 Donner le reste de la division euclidienne de 61601 par 13.
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