feuille d`exercices n 1

Université Paris 7
MT 132 – groupe I11
Printemps 2003
Exercice 1.8 Considérons G =
x x
0 0
/ x ∈ R∗
⊂ M2 (R).
1. Montrer que G n’est pas un sous-groupe de GL2 (R).
2. Montrer que G est cependant un groupe pour la multiplication matricielle, de neutre
◦
FEUILLE D’EXERCICES N 1
1
1
0
3. Montrer que (G, ×) est isomorphe au groupe (R∗ , · ).
Groupes, Sous-groupes, Morphismes de groupes
Exercice 1.1 Soit N l’ensemble des entiers naturels. On considère la loi de composition interne ∗
sur N définie par : a ∗ b = a2 + b2 . Cette loi est-elle commutative ? associative ? munie d’un élément
neutre ?
Exercice 1.9 (groupe des quaternions) Dans M2 (C), fixons les matrices
1 0
i 0
0 1
0 i
E=
, I=
, J=
, K=
.
0 1
0 −i
−1 0
i 0
1. Calculer les produits I 2 , J 2 , K 2 , IJ, JK et KI.
2. Calculer astucieusement IJ, KJ et IK.
/ (p, q) ∈ Z}. Montrer que H est un sous-groupe multiplicatif de Q.
Exercice 1.2 Soit H = { 1+2p
1+2q
3. Montrer que G = {E, −E, I, −I, J, −J, K, −K} est un groupe.
4. Ce groupe est-il commutatif ?
5. Dresser la table de multiplication de ce groupe.
Exercice 1.3 Soit (G, ∗) un groupe. Considérons l’ensemble C = {y ∈ G / ∀x ∈ G, x ∗ y = y ∗ x} :
c’est l’ensemble des éléments y de G tels que pour tout x de G, x et y commutent, c’est-à-dire
x ∗ y = y ∗ x. Montrer que C est un sous-groupe de (G, ∗).
Exercice 1.10 Montrer que l’application
trace, notée tr, qui à une matrice M = (m i,j )1≤
P
de Mn (R) associe le réel tr(M ) = nk=1 mk,k est un morphisme de groupes de (Mn (R), +)
(R, +).
Exercice 1.11 On note I la matrice identité de Mn (R).
Exercice 1.4 Considérons Q+ = {r ∈ Q / r > 0}. La loi interne définie sur Q+ par a ∗ b =
fait-elle de (Q+ , ∗) un groupe ?
a
b
1. Montrer que l’ensemble H = {λ · I / λ ∈ R∗ } des homothéties de Mn (R) est un groupe
la multiplication des matrices.
2. Montrer que (H, ×) est isomorphe à (R∗ , ·).
Exercice 1.5 Soient f1 , f2 , f3 et f4 les fonctions de R+ −→ R+ définies par :
f1 : x 7−→ x
f2 : x 7−→
1
x
f3 : x 7−→ −x
1
f4 : x 7−→ − .
x
Montrer que {f1 , f2 , f3 , f4 } est un groupe pour la loi de composition usuelle des fonctions.
2
Le Groupe Symétrique
Exercice 2.1 On se place dans un groupe symétrique d’ordre quelconque.
1. Montrer que l’inverse d’un cycle est un cycle de même longueur.
Exercice 1.6 Soit (G, ∗) un groupe de neutre e. Supposons que l’on ait : ∀x ∈ G, x∗x = e. Montrer
que G est commutatif. Donner un exemple de groupe vérifiant cette propriété.
Exercice 1.7 Montrer que si dans un groupe, deux éléments a et b commutent, alors pour tout n
dans N et pour tout m dans N, an et bm commutent.
Indication : montrer d’abord par récurrence que ∀n ∈ N, an et b commutent ; fixer ensuite un n
quelconque dans N et montrer par récurrence que ∀m ∈ N, an et bm commutent.
1
2. Un produit de cycles est-il un cycle ?
3. La puissance d’un cycle est-elle un cycle ?
Exercice 2.2 Soit Sn le groupe symétrique d’ordre n. Soient ti,j et tk,` deux transpositions de
Posons s = ti,j ◦ tk,` . Montrer que l’on a soit s = Id, soit s2 = Id, soit s3 = Id.
2
Exercice 2.3 Dans cet exercice, on note S5 le groupe symétrique d’ordre 5. Soit σ un élément
quelconque de S5 ; σ est inversible pour la loi de composition de S5 , notons σ −1 son inverse.
Soit Ψ l’application de définie par :
Ψ : S5 −→ S5
s 7−→ σ ◦ s ◦ (σ −1 )
1. Montrer que Ψ est un morphisme de groupe.
2. Montrer que c’est un isomorphisme.
Exercice 2.4 (théorème de Cayley) Soit (G, ∗) un groupe fini d’ordre n. Notons S G l’ensemble
des permutations de G, c’est-à-dire des applications bijectives de G dans G ; c’est un groupe pour
la composition.
1. Fixons un élément g de G. On définit la translation à gauche Lg par :
Lg : G −→ G
x 7−→ g ∗ x
Montrer que Lg est dans SG .
2. Démontrer que l’application L : G −→ SG définie en posant L(g) = Lg est un morphisme de
groupes.
3. Vérifier que L est injective.
4. En déduire que tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe des permutations.
5. Fixons un élément g de G. On définit la translation à droite Rg par :
Rg : G −→ G
x 7−→ x ∗ g
Montrer que Rg est dans SG , mais que l’application R : G −→ SG définie par R(g) = Rg n’est
pas un morphisme de groupes.
3
4
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Printemps 2003
Exercice 3.5 Soit Mm,n (R) l’ensemble des matrices à m lignes et n colonnes et à coeffici
dans R.
1. Montrer que Mm,n (R) est un groupe pour l’addition des matrices.
◦
FEUILLE D’EXERCICES N 2
2. Dans cette question, on suppose que n = m = 2, et on note M2 (R) = M2,2 (R).
(a) Montrer que M2 (R) muni de l’addition et de la multiplication des matrices est un
neau.
(b) Montrer que (M2 (R), +, ×) n’est pas un corps.
3
Anneaux, Idéaux
Exercice 3.1 Soit A un anneau commutatif. Pour a, b et c dans A, calculer
S = (a + b + c)3 + (a − b − c)3 + (−a + b − c)3 + (−a − b + c)3 .
Exercice 3.2 Soient E et F deux R-espaces vectoriels, et soit L(E, F ) l’ensemble des applications
linéaires de E dans F . L(E, F ) est muni de la loi + d’addition des applications linéaires.
Exercice 3.6 (éléments nilpotents d’un anneau) Soit A un anneau commutatif. Un élém
a ∈ A est dit nilpotent d’indice n s’il existe un entier n ∈ N \ {0} tel que a n = 0 et an−1 6= 0.
1. Montrer que si a et b sont nilpotents d’indices m et n respectivement avec m ≤ n, alor
est nilpotent d’indice inférieur ou égal à m.
2. Montrer que si l’anneau A est intègre (c’est-à-dire ne possède pas de diviseurs de zéro), a
0 est le seul élément nilpotent.
3. Trouver les éléments nilpotents de Z/8Z.
1. Montrer que (L(E, F ), +) est un groupe.
2. On prend dans cette question F = E, et on note L(E) = L(E, E).
(a) Montrer que la loi de composition ◦ est bien définie sur L(E).
(b) Montrer que (L(E), +, ◦) est un anneau.
(c) Montrer que (L(E), +, ◦) n’est pas un corps en général.
Exercice 3.7 (entiers de Gauss) Notons Z[i] = {a + ib / a, b ∈ Z} ⊂ C l’ensemble des en
de Gauss.
1. Montrer que Z[i] est un anneau pour l’addition et la multiplication usuelles.
2. Déterminer les éléments inversibles de Z[i].
Exercice 3.3 Soit (A, +, ·) un anneau. On définit une nouvelle loi de composition interne ∗ sur A
par : x ∗ y = x · y − y · x.
1. Montrer que ∗ est distributive par rapport à l’addition.
2. Montrer que ∀x ∈ A, ∀y ∈ A, on a x ∗ y = −(y ∗ x).
3. Montrer que ∀x ∈ A, ∀y ∈ A, ∀z ∈ A, on a :
(a) x ∗ (y ∗ z) + y ∗ (z ∗ x) + z ∗ (x ∗ y) = 0 (Identité de Jacobi).
4
Arithmétique dans Z
Exercice 4.1 Résoudre dans Z les équations suivantes :
a) x ≡ 3 [15]
b) y + 2 ≡ −8 [9]
(b) x ∗ (y ∗ z) − (x ∗ y) ∗ z = (z ∗ x) ∗ y.
Exercice 4.2 Donner la décomposition en facteurs premiers de : a) 378 b) 850 c) 23 b) 26
Exercice 3.4 Soit A un anneau commutatif. Soit I un idéal de A. On pose
R(I) = {x ∈ A / ∃ n ∈ N , xn ∈ I}.
C’est l’ensemble des éléments de A dont une certaine puissance est dans I (attention : l’entier n
peut dépendre de x). Montrer que R(I) est un idéal de A.
Exercice 4.3
1. Calculer les pgcd suivants :
(a) pgcd(378, 850)
(b) pgcd(850, 260)
(c) pgcd(260, 378)
2. Montrer que 378 et 25 sont premiers entre eux.
5
6
Exercice 4.4
1. Rappeler la forme générale des sous-groupes de Z.
2. (a) Montrer que la somme de 2 sous-groupes d’un groupe commutatif G est un sous-groupe
de G.
(Si H et K sont 2 sous-groupes d’un groupe (G, +), leur somme H + K est définie par
H + K = {x + y / x ∈ H, y ∈ K}.)
(b) Mettre 2Z + 3Z sous la forme nZ.
(c) Même question pour 12Z + 8Z.
(d) Même question pour 378Z + 25Z.
(e) Même question pour 850Z + 260Z.
3. (a) Montrer que l’intersection de 2 sous-groupes d’un groupe (quelconque, non nécessairement commutatif ) est un sous-groupe.
(b) Mettre 2Z ∩ 3Z sous la forme nZ.
(c) Même question pour 12Z ∩ 8Z.
(d) Même question pour 25Z ∩ 35Z.
Exercice 4.5 Ecrire l’algorithme d’Euclide pour a = 850 et b = 378.
Exercice 4.6
1. Déterminer tous les entiers u et v tels que 47u + 17v = 1.
2. Déterminer tous les entiers u et v tels que 9u + 32v = 1.
3. Calculer le pgcd d de 129 et 27 et déterminer tous les entiers u et v tels que 129u + 27v = d.
Exercice 4.7
1. Soient a, b ∈ Z. Démontrer que pour que l’équation ax+by = z ait une solution
(x, y) ∈ Z2 , il faut et il suffit que z soit un multiple du pgcd de a et b.
2. Déterminer tous les entiers relatifs x et y tels que :
a) 7x − 9y = 1
b) 7x − 9y = 6
c) 11x + 17y = 5
d) 955x + 183y = 1
7
e) 1665x + 1035y = 45
f ) 1665x + 1035y = 8
8
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Exercice 5.7 Résoudre dans Z les équations suivantes :
1. 5x ≡ 1 [7]
2. 3x ≡ 2 [78]
3. 14x ≡ 5 [45]
FEUILLE D’EXERCICES N◦3
Exercice 5.8 Montrer que 27 ≡ 2 [7].
5
Exercice 5.9 On suppose que 3x + 7y est un multiple de 11. Montrer qu’il en est de mêm
4x − 9y.
Arithmétique dans Z : suite
Exercice 5.1 Soient a = 22 × 5 × 172 , b = 32 × 5 × 172 , c = 2 × 7 et d = 11 × 177 .
1. Donner la décomposition en facteurs premiers des pgcd(x, y) pour x et y qui parcourrent
{a, b, c, d}.
2. Même question pour ppcm(x, y).
3. Donner la décomposition en facteurs premiers de tous les diviseurs positifs de a.
4. Compter les diviseurs positifs de b, c, et d.
Exercice 5.2 Soient p un nombre premier et n ∈ N. Déterminer la liste des diviseurs de m = 2 n p,
et calculer leur somme en P
fonction de p et n.
Indication : on donne ni=1 2i = 2n − 1.
Exercice 5.3 Soit n un entier naturel. Pour quelles valeurs de n le nombre n 2 − 3n + 6 est-il
divisible par 5 ?
Exercice 5.4 Soient a et b deux entiers premiers entre eux ; on pose S = a + b et P = ab. Trouver
pgcd(S, a) et pgcd(S, P ).
Exercice 5.10 Calculer 218 modulo 37.
Exercice 5.11 (Petit théorème de Fermat) Soit p un nombre premier.
1. Montrer que pour tout entier k tel que 0 < k < p, le coefficient binomial C pk est divisible
p.
2. Montrer que si a et b sont deux entiers, (a + b)p ≡ ap + bp [p]. En déduire que pour tout en
a, on a (a + 1)p ≡ ap + 1 [p].
3. Montrer (par récurrence sur a) que pour tout entier a, ap ≡ a [p], et que si a n’est pas co
à 0 modulo p, alors ap−1 ≡ 1 [p].
Exercice 5.12 Montrer que la somme de deux carrés n’est pas congrue à 3 modulo 4.
Exercice 5.13 Montrer que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.
Exercice 5.14
1. Montrer que si a, b, et c sont trois entiers tels que a divise c, b divise
pgcd(a, b) = 1, alors ab divise c.
Indication : utiliser le lemme de Gauss.
2. En déduire que pour tout entier naturel n, 120 divise n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4).
Exercice 5.15 Montrer que pour tout entier naturel n, n5 − n est divisible par 30.
Exercice 5.5 Résoudre dans Z l’équation
10x + 15y = −365.
n
n−1
Exercice 5.6
1. Montrer que si le polynôme à coefficients entiers an x +an−1 x +· · ·+a1 x+a0
a une solution rationelle q = rs avec pgcd(r, s) = 1, alors s divise an et r divise a0 .
√
2. En déduire que 2 est irrationnel.
√
3. Même question pour 3.
Exercice 5.16 Résoudre les systèmes suivants :
x ≡ 7 [17]
x ≡ 4 [3]
x ≡ 2 [10]
a)
b)
c)
x ≡ 0 [6]
x ≡ 1 [6]
x ≡ 5 [6]
x ≡ 1 [10]
x ≡ 29 [1]
e)
f)
x ≡ 7 [16]
x ≡ 2 [18]
d)
x ≡ 17 [3]
x ≡ 22 [4]
Exercice 5.17 Donner le reste de la division euclidienne de 61601 par 13.
9
10
Exercice 6.5 Montrer que les polynômes X 4 + 1 et X 3 + 1 sont premiers entre eux.
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Exercice 6.6 Pour les polynômes suivants, donner la décomposition en facteurs irréductibles
FEUILLE D’EXERCICES N◦4
a) dans Q[X],
b) dans R[X],
c) dans C[X].
1. A(X) = X 2 − 3X + 2 .
6
2. B(X) = X 4 − 5X 2 + 4 .
Polynômes
3. C(X) = X 3 − X 2 − 2X + 2 .
4. D(X) = X 6 + 9X 4 + 27X 2 + 27.
Exercice 6.1 On définit les polynômes P et Q suivants :
3
2
P (X) = X − 3X + 3X − 3
√
1. Montrer que x0 = 1 + 3 2 annule P .
4
3
2
Q(X) = X − X − 3X + 3X − 4
2. En déduire la valeur numérique de Q en x0 .
Exercice 6.2
dans Z.
1. Soit P (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 un polynôme à coefficients
5. E(X) = X 4 − 1.
6. F (X) = 13 X 4 − 1.
7. G(X) = X 3 − 1.
8. H(X) = X 4 − X 2 + 1.
Exercice 6.7 Déterminer les racines dans C et la décomposition en facteurs irréductibles d
C[X] du polynôme suivant : iX 2 + (i + 1)X + 1.
(a) Montrer que pour que le rationnel x = pq (où p et q sont deux entiers premiers entre eux
avec q > 0) soit racine de P , il faut que p divise a0 et q divise an .
(b) Montrer que X 3 − X − 1 n’a pas de racine rationnelle.
(c) Factoriser sur R le polynôme P (X) = 3X 3 + 8X 2 + 12X − 5.
2. On considère l’équation suivante (E) :
xn + p1 xn−1 + p2 xn−2 + · · · + pn−1 x1 + pn
où p1 , p2 , . . ., pn sont des entiers.
(a) Montrer que si cette équation a une solution rationnelle, celle-ci est nécessairement entière et est un diviseur de pn .
(b) Déterminer les racines rationnelles de l’équation x3 + 4x2 + 5x + 6 = 0.
(c) Même question pour l’équation x4 − 4x3 − 8x2 + 13x + 10 = 0.
Exercice 6.3 Montrer que si P est un polynôme à coefficients réels et que z est une racine complexe
de P , alors z̄ est également racine de P .
Exercice 6.8 Effectuer la division euclidienne de Ai par Bi dans les cas suivants :
1. A1 (X) = X 8 ,
2. A2 (X) = X 5 − X 4 + X 3 + 2X + 2,
11
6
5
4
3
6
5
4
3
B2 (X) = X 2 + X + 1.
3. A3 (X) = 10X − 7X + 14X + 11X + 8X 2 + 5X + 4,
2
4. A4 (X) = 10X − 7X + 14X + 11X + 8X + 3X + 4,
B3 (X) = 2X 2 − 3X + 4.
B4 (X) = 2X 2 − 3X + 4.
Exercice 6.9 Les polynômes suivants ont-ils des racines doubles dans R ? Dans C ?
1. P (X) = 2X 3 − 3X 2 + 12X + 6.
2. Q(X) = (X − 27)2 (X + 32).
√
3. R(X) = (X 2 + 2)(X − 3 7).
√
√
4. S(X) = (X 2 + 2)(X − i 2)(X − 3 7).
Exercice 6.10
Exercice 6.4 Le polynôme 2X − 2 divise-t-il X − 1 dans Z[X] ? Dans Q[X] ? Dans R[X] ? Dans
C[X] ?
B1 (X) = 2X 3 − 4.
1. Vérifier que x = 1 est racine du polynôme P (X) = x4 − 5x3 + 9x2 − 7x
2. Quel est l’ordre de multiplicité de cette racine ? Factoriser le polynôme.
12
Exercice 6.11 Soit n un entier ≥ 1. On pose P (X) = 1 + X +
Montrer que P n’a que des racines simples.
1
X2
2!
+ ···+
1
X n−1
(n−1)!
+
1
X n.
n!
10. Refaire l’exercice 6.13 à l’aide des questions précédentes.
11. Revoir également les questions 5 et 7 de l’exercice 6.6.
12. Donner la décomposition en facteurs irréductibles de Pn dans C[X] et dans R[X].
Exercice 6.12
1. Montrer que le polynôme T (X) = 5X 4 − 4X 3 + 6X 2 − 4X + 1 admet i comme
racine double.
2. En déduire (sans calculs) que T admet également −i comme racine double.
Exercice 6.13 Montrer que si m et n sont deux entiers naturels non nuls tels que m divise n,
alors X m − 1 divise X n − 1.
Exercice 6.14 Déterminer un couple (U, V ) de polynômes à coefficients réels vérifiant AU +BV =
1 dans les deux cas suivants :
1. A(X) = X 7 − X − 1,
B(X) = X 5 + 1.
2. A(X) = X 5 − X 4 + 2X 3 + 1,
B(X) = X 5 + X 4 + 2X 2 − 1.
Exercice 6.15 Quel est le degré du polynôme (X + 1)6n+1 − X 6n+1 − 1 ?
Exercice 6.16 Quel est le degré et que valent les coefficients de degrés 12, 11, 7 et le coefficient
constant, du polynôme (2X 4 − 8X 2 − 1)3 − (18X 7 − 2X 12 + X 6 − 13X 4 − 1).
Exercice 6.18 On considère les polynômes P (X) = X 5 + X 3 − X 2 − 1 et Q(X) = X 4 − 2X 3
de R[X]. A l’aide de l’algorithme d’Euclide, calculer D = pgcd(P, Q), et déterminer une solu
(U, V ) de l’équation P U + QV = D.
Exercice 6.19 On pose A(X) = (X − 1)5 , B(X) = X 8 + X 7 + X + 1, P (X) = X 2 + 2X −
Q(X) = X 3 + X 2 − 3X + 1. Calculer sans utiliser l’algorithme d’Euclide pgcd(A, B) et pgcd(P
Exercice 6.20 A l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer D = pgcd(A, B) et un coupl
polynômes (U, V ) de C[X] tel que AU + BV = D pour A(X) = X 3 − X 2 + X − 1 et B(X
X 2 − 3iX − 2.
Exercice 6.21 Pour A(X) = X 8 − 1 et B(X) = X 3 − 1, déterminer à l’aide de l’algorit
d’Euclide D = pgcd(A, B) et un couple (U, V ) tel que AU + BV = D.
Exercice 6.22 Déterminer tous les polynômes P unitaires de degré 3 de R[X] tels que X 2 d
P (X + 1) − P (X).
Exercice 6.17 (Le groupe des racines nièmes de l’unité.) Pour tout n dans N∗ , on pose
Un = {z ∈ C; z n = 1}
et
Pn (X) = X n − 1.
1. Que valent U1 , U2 et U4 ?
2. Comparer Un à l’ensemble noté Sn des racines dans C du polynôme Pn .
Exercice 6.23 Déterminer les racines réelles et les racines complexes du polynôme
P (X) = X 5 − X 4 − X 3 − X 2 − X − 2.
3. Montrer que pour tout n ∈ N∗ , 1 appartient à Un .
4. Le polynôme Pn admet-il des racines multiples ?
5. Montrer que Un est un groupe.
6. Résoudre dans C l’équation z n = 1, ie déterminer Un .
7. Montrer que Un est un groupe cyclique de cardinal n. En donner un générateur.
8. Soit α un élément de Un différent de 1.
(a) Montrer que α est racine du polynôme Qn (X) = X n−1 + X n−2 + · · · + X 2 + X + 1.
(b) Montrer que αn−1 + αn−2 + · · · + α2 + α + 1 = 0.
9. Déterminer l’ensemble des racines dans C du polynôme Qn .
13
14
Exercice 7.5 Soit P le polynôme suivant : P (X) = X 3 − 2X 2 − X + 2.
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FEUILLE D’EXERCICES N◦5
1. Justifier l’existence de réels a1 , b1 , c1 , a−1 , b−1 , c−1 , a2 , b2 , c2 , a−2 , b−2 , c−2 et
tels que
P (X) = a1 (X − 1)3 + b1 (X − 1)2 + c1 (X − 1)
P (X) = a−1 (X + 1)3 + b−1 (X + 1)2 + c−1 (X + 1)
P (X) = a2 (X − 2)3 + b2 (X − 2)2 + c2 (X − 2)
P (X) = a−2 (X + 2)3 + b−2 (X + 2)2 + c−2 (X + 2) + d−2
2. Quelle est la méthode la plus rapide pour calculer ces 13 réels ? L’appliquer.
7
Exercice 7.1
Polynômes (suite) et Fractions Rationnelles
1. Montrer que le polynôme X 3 + X − 2 peut se décomposer sous la forme
X 3 + X − 2 = a(X − 1)3 + b(X − 1)2 + c(X − 1) + d
où a , b , c et d sont des réels.
2. Calculer a , b , c et d.
3. Utiliser la question précédente pour donner la décomposition en éléments simples dans R de
la fraction rationnelle
X3 + X − 2
.
(X − 1)4
Exercice 7.2 Donner sans calculer les coefficients la forme des décompositions en éléments simples
de la fraction rationnelle X 52−1 dans C et dans R.
Exercice 7.3
1. Montrer que le polynôme (X − 2)4 − X(X 3 + 1) + 2 peut s’écrire sous la forme
√
a(X 5 + X 3 − 17X 2 ) + b(X 4 − 3) + cX 3 + dX 2 + e(X + 1) + f
où a , b , c , d , e et f sont des réels.
2. Calculer a , b , c , d , e et f . (ATTENTION : il y a peu de calculs, même pour a et b).
Exercice 7.4 (Pour cet exercice, on s’aidera des résultats de l’exercice 6.6.) Donner la décomposition en éléments simples des fractions suivantes dans le corps demandé :
a)
b)
X 2 − 3X + 3
X 2 − 3X + 2
dans R.
2X 5 − 10X 3 + 8X + 1
dans R.
X 4 − 5X 2 + 4
X−1
dans R.
c)
X4 − 1
X −1
dans C.
d)
X4 − 1
15
16
Université Paris 7
MT 132 – groupe I11
Printemps 2003
2. Même question pour la fonction h définie sur [−a a] par :
f (x)
si x ≥ 0
g(x) =
f (−x) si x < 0
FEUILLE D’EXERCICES N◦6
8
Fonctions en escalier
3. Application : pour a = 10 et f = f3 dans l’exercice 8.1, calculer g, h, et leurs intégrales.
Exercice 8.3 Soit N un entier naturel. Soit fN la fonction définie sur [0 N ] par fN (x) =
n ≤ x < n + 1 (pour n = 0..N − 1) et fN (N ) = N + 1. Cette fonction est-elle en escalier ?
vaut sont intégrale ? On donnera le résultat en fonction de N .
Exercice 8.1 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions en escalier sur l’intervalle donné ? Pour celles qui le sont, donner une subdivision adaptée, et calculer l’intégrale.
1. f1 est définie sur I = [0 32 ] par :
9
f1 (x) =
2. f2 (x) =
1
x
x sur [0 1]
3 sur ]1 32 ]
sur I = [1 2]
3. f3 est définie sur I = [0 10] par :

 1 sur ]i , i + 1[ si i est pair
0 sur ]i , i + 1[ si i est impair
f3 (x) =

i en i (pour i = 0..10)
√ √
4. f4 est définie sur I = [ 3 7] par :

−1




 1√
f4 (x) =
√23



 √25

27
√ √
sur ]√3 √5[
sur√] 5 7[
en √3
en √5
en 7
5. f5 est définie sur I = [0 10] par :
f5 (x) =
√ √
f4 (x) sur [ 3 7] √ √
0
en-dehors de [ 3 7]
Linéarité et croissance de l’intégrale sur un intervalle borné
Exercice 9.1 Soient a et b deux réels avec a ≤ b, et soit I = [a b]. L’ensemble des fonctions
dans R intégrables est un R-espace vectoriel : si f et g sont intégrables sur I et λ est un réel, a
f + g est intégrable sur I ainsi que λg.
On montre en question 1 que II (f + g) = II (f ) + II (g), et en question 2 que II (λf ) = λ · II
En question 3, on montre que si f ≤ g, alors II (f ) ≤ II (g).
1. Soit ε > 0, et soient vε , wε , vε0 et wε0 des fonctions en escalier sur I telles que

vε ≤ f ≤ w ε



vε0 ≤ g ≤ wε0
I
(w

I
ε − vε ) ≤ ε/2


II (wε0 − vε0 ) ≤ ε/2
Démontrer les deux inégalités suivantes :
II (vε ) + II (vε0 ) ≤ II (f + g) ≤ II (wε ) + II (wε0 )
II (vε ) + II (vε0 ) ≤ II (f ) + II (g) ≤ II (wε ) + II (wε0 )
“Soustraire” ces deux inégalités pour démontrer que
−ε ≤ II (f + g) − II (f ) − II (g) ≤ ε
Conclure.
2. Effectuer le même genre de raisonnement pour démontrer que pour tout ε > 0 on a l’e
drement suivant (on séparera les cas λ ≥ 0 et λ < 0) :
6. f6 = f3 + f5 .
Exercice 8.2
1. Soit a un réel > 0 et soit f une fonction en escalier sur [0 a]. On définit la
fonction g sur [−a a] par :
f (x)
si x ≥ 0
g(x) =
−f (−x) si x < 0
g est-elle en escalier ? Si oui, en donner une subdivision adaptée en fonction d’une subdivision
adaptée à f et calculer la valeur de l’intégrale de g en fonction de celle de f .
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−ε ≤ II (λf ) − λII (f ) ≤ ε
Conclure.
3. En remarquant que si f ≤ g, alors 0 est une fonction en escaliers sur I inférieure à f
montrer que II (f − g) ≥ 0.
Conclure à l’aide des questions 1 et 2.
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