4ème Trigonométrie Exercices de révision de trigonométrie : correctif Exercice 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. sin 27° + cos -27° cos 250° tg 254° + sin 315° cos (-100°) - 𝜋 7. cos(-181°) 8. sin(-100°) 9. sin 𝜋 = 0 10. sin 2𝜋 = 0 𝜋 11. cos 3 + 12. tg (-4 ) 13. cotg 249° + 14. tg(-325°) + 15. cos (-91°) 16. cos (89°)+ Exercice 2 Calcule, en passant par un angle du premier quadrant (et en le notant), les nombres trigonométriques suivants, aide-toi du cercle trigonométrique. 7) cos 150°= - cos(30°) = 1) sin 150°= sin 30°= 1/2 − √3 2 2) cos 300°= cos 60°=1/2 8) cos (-300°) = cos 60°= 0,5 3) cotg 330° : tg 330°= - tg (360°-330°) 9) Attention erreur énoncé cotg 315° : tg 315°= - tg (45°)= -1 = – tg (30°) = − - 3 √3 √3 3 𝑑𝑜𝑛𝑐 cotg 210° = = −√3 10) sin (-60°)= - sin 60°= - 4) cos (-60°)= cos (60°)= 1/2 5) tg 7𝜋 4 11) tg − = −𝑡𝑔 (45°) = −1 2𝜋 3 √3 2 = tg (-60°) = - tg (60°) = - √3 12) cos (-2𝜋) = 1 6) sin (-2𝜋) = sin 0°= 0 Question 3 L’angle au sommet d’un triangle isocèle vaut 12°. Sa base a 6 cm de longueur. Détermine (avec 3 décimales) : a) la hauteur de ce triangle b) le périmètre de ce triangle 12° 6° h 6cm a a) tg6° = 3/h h = 3/tg6° = 28,543cm b) sin6° = 3/a a = 3/sin6° = 28,7 cm Le périmètre est de 63,4 cm 3cm 1 4ème Trigonométrie Question 4 x Si b=3cm et c=4cm, calcule la longueur de a et l’amplitude des 2 angles (non droits) du triangle. a b y c 𝑎 = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5 𝑐𝑚 cos x = A/H=3/5 donc x=arccos 3/5= 53,13° cos y= A/H=4/5 donc y=arccos 4/5 = 36,87° Vérification : 90°+53,13°+36,87°=180° (somme des angles intérieurs d’un triangle) Question 5 et que l’angle x est compris entre 180° et 360°, à quel quadrant appartient cet angle x ? au quatrième quadrant que vaut cotg x ? calcule, sans machine, cos x sinx cosx tg x = = sinx = cosx cos²x or sin²x + cos²x = 1 + cos²x = 1 cos²x = cosx = = =0.780869 valeur positive car l’angle est du quatrième quadrant calcule, avec la machine, l’angle x et exprime-le degrés, minutes, secondes cos x= donc x=arccos 0,780869= 38,65979°, comme quatrième quadrant 38,659790777° et en degrés minutes et secondes = -38° (0,65.60) (0,587446.60)= x = -38°39’35’’ ou x=321°20’25’’ Si l’on te dit que tg x = a) b) c) d) Question 6 x Si b=5cm et c=10cm, calcule la longueur de a et l’amplitude des 2 angles (non droits) du triangle. a b c y 𝑎 = √52 + 102 = √125 = 5√5 𝑐𝑚 cos x = A/H=5/5√5 donc x=arccos 1/√5 = 63,43° cos y= A/H=10/5√5 donc y=arccos 2/√5 = 26,57° Vérification : 90°+63,43°+26,57°=180° (somme des angles intérieurs d’un triangle) 2 4ème Trigonométrie Question 7 1. Exprime en DMS (degrés sexagésimaux), l’amplitude d’un angle de 37,28° je fais 37 ° puis 0.28*60= 16,8 donc 16 minutes puis 0.8*60=48 secondes donc réponse 37°16’48’’ d’un angle de 67,73° je fais 67° puis 0,73*60=43,8 donc 46 minutes puis 0.8*60 = 48 secondes donc réponse 67°43’48’’ 2. Exprime en degré décimaux l’amplitude des angles suivants : 17 37 43°17’37’’ = ( 43 + 60 + 60.60) = 𝟒𝟑, 𝟐𝟗𝟑𝟔𝟏𝟏𝟏° 73°45’19’’ = ( 73 + 60 + 60.60) = 𝟕𝟑, 𝟕𝟓𝟓𝟐𝟕𝟕𝟕𝟖° 45 19 Question 8 Un marin voit un phare sous un angle de 2° lorsqu’il en est éloigné de 600 mètres. Note : on néglige la taille du marin. Fais un schéma. a. quelle est la hauteur du phare ? b. de quelle distance le marin doit-il s’éloigner du phare pour qu’il observe celui-ci sous un angle de 1°? h 1° x a) tg2° = 2° h 600m d’où h = 600.tg2° = 20,952 m La hauteur du phare est de 20,95 mètres h h d’où 600+x = et x = 600,366 m Le marin doit se placer x tg à 1200 mètres du phare et donc de déplacer encore de 600mètres. b) tg1° = Question 9 1. Cite un angle en radian pour lequel la tangente n’existe pas. Par exemple ; ,… 2. Quelle est la plus grande valeur prise par le cosinus d’un angle ? 1 3. Cite un angle en degré pour lequel la tangente est très, très grande 89°,269°,… 4. Quelle est la relation entre la tangente d’un angle et la cotangente du même angle ? tgx = , la tangente et la cotangente sont inverses l’une de l’autre cotgx 5. Deux angles complémentaires (angles dont la somme vaut 90°) sont tels que le sinus de l’un vaut le cosinus de l’autre. Vrai ou faux ? Justifie Vrai ! sin60° = cos30° par exemple De manière générale, sinx = cos(90°-x) 3 4ème Trigonométrie Question 10 et que l’angle x est compris entre 180° et 360°, à quel quadrant appartient cet angle x ? au quatrième quadrant que vaut cotg x ? calcule, sans machine, cos x sinx cosx tg x = = sinx = cosx cos²x or sin²x + cos²x = 1 + cos²x = 1 cos²x = cosx = valeur positive car l’angle est du quatrième quadrant calcule, avec la machine, l’angle x et exprime-le degrés, minutes, secondes x = -53°7’48’’ ou 306°52’12’’ 1. Si l’on te dit que tg x = a. b. c. d. 2. Un secteur de rayon 7 cm a un angle au centre de 111°. Détermine l’aire du secteur. 𝟏 Aire du secteur = 𝟐 𝒂𝑹𝟐 où a doit être exprimé en radian °. = 1,9373154 radian ° 𝟏 Aire= 𝟐 𝟏, 𝟗𝟑𝟕𝟑𝟏𝟓𝟒 ∗ 𝟕𝟐 =47,46cm2 a = 111° = L’aire du secteur est de 47,46 cm 2 Question 11 Simplifie les expressions suivantes (astuce : repasse par l’angle x) 1. cos(-x) + sin(90°-x) + cos(180° + x) = cos x + cos x – cos x= cos x 2. cos (-x)+3cos(180°+x)-2cos(180°-x) = cos x – 3 cos x + 2cos x = 0 3. ( + )sin x.cos x= tgx cotgx 1 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = ( 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = cos2 𝑥+sin2 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 4. cos (90°+x)= - sin x 5. tg (180°+x) . tg (180°-x)= tg x (- tg x)= - tg2x 6. sin (x-180°)= - sin x 7. sin (180°-x) – sin (180°+x) = sin x – (- sin x) = sin x + sin x = 2 sin x 4 4ème Trigonométrie Question 12 Simplifie les expressions suivantes (astuce : utilise les formules que tu connais) : 1. (1-cosx)(1+cosx)= 1 - cos 2 x = sin2 a sin2 𝑥 2. 𝐴𝑡𝑡𝑒𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 é𝑛𝑜𝑛𝑐é cos 2 𝑥(1 + 𝑡𝑔2 𝑥 ) = cos 2 𝑥 (1 + cos2 𝑥) = cos 2 𝑥 + sin2 𝑥 cos 2 𝑥 . cos2 𝑥 = cos 2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 3. 4. sinx cosx (tgx + cotgx) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1+𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1−𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 ( + 𝑠𝑖𝑛𝑥 ) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ( 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)+𝑐𝑜𝑠𝑥(1−𝑠𝑖𝑛𝑥) (1−𝑠𝑖𝑛𝑥)(1+𝑠𝑖𝑛𝑥) = sin2 𝑥+cos2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 1 ) = cos2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 1−sin2 𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥 2 = cos2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 5. sin4 𝑥 − cos 4 𝑥 = (sin2 𝑥 − cos 2 𝑥)(sin2 𝑥 + cos 2 𝑥) = sin2 𝑥 − cos 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 6. (1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 )(1 − cos 2 𝑥 ) = (1 + sin2 𝑥 )(1 − cos 2 𝑥) = 1 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 7. (𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = ( 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 8. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑡𝑔𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 9. 1 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑡𝑔𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos2 𝑥+sin2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 1−sin2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = sin2 𝑥+cos2 𝑥 sin2 𝑥 cos2 𝑥+sin2 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 (sin2 𝑥) = 1 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 Question 13 : Complète le tableau suivant : ∝ en ° En radian 𝑐𝑜𝑠 ∝ 0° 0 rad 1 𝑠𝑖𝑛 ∝ 0 𝑡𝑔 ∝ 0 30° 𝜋/6 45° 𝜋/4 60° 𝜋/3 90° 𝜋/2 √3 2 1 2 √3 3 √2 2 √2 2 1 2 √3 2 1 −√2 2 √2 2 1 √3 ND -1 0 135° 3𝜋/4 180° 𝜋 -1 0 0 225° 5𝜋/4 −√2 2 −√2 2 1 270° 3𝜋/2 0 -1 ND 315° 7𝜋/4 360° 2𝜋 √2 2 −√2 2 0 -1 0 1 5