1 Comportement global d`une suite 2 Comportement asymptotique d

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 1
Résumé de cours sur les suites numériques
Suites numériques
Démonstrations de cours
1. unicité de la limite
2. Une suite qui converge est bornée.
3. Une combinaison linéaire de suites convergentes est convergente
4. Si uest croissante et non majorée, alors utend vers +∞.
5. La série harmonique Hndiverge (en montrant que H2n−Hn>1
2puis par l’absurde en
passant à la limite, on a 0 −0>1
2).
1 Comportement global d’une suite
Les définitions suivantes sont à connaître : soit uune suite
•uest dite majorée s’il existe un réel Mtel que pour tout n∈N, un6M.
•uest dite minorée s’il existe un réel mtel que pour tout n∈N, un>m.
•uest dite bornée si elle est majorée et minorée donc s’il existe un réel M > 0 tel que pour
tout n∈N,|un|6M.
•uest dite croissante (resp. strictement croissante) si pour tout n∈N, un+1 >un, (resp.
un+1 > un).
•uest dite décroissante (resp. strictement croissante) si pour tout n∈N, un+1 6un, (resp.
un+1 < un).
2 Comportement asymptotique d’une suite
1. Suite convergente :
Définition : une suite uest dite convergente s’il existe un réel ltel que :
∀ε > 0,∃n0∈N,∀n>n0,|un−l|6ε .
Unicité de la limite. Une suite convergente est bornée. La réciproque est fausse, prendre
un= (−1)n.
2. Suites tendant vers l’infini.
• une suite utend vers +∞si :
∀A > 0,∃n0∈N,∀n>n0, un>A .
• une suite utend vers −∞ si :
∀B < 0,∃n0∈N,∀n>n0, un6B .

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 2
3 Opérations sur les limites
1. Opérations algébriques
(a) Ensemble des suites bornées : l’ensemble des suites bornées est stable par produit et par
combinaison linéaire. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0
est une suite qui converge vers 0.
(b) Combinaison linéaire (et produit) de suites convergentes. Inverse et quotient de suites
convergentes (on pourra retenir que si utend vers l > 0, alors à partir d’un certain rang
un>0).
(c) Opérations sur les limites infinis et formes indéterminées.
2. Limites et relation d’ordre.
(a) Passage à la limite dans les inégalités. Attention, une inégalité stricte devient large
après un passage à la limite.
(b) Existence de limites par encadrement : Théorème des gendarmes et théorèmes de com-
paraison (si u>vet vtend vers +∞, alors utend vers +∞) Exemples :
•1
√1+···+1 √n>√n→+∞.
• Limite d’une suite géométrique (pour q > 1, qn= (1 + x)n>1 + nx →+∞).
•À connaître :si a > 1, on a lim an
n!= 0 et lim n! nn= 0 .
4 Suites et monotonie
1. Théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge (la preuve n’a
pas encore été faîte, on attend le cours sur Ret la propriété de la borne supérieure). Si uest
croissante et n’est pas majorée, alors la suite utend vers +∞.
2. Suites adjacentes :
Définition : deux suites sont dites adjacentes si elles sont monotones de sens contraire et que
leur différence tend vers 0.
Théo : deux suites adjacentes CV vers une même limite l, de plus,
∀n∈N, un6l6vn.
Cette dernière inégalité permet de majorer l’erreur commise lorsque l’on approxime lpar un:
|un−l|6|un−vn|.
Application : convergence de Sn=Pn
k=0 1
k!vers e et valeur approchée à 10−6près.
5 Suites extraites
Définition : une suite vest dite extraite d’une suite us’il existe une application φ:N→N
strictement croissante la suite vsoit égale à la suite (uφ(n))n.
Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente et converge vers la même limite.
La contraposée permet de prouver la divergence de suites. Exemple la suite de terme général
un= cos 3nπ
5diverge (en effet u5n= cos(3nπ) = cos(nπ) = (−1)n).
Proposition : Si (u2n) et (u2n+1) convergent vers une même limite l, alors (un) converge vers l.
On sait qu’une suite bornée ne converge pas forcément. On a toutefois le résultat capital suivant :
Théorème de Bolzano Weierstrass : si uest une suite réelle bornée, alors on peut en extraire
une sous-suite qui converge.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 3
6 Suites récurrentes du type un+1 =f(un)
1. Quelques «trucs» pour étudier ce type de suite :
• On cherche les intervalles Istables par f, c’est à dire tels que f(I)⊂I(pour cela, on
dresse le tableau de variations de f). Dans ce cas, si u0∈I, alors pour tout n∈N, un∈I.
• On cherche les points fixes de fqui sont les limites candidates pour u. En effet, si
f:I→Iest continue avec Ifermé, si uconverge, c’est vers un point fixe de fdans I.
• Le signe de f(x)−xpermet d’obtenir la monotonie de u.
• Le résultat suivant est classique mais hors-programme et je ne l’ai pas utilisé en cours :
si Iest stable par fet que fest croissante sur I, alors uest monotone .
Remarque : l’étude sera complétée plus tard à l’aide de l’inégalité des accroissements finis.
2. Formule explicite pour une suite arithmético-géométrique.
Si uest définie par un+1 =aun+bavec a6= 1, alors en notant αle point fixe de f(x) = ax+b,
on a vn=un−αqui est géométrique de raison a.
7 Comparaison des comportements asymptotiques
Les définitions suivantes sont identiques à celles des fonctions.
1. Notion de suites dominées, de suites négligeables.
On retiendra que si lim un
vn= 0 alors uest négligeable devant v, on note u=o(v).
Si la suite u
vest bornée au vosinage de +∞, on dit que uest dominée par v, on note u=O(v).
2. Suites équivalentes
On retiendra que si lim un
vn= 1 alors (un) est équivalente à (vn), on note un∼vn.
On rappelle les propriétés déja établies dans le cas des fonctions :
• si un∼vnet lim un=l, alors lim vn=l. La réciproque est fausse.
• On peut faire des produits et des quotients d’équivalent
• En particulier, un quotient de polynômes est équivalent au voisinage de +∞au quotient
des termes de plus haut degré. Exemple : 5n4
−2n3+5
2n3−4n∼5n4 2n3=5n 2.
• C’est une relation d’équivalence (réflexive, symétrique et transitive)
• Un résultat utile : si uest équivalente à v, alors uet vont les mêmes signes au voisinage
de +∞.
Attention :
• on ne peut pas en général pas faire de sommes ou composés d’équivalents.
• Si lim u−lim v= 0, on n’a pas forcément u∼vpuisque lim 1
n−1 n2= 0 mais 1 nn’est
pas équivalent à 1
n2.
• lim(1 + 1
n)n= e.
8 Suites de nombres complexes
Définition : une suite (zn) de nombres complexes converge s’il existe l∈Ctel que :
∀ε > 0,∃n0∈N,∀n>n0,|un−l|< ε .
Théorème : une suite (zn) de nombres complexes converge vers le nombre complexe zssi les
suites réelles (Re(zn)) et (Im(zn)) convergent vers respectivement Re(z) et Im(z).
Le théorème de Bolzano Weierstrass est encore vrai pour les suites de nombres complexes.