Exercice 1. Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes

Université Paris 7 MP3
Algèbre et Analyse fondamentales I L2 Physique
TD groupe PHY-1/2/3/4 Octobre 2015
Suites et Intégrales
Exercice 1. Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes ou absolument conver-
gentes
(1) Z∞
1
1
1 + x3dx, (2) Z∞
1
x
1 + x2dx, (3) Z1
0
1
px(1 −x)dx, (1)
(4) Z∞
1
sin x
√xdx, (5) Z∞
1
e−tαdt (pour α > 0)(2)
(Indications : Pour (3) étudier séparament la convergence de l’intégrale au voisinage de x= 0
et de x= 1. Pour (4) on pourra utiliser une intégration par parties afin de dériver le terme 1
√x.
Pour (5) discuter suivant les valeurs de α > 0; on pourra utiliser le changement de variables
u=tα).
Exercice 2. Indiquer avec une brève justification si chacun des énoncés suivants est vrai pour
deux suites de réels (un)n≥0et (vn)n≥0, ou sinon en indiquant un contre-exemple :
1. Si (un)est croissante et convergente, elle est majorée.
2. Si (un)est majorée et convergente, elle est croissante.
3. Si (un)est décroissante et positive, elle converge.
4. Si (un)est croissante et non majorée, elle diverge.
5. Si (un)et (vn)sont divergentes, (un+vn)est divergente.
6. Si (un)est convergente et (vn)divergente, (un+vn)est divergente.
7. Si (un)est convergente et (vn)divergente, (unvn)est divergente.
8. Si (un)tend vers 0, (unvn)tend vers 0.
Exercice 3. Déterminer les limites quand n→+∞des suites (an)n≥1et (bn)n≥1définies par :
an=√nsin(en−ne)
n+ 1 et bn=√n+ 1 −√n.
Exercice 4. On considère les deux suites de nombres réels (un)n∈N∗et (vn)n∈N∗définies par :
un= 1 + 1
1! +··· +1 n!et vn=un+1 n.n!.
1. Montrer que :
(a) la suite (un)n∈N∗est croissante ;
(b) la suite (vn)n∈N∗est décroissante ;
(c) pour tout n≥1,un≤vn;
(d) limn→+∞(vn−un)=0.
1

2. En déduire que les suites (un)n∈N∗et (un)n∈N∗sont convergentes et de même limite.
Cette limite est le nombre réel e.
Exercice 5. * On considère la récurrence suivante :
un+1 =aun+bvn
vn+1 =cun+dvn∀n≥0.(3)
1) Soit Xn=un
vn, et A=a b c d. Exprimer Xnen fonction de A,net X0.
2) Montrer par un calcul direct que, ∀n≥0,
un+2 −tr(A)un+1 +det(A)un= 0,∀n≥0,
vn+2 −tr(A)vn+1 +det(A)vn= 0,∀n≥0.
où tr(A)désigne la trace de A.
3) En utilisant le théorème de Caylay-Hamilton, 1montrer que A2−tr(A)A+det(A)I= 0.
Retrouver le résultat de la question 2).
4) Résoudre le système
un+1 = 4un−2vn
vn+1 = 3un−vn
,∀n≥0,avec u0=v0= 1.
Eléments de correction. (pour 4) On peut introduire la matrice A=4−2
3−1, vérifier qu’elle
a deux valeurs propres qui sont {1,2}. Pour calculer Anon peut utiliser la division euclidienne
de Xnpar (x−1)(x−2) :Xn=Qn(x)(x−1)(x−2) + anx+bn, où Qnest un polynôme.
Puis An=Qn(A)(A−I)(A−2I) + anA+bnI. Or (A−I)(A−2I) = PA(A) = 0 par Caylay-
Hamilton, donc An=anA+bnI. En injectant x= 1 puis x= 2 dans la relation polynomiale
on obtient 1 = an+bnet 2n= 2an+bn- d’où anet bn. Enfin avec X0=1
1on obtient
Xn=AnX0et donc pour la première composante un= (4an+bn)−2an= 2an+bn= 2n.
Exercice 6. * On cherche toutes les suites à valeurs réelles, solution de
un+2 = 4un+1 −4un+ 2n,∀n≥0.(4)
1) Trouver une solution particulière de (4) sous la forme
cn=αn22n
(αconstante à déterminer).
2) Montrer que unest solution de (4) si et seulement si vn=un−cnest solution du système
homogène suivant :
vn+2 = 4vn+1 −4vn,∀n≥0.(5)
3) Donner les solutions de (5). En déduire l’ensemble des solutions de (4).
1. Si PAest le polynôme caractéristique de A, alors PA(A) = 0.
2