Exercice 1. Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes

Université Paris 7
Algèbre et Analyse fondamentales I
TD groupe PHY-1/2/3/4
MP3
L2 Physique
Octobre 2015
Suites et Intégrales
Exercice 1. Déterminer si les intégrales suivantes sont convergentes ou absolument convergentes
Z ∞
Z ∞
Z 1
1
x
1
p
(1)
dx, (2)
dx, (3)
dx,
(1)
3
2
1+x
1+x
x(1 − x)
1
1
0
Z ∞
Z ∞
sin x
α
√ dx, (5)
(4)
e−t dt (pour α > 0)
(2)
x
1
1
(Indications : Pour (3) étudier séparament la convergence de l’intégrale au voisinage de x = 0
et de x = 1. Pour (4) on pourra utiliser une intégration par parties afin de dériver le terme √1x .
Pour (5) discuter suivant les valeurs de α > 0 ; on pourra utiliser le changement de variables
u = tα ).
Exercice 2. Indiquer avec une brève justification si chacun des énoncés suivants est vrai pour
deux suites de réels (un )n≥0 et (vn )n≥0 , ou sinon en indiquant un contre-exemple :
1. Si (un ) est croissante et convergente, elle est majorée.
2. Si (un ) est majorée et convergente, elle est croissante.
3. Si (un ) est décroissante et positive, elle converge.
4. Si (un ) est croissante et non majorée, elle diverge.
5. Si (un ) et (vn ) sont divergentes, (un + vn ) est divergente.
6. Si (un ) est convergente et (vn ) divergente, (un + vn ) est divergente.
7. Si (un ) est convergente et (vn ) divergente, (un vn ) est divergente.
8. Si (un ) tend vers 0, (un vn ) tend vers 0.
Exercice 3. Déterminer les limites quand n → +∞ des suites (an )n≥1 et (bn )n≥1 définies par :
√
√
√
n sin(en − ne )
an =
et bn = n + 1 − n.
n+1
Exercice 4. On considère les deux suites de nombres réels (un )n∈N∗ et (vn )n∈N∗ définies par :
un = 1 +
1
1
1
+ ··· +
et vn = un +
.
1!
n!
n.n!
1. Montrer que :
(a) la suite (un )n∈N∗ est croissante ;
(b) la suite (vn )n∈N∗ est décroissante ;
(c) pour tout n ≥ 1, un ≤ vn ;
(d) limn→+∞ (vn − un ) = 0.
1
2. En déduire que les suites (un )n∈N∗ et (un )n∈N∗ sont convergentes et de même limite.
Cette limite est le nombre réel e.
Exercice 5. * On considère la récurrence suivante :
un+1 = aun + bvn
∀n ≥ 0.
vn+1 = cun + dvn
(3)
un
a b
1) Soit Xn =
, et A =
. Exprimer Xn en fonction de A, n et X0 .
vn
c d
2) Montrer par un calcul direct que, ∀n ≥ 0,
un+2 − tr(A)un+1 + det(A)un = 0,
∀n ≥ 0,
vn+2 − tr(A)vn+1 + det(A)vn = 0,
∀n ≥ 0.
où tr(A) désigne la trace de A.
3) En utilisant le théorème de Caylay-Hamilton, 1 montrer que A2 − tr(A)A + det(A)I = 0.
Retrouver le résultat de la question 2).
4) Résoudre le système
un+1 = 4un − 2vn
, ∀n ≥ 0, avec u0 = v0 = 1.
vn+1 = 3un − vn
4 −2
, vérifier qu’elle
Eléments de correction. (pour 4) On peut introduire la matrice A =
3 −1
a deux valeurs propres qui sont {1, 2}. Pour calculer An on peut utiliser la division euclidienne
de X n par (x − 1)(x − 2) : X n = Qn (x)(x − 1)(x − 2) + an x + bn , où Qn est un polynôme.
Puis An = Qn (A)(A − I)(A − 2I) + an A + bn I. Or (A − I)(A − 2I) = PA (A) = 0 par CaylayHamilton, donc An = an A + bn I. En injectant x = 1 puis x = 2 dans la relation
polynomiale
1
on obtient
on obtient 1 = an + bn et 2n = 2an + bn - d’où an et bn . Enfin avec X0 =
1
Xn = An X0 et donc pour la première composante un = (4an + bn ) − 2an = 2an + bn = 2n .
Exercice 6. * On cherche toutes les suites à valeurs réelles, solution de
un+2 = 4un+1 − 4un + 2n ,
∀n ≥ 0.
(4)
1) Trouver une solution particulière de (4) sous la forme
cn = αn2 2n
(α constante à déterminer).
2) Montrer que un est solution de (4) si et seulement si vn = un − cn est solution du système
homogène suivant :
vn+2 = 4vn+1 − 4vn ,
∀n ≥ 0.
3) Donner les solutions de (5). En déduire l’ensemble des solutions de (4).
1. Si PA est le polynôme caractéristique de A, alors PA (A) = 0.
2
(5)