Chapitre 7 Suites de nombres réels et complexes

Définition 1 (Suite)
uN R n∈Nun
n u unn u u (un)n∈N
u= (un)
Notation.
S(R)
u
Définition 2 (Lois internes / loi externe)
(u, v)∈S(R)2λ∈R
∗Addition +u+v= (un+vn)n∈N
∗Produit ×u×v= (unvn)n∈N
∗Multiplication externe ·λ·u= (λun)n∈N
Théorème 1 (Structure d’algèbre)
(i) +
u
(S(R),+)
(ii)·u, v ∈S(R)λ∈R
1·u=u
(λ+µ)·u=λ·u+µ·u
(λµ)·u=λ·(µ·u)
λ·(u+v) = λ·u+λ·v
(S(R),+,·)R
(iii)×u, v ∈S(R)λ∈R
+
(λ·u)×v=u×(λ·v) = λ·(u×v)
(S(R),+,×)
(S(R),+,×,·)R
Définition 3 (Relation d’ordre)
u v u 6v n ∈Nun6vn
Propriété 1
6

Définition 4 (Majorée, Minorée, Bornée)
(i)u{un, n ∈N}
(ii)u{un, n ∈N}
(iii)u u
Exercice 1.
1. u
∃M∈R;∀n∈N, un6M
∃M∈R+;∀n∈N, un6M
2. u
∃K∈R;∀n∈N,|un|6K.
Notation.
SB(R)
Proposition 2
(SB(R),+,×,·)R
Définition 5 (Monotone, Constante, Stationnaire)
(i)u n ∈Nun6un+1
(ii)u n ∈Nun< un+1
(iii)u n ∈Nun+1 6un
(iv)u n ∈Nun+1 < un
(v)u
(vi)u n ∈Nun=un+1
(vii)u p ∈Nn∈Nn>p un=un+1
Exercice 2. u a
p n >p un=a
Définition 6 (Suite arithmétique)
a∈Ru u0∈Rn∈Nun+1 =un+a
a
Propriété 3
u a n ∈N
(i)un=u0+na
(ii)
n
P
k=0
uk= (n+ 1)u0+n(n+1)
2a

Définition 7 (Suite géométrique)
q∈R?\{1}u u0∈Rn∈Nun+1 =qun
q
Propriété 4
u q n ∈N
(i)un=qnu0
(ii)
n
P
k=0
uk=u01−qn+1
1−q=u0qn+1−1 q−1
Définition 8 (Suite arithmético-géométrique)
a∈Rq∈R?\{1}u u0∈Rn∈Nun+1 =qun+a
Propriété 5
a∈Rq∈R?\{1}u
∀n∈N, un=qnu0−a
1−q+a 1−q.
Notation.
K R C
Théorème 2 (Suite récurrente double)
(a, b)∈K2b6= 0
un+2 =aun+1 +bun,∀n∈N.
(E)
r2−ar −b= 0.
(i) (E)r1, r2K(λ, µ)∈K2
un=λrn
1+µrn 2,∀n∈N.
(ii) (E)r0K(λ, µ)∈K2
un= (λ+µn)rn
0,∀n∈N.
(iii)K=Ru∈RN(E)r1=ρeiθ, r2=ρe−iθ 6∈ R
(λ, µ)∈R2
un=λρncos(nθ) + µρnsin(nθ),∀n∈N.
Exercice 3. (Fn)F0=F1= 1 n
Fn+2 =Fn+1 +Fn(Fn+1/Fn)

Notation.
`
Définition 9 (Limite, Convergence)
u `
∀ε > 0,∃n0∈N;∀n>n0,|un−`|6ε.
u ` ` u `
Exercice 4.
1. (1/n)n∈N?
2. a∈R|a|<11
√nn∈N?(an)n∈N
3. α∈R?
+u `
∀ε > 0,∃n0∈N;∀n>n0,|un−`|6αε.
4. (n)n∈N
5. ((−1)n)n∈N
Théorème 3 (Unicité de la limite)
u ` ` ` = lim
n→+∞un= lim u
Propriété 6
lim
n→+∞un=`⇔lim n→+∞(un−`)=0.
Théorème 4
u u
Exercice 5.
Théorème 5
u `
(i)` > 0u
(ii)` < 0u
Théorème 6 (Caractérisation séquentielle de la densité)
QRQR
x∈R(qn)Q x
Exercice 6. x∈Rx

Théorème 7 (Caractérisation séquentielle de la borne supérieure / inférieure)
m∈R
(i)ARm= sup A
∗ ∀ a∈A, a 6m
∗ ∃ (un)n∈N∈S(A) ; lim u=m
(ii)ARm= inf A
∗ ∀ a∈A, m 6a
∗ ∃ (un)n∈N∈S(A) ; lim u=m
Exercice 7. A=n(−1)n+(−1)n+1
n+1 , n ∈No
A
Définition 10 (Tendre vers l’infini)
(i)u+∞
∀M>0,∃n0∈N;∀n>n0, un>M.
lim
n→+∞un= lim u= +∞
(ii)u−∞
∀M60,∃n0∈N;∀n>n0, un6M.
lim
n→+∞un= lim u=−∞
Exercice 8.
1. u+∞ ∀ M∈R,∃n0∈N;∀n>n0, un>M.
2. (√n)n∈N+∞
3. a > 1 (an)n∈N+∞
Théorème 8
(i)u+∞u
(ii)u−∞ u
Définition 11 (Sous-suite)
v u ϕ :N→N
n∈Nvn=uϕ(n)
Exercice 9. ((−1)n)n∈N
Théorème 9
u∈S(R)`∈R
(i) lim u=`
(ii)u `
(iii) lim
n→+∞u2n= lim n→+∞u2n+1 =`