III Etude des fonctions trigonométriques.

2nde 6
Fonctions x 7→ cos x et x 7→ sin x
Fonctions de référence.
III Etude des fonctions trigonométriques.
Activité d’introduction
y
Soit un repère du plan (O, A, B) orthonormé. Soit C le cercle
de centre O et de rayon 1. Soit M un point de ce cercle, placé
comme indiqué sur la figure ci-contre. Soient C et S les points
définis à partir de M comme indiqué sur la figure ci-contre
\.
((M C) ⊥ (OA) et (M S) ⊥ (OB)). On appelle x l’angle AOM
1B
M
S
1
1. Quelle est la longueur du cercle C ? Quelle est la longueur
x
D
O
C
1
A
de l’arc AB ? Et de l’arc AD ?
x
2. On se place dans le triangle OCM, rectangle en C. Que
valent cos x et sin x en fonction de OC, OM, et MC ?
3. Exprimez alors l’abscisse xM du point M en fonction de
cos x et l’ordonnée yM du point M en fonction de sin x.
4. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle
OCM, déduisez une relation entre cos x et sin x.
E
1. Définitions
Soit un repère orthonormé (O,A,B) du plan.
y
• Le cercle de centre O et de rayon 1, muni
d’un sens direct : le sens inverse des aiguilles
d’une montre, s’appelle le cercle trigonométrique.
• Soit M un point de ce cercle. Soit x l’angle
\ . x, exprimé en radians, est la longueur
AOM
1B
M
S
1
x
O
C
1
A
x
de l’arc AM .
• L’abscisse de M est le cosinus du réel x. On
la note cos(x) ou simplement cos x.
• L’ordonnée de M est le sinus du réel x. On
la note sin(x) ou simplement sin x.
• On définit ainsi deux fonctions définies sur
tout IR :
cos : x 7→ cos x
et
sin : x 7→ sin x
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Fonctions x 7→ cos x et x 7→ sin x
Fonctions de référence.
y
1B
M
S
1
x
O
C
1
A
x