a N Corps Correction de l`examen final du 5 Février 2009

MASTER RECHERCHE 2nde ANN´ EE
D’ASTRONOMIE & ASTROPHYSIQUE
Cours Transversal CT2
Dynamique Gravitationnelle des Syst`emes `a NCorps
Correction de l’examen final du 5 F´evrier 2009
Temps : 2h30. Cet examen est `a livres ferm´es, mais les polycopi´es du cours sur Web sont
accept´es. Les calculatrices sont interdites. Les questions sont ind´ependantes, plac´ees dans
un ordre al´eatoire, et peuvent ˆetre trait´ees dans n’importe quel ordre. Ne perdez pas votre
temps sur des questions qui vous paraissent difficiles, ni `a ´ecrire de trop longues pages sur
les questions qualitatives. Total : 40 points.
1. (4 points) Exprimez la dispersion de vitesses radiale σrd’un syst`eme sph´erique, stationnaire
et sans mouvements d’ensemble, `a anisotropie de vitesses purement radiale, en fonction
d’une int´egrale sur la densit´e du traceur ρ(r)et de la vitesse circulaire vc(r). Exprimez
ensuite la dispersion de vitesses tangentielle σθd’un syst`eme sph´erique `a anisotropie de
vitesses purement tangentielle en fonction de la vitesse circulaire.
L’´equation de Jeans sph´erique, stationnaire et sans mouvements d’ensemble s’´ecrit,
pour un syst`eme `a anisotropie radiale (β= 1)
d(ρσ2
r)
dr + 2 (ρσ2
r)
r=−ρv2
c
r
=1
r2
d(r2ρσ2
r)
dr .
On trouve donc
σr(r) = s1
r2ρ(r)Z∞
rs ρ(s)v2
c(s)ds .
On peut aussi ´ecrire l’´equation de Jeans sous la forme
d(ρσ2
r)
dr + 2 ρ(σ2
r−σ2 θ)
r=−ρv2
c
r.
Pour le cas d’anisotropie tangentielle, σr= 0 et on trouve alors
σθ(r) = s1
2vc(r).
2. (2 points)Un th´eoricien ´ecrit un article o`u il postule une fonction de distribution f=
exp(−E/σ2)J2β(r). Pourquoi son article risque t-il d’ˆetre rejet´e par le referee ?
Le th´eor`eme de Jeans indique que la fonction de distribution doit s’exprimer en fonction
des int´egrales du mouvement. Or si l’´energie Eet le module du moment angulaire J
sont bien des int´egrales du mouvement, β(r) variant avec rne peut pas l’ˆetre.
1

3. (9 points)Un trou noir passe tr`es rapidement devant un amas sph´erique d’´etoiles. On
se propose d’analyser l’effet de mar´ees par l’approximation impulsive. On considere un
syst`eme fixe de coordonn´ees avec l’origine au centre de l’amas, l’axe des xpointant vers
la position du trou noir `a son p´ericentre p, l’axe des yparall`ele `a la vitesse Vdu trou
noir, suppos´ee constante, et l’axe des zperpendiculaire aux deux autres axes, et un second
syst`eme, mobile, de coordonn´ees ayant le mˆeme centre, avec x′pointant vers la position
instantan´ee du trou noir, z′=z, et y′perpendiculaire au deux autres axes.
(a) ´ Ecrivez les trois composantes de l’acc´el´eration de mar´ee adans le rep`ere mobile pour
une ´etoile situ´ee au point de coordonn´ees (x′, y′, z′).
(b) Exprimez x′, y′, z′en fonction de x, y, z et de l’angle θentre les deux rep`eres.
(c) D´emontrez que les composantes de p3/(GM cos3θ)adans le rep`ere fixe sont
hx(2 −3 sin2θ) + 3ysin θcos θi,
hy(2 −3 cos2θ) + 3xsin θcos θi,
−z
(d) Calculez l’impulsion de vitesse de l’´etoile provenant de l’effet de mar´ee integr´e sur la
trajectoire rectiligne du trou noir.
(e) D´eterminez le moment angulaire acquis par l’amas.
(a) D’apr`es l’´equation (V-15) du cours, l’acc´el´eration de mar´ee s’´ecrit
amaree =GMp(R)r
R3"3 (eR·er) 1−ρp ρp!eR−er#.
Ici, les coordonn´ees de eRet de erdans le rep`ere mobile sont (1,0,0) et (x′/r, y′/r, z′/r),
respectivement, avec r=√x′2+y′2+z′2. De plus, Mp(R) = Met ρp= 0. On
obtient donc
a′
x′= 2 GM
R3x′
a′
y′=−GM
R3y′
a′
z′=−GM
R3z′.
.
(b) Avec une rotation d’angle θon a
x′=xcos θ+ysin θ
y′=−xsin θ+ycos θ
z′=z
.
(c) De mˆeme, on peut ´ecrire
ax=ax′cos θ+ay′sin θ
=GM
R3(2 xcos2θ+ 2 ysin θcos θ−xsin2θ+ysin θcos θ) (1)
2

=GM cos3θ
p32−3 sin2θx+ 3 sin θcos θ y (2)
ay=−ax′sin θ+ay′cos θ
=−GM
R3(−2xsin θcos θ−2ysin2θ−xsin θcos θ+ycos2θ) (3)
=GM cos3θ
p32−3 cos2θy+ 3 sin θcos θ x (4)
az=az′
=−GM
R3z(5)
=−GM cos3θ
p3z(6)
o`u on a employ´e la relation R=p/ cos θpour passer des ´equations (1), (3) et (5)
aux ´equations (2), (4) et (6). Ces 3 derni`eres ´equations donnent bien
p3
GM cos3θa=
hx(2 −3 sin2θ) + 3ysin θcos θi,
hy(2 −3 cos2θ) + 3xsin θcos θi,
−z
.(7)
(d) L’impulsion de vitesse s’obtient par int´egration sur le mouvement du trou noir :
∆V=Z∞
−∞
amdt =p
VZπ/2
π/2
am(θ)
cos2θdθ
o`u pour la seconde egalit´e on a ´ecrit t= (p/V ) tan θce qui implique dt =
(p/V )dθ/ cos2θ. Avec l’´equation (7), on obtient
(∆V)i=GM
p2VZπ/2
−π/2fi(θ) cos θ dθ (8)
o`u les trois fi(θ) correspondent aux trois termes `a droite de l’accolade de l’´equation (7).
Avec les int´egrales
Zπ/2
−π/2cos θ dθ = 2
Zπ/2
−π/2sin2θcos θ dθ =Z1
−1u2du =2
3
Zπ/2
−π/2cos3θ dθ =Zπ/2
−π/2cos θ dθ −Zπ/2
−π/2sin2θcos θ dθ =4
3
Zπ/2
−π/2sin θcos2θ dθ =Z0 0u2du = 0 ,
l’´equation (8) donne
∆Vx= 2 GM
p2Vx
∆Vy= 0
∆Vz=−2GM
p2Vz
.
3

(e) Le moment angulaire acquis par l’´etoile est ∆j=r×∆V. Ses coordonn´ees sont
∆jx=−2GM
p2Vy z
∆jy= 4 GM
p2Vx z
∆jz=−2GM
p2Vx y
Le moment angulaire acquis global, J=Rj dV(o`u dVest l’´el´ement de volume),
aura des componsantes proportionnelles aux int´egrales des termes crois´es x, y etc.,
qui sont toutes nulles. Donc, il n’y a pas de moment angulaire acquis. On retrouve
cette conclusion en raisonnant par paires de points sym´etriques par rapport aux
plans yz,xz, et xy, pour les compoantes x,y, et z, respectivement.
4. (2 points)On veut simuler l’´evolution d’une galaxie elliptique isol´ee, employant un mod`ele
de Hernquist de rayon caract´eristique a. Comment doit-on choisir les distances au centre
(rayons) rα`a partir des nombres al´eatoires qαuniform´ement r´epartis sur [0 −1] ?
La mod`ele de Hernquist pr´esente une masse cumul´ee
M(r) = Mr
r+a2
.
Donc, q=M(r)/M = [r/(r+a)]2est une variable al´eatoire uniforme sur [0,1]. On
r´esout pour r, ce qui donne
r=a√q
1−√q.
5. (6 points)On considere un syst`eme sph´erique isotrope poss´edant une fonction de distri-
bution f. On aimerait connaˆıtre le rapport moyen apocentre/p´ericentre, r+/r−, de ce
syst`eme.
(a) ´ Ecrivez le syst`eme d’´equations permettant de d´eterminer le p´ericentre r−et apocentre
r+d’une orbite d’´energie Eet de moment angulaire J.
(b) (ind´ependant) Montrez que pour une distance rdonn´ee du centre, la probabilit´e
d’avoir une vitesse vest p(v|r)∝v2f.
(c) D´emontrez qu’en moyenne on pourra ´ecrire J2= (2/3)r2v2.
(d) Comment feriez-vous pour d´eterminer le rapport moyen r+/r−?
(a) L’´energie et le moment angulaire s’´ecrivent :
E=1
2v2+ Φ(r)
J=r vt
o`u vtest la composante tangentielle de la vitesse. ´ Etant donn´e une orbite d’´energie
Eet de moment angulaire J, on peut relier les conditions `a l’apocentre avec ceux
au p´ericentre, ce qui donne le syst`eme d’´equations :
1
2
J2
r2
+
+ Φ(r+) = E
1
2
J2
r2
−
+ Φ(r−) = E
,
4

qu’il faut r´esoudre pour r+et r−.
(b) Comme le syst`eme est sph´erique et isotrope, f=f(E) = f[v2/2 + Φ(r)]. Alors
on peut ´ecrire dN/dv = 4πv2f[v2/2 + Φ(r)]. ` Ardonn´e, on a donc p(v|r)∝v2f.
(c) Apr`es avoir tir´e rainsi que le module vde la vitesse, on va avoir un moment
angulaire J=rv sin θ, o`u θ= cos−1(r·v). En moyenne, on aura hJ2i=
Rπ
0J2sin θdθ/ Rπ 0sin θdθ. Avec Rπ 0sin θdθ = 2 et Rπ 0sin3θdθ = (1−cos2θ) sin θdθ =
2−2/3 = 4/3, on trouve bien hJ2i= (2/3) r2v2.
(d) La formule pr´ec´edente permet de connaˆıtre le valeur moyenne de J(root-mean-
squared), pour une vitesse et un rayon donn´e. On peut apr`es moyenner sur les
vitesses avec p(v|r)∝v2f, puis moyenner sur les rayons avec p(r)∝r2ρ(r).
6. (3 points)Quelle doit ˆetre l’anisotropie des vitesses βdans les 100 pc centraux d’une
galaxie elliptique ? Expliquez votre conclusion.
Les galaxies elliptiques ont des profils lisses indiquant une relaxation. On sait que
le temps de relaxation `a 2 corps est tr`es long, car il varie comme N/ ln Nfois le
temps orbital, et avec N= 1011 ´etoiles, le temps de relaxation `a 2 corps est plus long
que l’ˆage de l’Univers (t0= 1.4×1010 ans) pour des temps orbitaux plus longs que
τ=t0/(N/ ln N) = 1.4×1010/1011 ×11 ×ln 10 = 3.5 ans. Avec une dispersion de
vitesses de σv= 200 km s−1, il faudrait consid´erer des rayons plus petits que r=vτ =
7×10−4pc. L’aspect lisse des galaxies elliptiques doit donc provenir de la relaxation
violente. Maintenant, s’il y a relaxation (violente ou `a deux corps), les ´etoiles oublient
rapidement leurs conditions initiales, donc leurs directions initiales. Aux bords, les
´etoiles privil´egient la direction radiale, mais au centre, par sym´etrie, il se cr´e´e une
isotropie des vitesses, β= 0.
7. (2 points)Calculez la pente γ=−dln ρ/d ln rdu profil de densit´e d’un syst`eme infini qui
pr´esente un profil de densit´e surfacique Σ(R)∝R−αpour α > 0.
L’´equation de d´eprojection s’´ecrit
ρ(r) = −1
πZ∞
r
dΣ/dR
√R2−r2dR ∝Z∞
r
R−α−1
√R2−r2dR =r−α−1Z∞
0cosh−α−1u du ,
o`u on a employ´e le changement de variable R=rcosh u. L’int´egrale de la derni`ere
´egalit´e ne d´epend que de α, donc on a ρ(r)∝r−α−1, c’est-`a-dire γ=α+ 1 .
8. (3 points)Soit un amas de galaxies avec une distribution de masses de galaxies (par unit´e
de volume) en loi de puissance :
n(m)≡d2N
dm dV =n1 m1m1 mα
,
pour m < m1, o`u m1est la masse maximale et 1< α < 2.
(a) Exprimez la croissance de masse par fusions, dm/dt, sous forme d’int´egrale sur les
masses m′< m des autres galaxies moins massives de l’amas, en fonction du taux de
fusions k(m, m′).
(b) En supposant k(m, λm)∝m2f(λ), d´emontrez la relation
dm
dt ∝m4−αZ1
0λ3−αf(λ)dλ .
5