rappel du cours - Artemath... des maths et autres choses

Athénée Royal d’Uccle 1
Cours de
Mathématique
6ème année
Cours à 6 périodes
hebdomadaires
Les bases
A.Droesbeke
Version : 2014

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Table des matières
Préface 1
I Algèbre 1
1 Calcul matriciel 3
1.1 Définition ........................................ 3
1.2 Opérations sur les matrices ............................... 4
1.2.1 Transposée d’une matrice ........................... 4
1.2.2 Égalité de deux matrices ............................ 4
1.2.3 Addition de deux matrices ........................... 4
1.2.4 Multiplication d’une matrice par un réel ................... 5
1.2.5 Multiplication de deux matrices ........................ 5
1.2.6 Inversion de matrice .............................. 5
1.3 Exercices ......................................... 7
II Analyse 9
2 Les limites 11
2.1 Limites d’une suite ................................... 11
2.2 Les nombres réels .................................... 12
2.2.1 Définition .................................... 12
2.2.2 La droite réelle ................................. 12
2.3 Limites d’une variable ................................. 15
2.3.1 Limites finies .................................. 15
2.3.2 Limite infinie .................................. 15
2.4 Limites d’une fonction ................................. 16
2.4.1 Limite finie d’une fonction lorsque xtend vers une valeur finie ....... 16
2.4.2 Limites infinie lorsque xtend vers une valeur finie .............. 18
2.4.3 Limite finie lorsque xtend vers une valeur infinie .............. 19
2.4.4 Limite infinie lorsque xtend vers une valeur infinie ............. 21
2.5 Opérations sur les limites ................................ 23
i

ii TABLE DES MATIÈRES
2.6 Cas d’indétermination ................................. 24
2.6.1 Cas 0
0...................................... 25
2.6.2 Cas ∞
∞...................................... 26
2.6.3 Cas ∞−∞ ................................... 27
2.7 Exercices ......................................... 28
3 Les asymptotes 31
3.1 Définition ........................................ 31
3.2 Point adhérent au domaine ............................... 32
3.3 Asymptotes verticales .................................. 32
3.3.1 Premier exemple ................................ 33
3.3.2 Deuxième exemple ............................... 33
3.3.3 Troisème exemple ................................ 34
3.3.4 Remarque importante ............................. 34
3.4 Asymptotes horizontales ................................ 35
3.4.1 Premier exemple ................................ 35
3.4.2 Deuxième exemple ............................... 36
3.4.3 Troisième exemple ............................... 37
3.4.4 Remarque importante ............................. 37
3.5 Asymptotes obliques .................................. 38
3.5.1 Remarque concernant le calcul des asymptotes horizontales et obliques . . 39
3.5.2 Premier exemple ................................ 39
3.5.3 Deuxième exemple ............................... 41
3.5.4 Remarque importante ............................. 41
3.6 Position d’une courbe par rapport à une asymptote ................. 42
3.7 Exercices ......................................... 45
3.8 Solutions des exercices ................................. 46
4 Les dérivées 47
4.1 Rappels ......................................... 47
4.1.1 Accroissements et taux d’accroissement .................... 47
4.1.2 Coefficient angulaire d’une droite ....................... 48
4.1.3 Sécante à une courbe .............................. 48
4.1.4 Tangente à une courbe ............................. 49
4.2 Nombre dérivé et fonction dérivée ........................... 49
4.2.1 Exemple introductif ............................... 49
4.2.2 Définitions .................................... 51
4.2.3 Autre formulation ................................ 51
4.2.4 Propriétés .................................... 51
4.2.5 Dérivabilité et continuité ............................ 52

TABLE DES MATIÈRES iii
4.3 Equation d’une tangente à une courbe ........................ 53
4.4 Formules de dérivation ................................. 53
4.4.1 Dérivée d’une constante ............................ 53
4.4.2 Fonction identité ................................ 53
4.4.3 Puissances entières de x ............................ 54
4.4.4 Racine carrée de x ............................... 54
4.4.5 Puissance quelconque de x ........................... 55
4.5 Opérations sur les dérivées ............................... 55
4.5.1 Dérivée d’une somme de fonctions ....................... 55
4.5.2 Dérivée d’un produit de fonctions ....................... 56
4.5.3 Dérivée d’un produit d’une fonction par une constante ........... 56
4.5.4 Dérivée d’un quotient de fonctions ....................... 57
4.5.5 Cas particuliers ................................. 57
4.6 Dérivée de la composée de deux fonctions ....................... 58
4.6.1 Introduction ................................... 58
4.6.2 Formule de dérivation ............................. 58
4.7 Dérivées successives ................................... 59
4.8 En résumé ........................................ 59
4.9 Exercices ......................................... 60
4.10 Solutions des exercices ................................. 61
5 Applications de la dérivée 63
5.1 Croissance et décroissance ............................... 63
5.1.1 Rappels : croissance, décroissance, minimum et maximum .......... 63
5.1.2 Lien entre dérivée première et croissance ................... 64
5.1.3 Extremums ................................... 64
5.2 Dérivée seconde et concavité .............................. 65
5.2.1 Approche intuitive ............................... 65
5.2.2 Concavité et dérivée seconde .......................... 65
5.2.3 Point d’inflexion ................................ 66
5.3 Cas particuliers ..................................... 66
5.3.1 Point anguleux ................................. 66
5.3.2 Point de rebroussement ............................. 66
5.4 Etudes de fonctions ................................... 67
5.4.1 Plan de travail ................................. 67
5.4.2 Premier exemple ................................ 68
5.4.3 Deuxième exemple ............................... 71
5.5 Problème d’extrémum ................................. 74
5.6 Théorème des valeurs intermédiaires .......................... 75
5.7 Résolution numérique d’équations ........................... 75