Le cours - Playmaths

1 www.playmaths.free.fr
Dérivation
Introduction : sécantes
I. Nombre dérivé de f en a
Soit f la fonction définie sur l’intervalle I, C sa représentation graphique dans le repère (O,
Error!
,
Error!
) et A le point de C d’abscisse a I.
Soit h un réel non nul tel que a + h I et M le point de C d’abscisse a +h.
Le coefficient directeur de la droite (AM) est r(h) =
h
)a(f)ha(f 
.
On l’appelle taux d’accroissement de f entre a et a+h.
Définition
Si r(h) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a et on
appelle ce nombre le nombre dérivé de f en a.
Ce nombre est noté f’(a) et on écrit f’(a) =
0h
lim
h
)a(f)ha(f 
.
Exemple 1 :
Soit f la fonction définie sur
Ë
par f(x) = 3x
2
 x + 4.
f(2+h) = 3(2+h)
2
 (2+h) + 4 = 3(4 + 4h + h
2
)  2  h + 4 = 3h
2
+ 11 h + 14.
f(2) = 14.
Le taux d’accroissement est :
r(h) =
h
)2(f)h2(f 
=
h
1414h11h3 2
=
h
h11h3 2
= (3h + 11)
La limite de r(h) quand h tend vers 0 est 11. Donc f est dérivable en 2 et le nombre dérivé
est 11.
Exemple 2 :
Soit g la fonction définie sur
Ë
par g(x) =
Error!
.
Cherchons si g admet un nombre dérivé en 3.
g( 3 + h ) =
Error!
=
Error!
g( 3) =
Error!
g( 3 + h ) - g( 3) =
Error!
-
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
0h
lim
h
)3(g)h3(g 
=
0h
lim
Error!
= -
Error!
La fonction g admet un nombre dérivé en 3, il est égal à –
Error!
.
Ex 1 feuille

2 www.playmaths.free.fr
II. Tangente à une courbe en un point
On peut remarquer que, lorsque h tend vers 0, le point M se rapproche de A en restant sur
la courbe C.
Dire que r(h) a pour limite f’(a) quand h tend vers 0 revient à dire que le coefficient
directeur de (AM) tend vers f’(a) quand M se rapproche de A sur C.
1) Tangente en un point
Si f est dérivable en a, alors la courbe C admet au point A de coordonnées (a ; f(a)) une
tangente T de coefficient directeur f’(a).
Représentation graphique :
Ex 8- 9-10-11 p.117
2) Equation de la tangente
Soit f une fonction dérivable en a et A le point de sa courbe représentative C d’abscisse a.
La tangente à C en A admet alors pour équation : y = f’(a) ( x – a ) + f(a).
Dem :
Exemple :
Soit f la fonction définie sur
Ë
par f(x) = x
2
.
f(3) = 3
0h
lim
h
)3(f)h3(f 
=
0h
lim
h
9hh69 2
=
0h
lim
(h +6)= 6
Donc f’(3) = 6
La tangente au point d’abscisse 3 passe par A(3 ; 9) et a pour coefficient directeur 6.
L’équation de cette tangente est y = 6 (x  3) + 9 d’où y = 6x – 9.
Ex 12 p.117
Ex 2 feuille
III. Fonction dérivée
1) Dérivabilité sur un intervalle
Une fonction f est dérivable sur I lorsque pour tout x de I le nombre dérivé de f en x
existe.
La fonction f qui à tout réel x, associe le nombre dérivé de f en x est la fonction dérivée de
f sur I. On la note f’(x).
Exemple :
f est définie sur
Ë
par f(x) = x2.
f est dérivable sur
Ë
et f’(x) = 2x.

3 www.playmaths.free.fr
Dem :
2) Dérivées des fonctions usuelles
Ensemble de
définition
Fonction
Dérivée
Ensemble de
dérivabilité
Ë
f(x) = k ( constante )
f’(x) = 0
Ë
Ë
f(x) = x
f’(x) = 1
Ë
Ë
f(x) = x2
f’(x) = 2x
Ë
Ë
f(x) = x
n
(n
2
)
f’(x) = nxn-1
Ë
Ë*
f(x) =
x
1
f’(x) = 
2
x
1
Ë*
Ë+
f(x) =
x
f’(x) =
x2
1
Ë+*
 Les fonctions polynômes sont dérivables sur
Ë
 Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.
 La fonction
xx
est dérivable sur
Ë
+*.
3) Opérations sur les fonctions dérivables
Si u et v sont dérivables sur I alors ku est dérivable sur I et ( ku )' = k.u'.
u + v est dérivable sur I et ( u + v )’ = u’ + v’ .
u . v est dérivable sur I et ( u . v )’ = u’ v + v’ u
dem : DM ou en groupes
Si en plus v est non nulle sur I alors
v
1
est dérivable sur I et
2
v
'v
v
1
.
v
u
est dérivable sur I et
2
v
u'vv'u
v
u
.
Ex 16-17-18-19-20-21 p.117
Ex 25-26 p.118
Ex 29-30-38 p.118
Ex 3-5-5 feuille
IV. Dérivée et sens de variation
1) Théorème : ( admis )
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Si, pour tout x de I, f’(x) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
Si, pour tout x de I, f’(x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I.
Si, pour tout x de I, f’(x) = 0, alors f est constante sur I.
Ce théorème permet d’étudier le sens de variation d’une fonction ; on construit un tableau
donnant le signe de f’(x), puis le sens de variation de f.

4 www.playmaths.free.fr
Exemples :
1) f(x) = 2x² - 5x + 3
x
1
+
f’(x)
+
0
f
-Error!
2) g(x) =
1x2
x1
sur ] –
Error!
; +
õ
[
g’(x) =
2
)1x2(
3
tableau de signes et tableau de variations sur ] –
Error!
; +
õ
[
Ex 39 à 44 p.119
2) Extremum local et dérivée :
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert.
Si f’ s’annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a.
Deux cas se présentent :
Remarque :
Si l’intervalle n’est pas ouvert, on peut avoir un extremum sans que la dérivée s’annule.
Exemple : f(x) = x² sur [0 ; 2].
f admet un maximum en 2, et f’(2) 2.
Ex 50-51-52-53-55 … p.119-120