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Dérivation
Introduction : sécantes
I.
Nombre dérivé de f en a
Soit f la fonction définie sur l’intervalle I, C sa représentation graphique dans le repère (O,
Error!,Error!) et A le point de C d’abscisse a  I.
Soit h un réel non nul tel que a + h  I et M le point de C d’abscisse a +h.
f( a  h)  f( a)
Le coefficient directeur de la droite (AM) est r(h) =
.
h
On l’appelle taux d’accroissement de f entre a et a+h.
Définition
Si r(h) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a et on
appelle ce nombre le nombre dérivé de f en a.
f( a  h)  f( a)
Ce nombre est noté f’(a) et on écrit f’(a) = lim
.
h0
h
Exemple 1 :
Soit f la fonction définie sur Ë par f(x) = 3x 2  x + 4.
f(2+h) = 3(2+h) 2  (2+h) + 4 = 3(4 + 4h + h 2 )  2  h + 4 = 3h 2 + 11 h + 14.
f(2) = 14.
Le taux d’accroissement est :
f(2  h)  f(2)
3h 2  11h  14  14
3h2  11h
r(h) =
=
=
= (3h + 11)
h
h
h
La limite de r(h) quand h tend vers 0 est 11. Donc f est dérivable en 2 et le nombre dérivé
est 11.
Exemple 2 :
Soit g la fonction définie sur Ë par g(x) = Error!.
Cherchons si g admet un nombre dérivé en 3.
g( 3 + h ) = Error! = Error!
g( 3) = Error!
g( 3 + h ) - g( 3) = Error!-Error! = Error!
Error!= Error!
g(3  h)  g(3)
= lim Error!= -Error!
lim
h0
h0
h
La fonction g admet un nombre dérivé en 3, il est égal à – Error!.
Ex 1 feuille
1
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II. Tangente à une courbe en un point
On peut remarquer que, lorsque h tend vers 0, le point M se rapproche de A en restant sur
la courbe C.
Dire que r(h) a pour limite f’(a) quand h tend vers 0 revient à dire que le coefficient
directeur de (AM) tend vers f’(a) quand M se rapproche de A sur C.
1) Tangente en un point
Si f est dérivable en a, alors la courbe C admet au point A de coordonnées (a ; f(a)) une
tangente T de coefficient directeur f’(a).
Représentation graphique :
Ex 8- 9-10-11 p.117
2) Equation de la tangente
Soit f une fonction dérivable en a et A le point de sa courbe représentative C d’abscisse a.
La tangente à C en A admet alors pour équation : y = f’(a) ( x – a ) + f(a).
Dem :
Exemple :
Soit f la fonction définie sur Ë par f(x) = x 2 .
f(3) = 3
f(3  h)  f(3)
9  6h  h 2  9
= lim
= lim (h +6)= 6
lim
h0
h0
h0
h
h
Donc f’(3) = 6
La tangente au point d’abscisse 3 passe par A(3 ; 9) et a pour coefficient directeur 6.
L’équation de cette tangente est y = 6 (x  3) + 9 d’où y = 6x – 9.
Ex 12 p.117
Ex 2 feuille
III. Fonction dérivée
1) Dérivabilité sur un intervalle
Une fonction f est dérivable sur I lorsque pour tout x de I le nombre dérivé de f en x
existe.
La fonction f qui à tout réel x, associe le nombre dérivé de f en x est la fonction dérivée de
f sur I. On la note f’(x).
Exemple :
f est définie sur Ë par f(x) = x2.
f est dérivable sur Ë et f’(x) = 2x.
2
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Dem :
2) Dérivées des fonctions usuelles
Ensemble de
définition
Ë
Ë
Ë
Ë
Fonction
Dérivée
f(x) = k ( constante )
f(x) = x
f(x) = x2
f’(x) = 0
f’(x) = 1
f’(x) = 2x
f’(x) = nxn-1
1
f’(x) =  2
x
1
f’(x) =
2 x
Ë*
Ë+
f(x) = x n (n  2 )
1
f(x) =
x
f(x) =
x
Ensemble de
dérivabilité
Ë
Ë
Ë
Ë
Ë*
Ë+*
 Les fonctions polynômes sont dérivables sur Ë
 Les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.
 La fonction x x est dérivable sur Ë+*.
3) Opérations sur les fonctions dérivables
Si u et v sont dérivables sur I alors
ku est dérivable sur I
u + v est dérivable sur I
et
u . v est dérivable sur I
et
et
( ku )' = k.u'.
( u + v )’ = u’ + v’ .
( u . v )’ = u’ v + v’ u
dem : DM ou en groupes
Si en plus v est non nulle sur I alors
1
est dérivable sur I
v
et
u
est dérivable sur I
v
et

v'
1
   2 .
v
v
 
 u'v  v'u
u
.
  
v2
v
Ex 16-17-18-19-20-21 p.117
Ex 25-26 p.118
Ex 29-30-38 p.118
Ex 3-5-5 feuille
IV. Dérivée et sens de variation
1) Théorème : ( admis )
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Si, pour tout x de I, f’(x) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
Si, pour tout x de I, f’(x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I.
Si, pour tout x de I, f’(x) = 0, alors f est constante sur I.
Ce théorème permet d’étudier le sens de variation d’une fonction ; on construit un tableau
donnant le signe de f’(x), puis le sens de variation de f.
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Exemples :
1) f(x) = 2x² - 5x + 3

x
f’(x)
+
f
1
0
+

-Error!
1x
sur ] –Error!; +õ[
2x  1
3
g’(x) =
(2x  1) 2
tableau de signes et tableau de variations sur ] –Error!; +õ[
2) g(x) =
Ex 39 à 44 p.119
2) Extremum local et dérivée :
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert.
Si f’ s’annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a.
Deux cas se présentent :
Remarque :
Si l’intervalle n’est pas ouvert, on peut avoir un extremum sans que la dérivée s’annule.
Exemple : f(x) = x² sur [0 ; 2].
f admet un maximum en 2, et f’(2)  2.
Ex 50-51-52-53-55 … p.119-120
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