Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace euclidien

Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace euclidien
E désigne ici un R-ev euclidien de dimension p, B  (e1 , e2 ,..e p ) en est une base.
D est une partie de R, F : D  E est une fonction de D dans E.
p
On note f1 , f 2 ,... f p les fonctions de D dans R définies par t  D, F (t )   f i (t )ei
i 1
(On les appelle les fonctions coordonnées de F dans la base B)
I Limite, continuité
Définition, proposition :
Soit a  R un point adhérent à D, et l  E de coordonnées l1 , l2 ,...l p dans B.
lim f  l    0,   0, t  D, ( t  a    F (t )  l   )
a
 i  1, p , lim f i  li
a
 lim F (t )  l  0
t a
Définition, proposition analogues pour l’éventuelle limite en   ou   lorsque D est
non majorée ou non minorée.
Définition et proposition analogues pour les éventuelles limites à droite ou à gauche en
un point a de R tel que a soit adhérent à D  a, ou D   , a .
On établit aisément les résultats concernant les opérations classiques sur les fonctions
vectorielles : si F , G : D  E on des limites en un point a de R adhérent à D, si   R et si
 : D  R a une limite finie en a.
Alors F  G , F , F , F  G et F on des limites en a, qui sont respectivement :
lim F  lim G ,  lim F , lim  . lim F , lim F  lim G et lim F .
a
a
a
a
a
a
a
a
Et dans les cas où E est orienté et de dimension 3, F  G a une limite en a qui est
lim F  lim G
a
a
On a aussi le théorème de composition :
Si  : A  R (avec A  R ), si F : D  E (avec  ( A)  D ), si   R est adhérent à A
et si  a une limite a  R en  , alors a est adhérent à D, et si de plus F a une limite en a,
alors F   a une limite en  , qui est lim F .
a
Définition, proposition :
Soit a D .
F est continue en a  Fadmet une limite en a (c’est alors nécessairement F (a) )
 i  1, p , f i est continue en a.
(Définition, proposition analogues pour l’éventuelle continuité à droite/à gauche en a)
Définition, proposition :
F est continue sur D    D , F est continue en a.
 i  1, p , f i est continue sur D.
On justifie aisément les résultats attendus concernant la continuité et les opérations
classiques sur les fonctions vectorielles…
On montre aussi facilement le théorème :
Si K est un segment de R, et si F : K  E est continue sur K, alors F est bornée sur K
(c'est-à-dire qu’il existe M  R tel que t  K , F (t )  M )
On a en effet l’équivalence suivante :
F est bornée  i  1, p , f i est bornée.
 
II Dérivabilité
Ici, I désigne un intervalle infini de R, on conserve les notations du début avec D  I
(ainsi, F est une fonction de I dans E)
A) Définition, proposition
Soit a  I .
F est dérivable en a  l’application I \ a  E
a une limite en a.
F (t )  (a)
t
t a
 i  1, p , f i est dérivable en a.
 
p
dF
(a ) , et on a F ' (a)   f 'i (a)ei .
dt
i 1
Définitions, propositions analogues pour l’éventuelle dérivabilité et dérivée à
droite ou à gauche en a, et pour la dérivabilité et la dérivée sur I.
Proposition :
(Rappel : I est un intervalle de R)
Si F est dérivable sur I, alors F '  0  F  cte
Notions de dérivées successives, de classes de fonctions analogues aux définitions
des fonctions réelles…
Cette limite est alors notée F ' (a) ou
B) Opérations sur les fonctions dérivables en un point
Si F , G : I  E sont dérivables en a, si   R et si  : I  R est dérivable en a,
alors F  G , F , F et F  G sont dérivables en a, et on a :
( F  G )' (a )  F ' (a )  G ' (a )
(.F )' (a )   .F ' (a )
( .F )' (a )   ' (a ).F (a )   (a ).F ' (a )
( F  G )' (a )  F ' (a )  G (a )  F (a )  G ' (a )
Et, dans le cas où E est de dimension 3 et orienté, F  G est dérivable en a et :
( F  G )' (a)  F ' (a)  G (a)  F (a)  G ' (a) .
Remarque :
On obtient ensuite par récurrence les formules de Leibniz pour (.F ) ( n ) , ( F  G) ( n )
et ( F  G)( n ) , lorsque F, G et  sont de classe C n .
Théorème de composition :
Si  : J  R , F : I  E avec  ( J )  I , si   J et si  est dérivable en  et F
dérivable en  ( ) , alors F   est dérivable en  , et ( F   )' ( )   ' ( ) F ' ( ( ))
Proposition :
Si F : I  E est dérivable en a, et si F (a)  0 , alors F est dérivable en a, et :
( F )' (a) 
F (a)  F ' (a)
F (a)
En effet,
F  F  F , et en appliquant le théorème de dérivation pour la
composition des fonctions réelles F  F et u  u :
Si F (a)  F (a)  0 (c'est-à-dire si F (a)  0 ), alors
1 2 F (a)  F ' (a) F (a)  F ' ( a)

dérivée
.
2 F (a)  F (a)
F (a)
Proposition :
Si F est dérivable sur I, et si F  cte , alors F  F '
(c'est-à-dire t  I , F (t )  F ' (t ) )
F  F est dérivable en a, de
En effet :
Si F  cte  0 , c’est que F  cte  0 , d’où le résultat.
Sinon, selon la propriété précédente, on peut écrire :
F (a)  F ' (a)
a  I ,0  ( F )' (a) 
F (a)
Exemple :
C est un cas particulier d’espace euclidien sur R. (de dimension 2, une base
orthonormée étant par exemple la base (1, i ) , la norme euclidienne étant le module)
On a déjà traité le cas des fonctions d’une partie de R dans C (et on a dans ce cas
une opération supplémentaire, à savoir la multiplication)
Pour tout m  C , la fonction t  e m.t est dérivable sur R, de dérivée t  mem.t .
Lorsqu’on prend m  i , cette fonction, t  ei.t est de module constant égal à 1, et
i (t   )
sa dérivée t  ie i.t  e 2 lui est bien orthogonale.
III Intégration
Proposition, définition :
Soit F : [a, b]  E , continue. Alors la valeur de
p
  
i 1
b
a
f i (t )dt ei est indépendante du

choix de la base B  (e1 , e2 ,...e p ) . Cette valeur est par définition

b
a
F (t )dt .
La définition peut s’étendre aux fonctions continues par morceaux…
Propriété : linéarité, relation de Chasles…
Théorème (admis) :
Si F : [a, b]  E est continue (ou continue par morceaux), et si a  b , alors :

b
a
b
F (t )dt   F (t ) dt
a
Théorème :
x
Si I est un intervalle de R, et si F : I  E est continue, alors la fonction x   F (t )dt
a
est une primitive de F sur I, et c’est l’unique primitive de F sur I nulle en a.
Il en résulte que si F : I  E est continue sur I, alors F admet une primitive G, et pour
tous a, b de I,

b
a
F (t )dt  G(b)  G(a) .
Conséquences : théorème d’intégration par parties, de changement de variables…
Remarque : La formule de la moyenne est fausse (Avec E  C par exemple).
IV Inégalités et formules de Taylor diverses
Inégalité des accroissements finis :
Si F est continue sur [ a, b] , dérivable sur ]a, b[ , et si il existe k  R  tel que
t ]a, b[, F ' (t )  k , alors F (b)  F (a)  k b  a .
L’égalité des accroissements finis est fausse (voir encore avec E  C )
Inégalité de Taylor–Lagrange à l’ordre n  1 :
SiF est de classe C n ( n  1) sur [ a, b] , et si M n  sup F ( n ) (t ) (qui existe d’après le I),
t[ a ,b ]
ba
(b  a)
F ( n 1) (a)) 
Mn
alors F (b)  ( F (a)  (b  a ) F ' (a)  ... 
(n  1)!
n!
n 1
n
L’égalité de Taylor–Lagrange est fausse (elle est vraie dans R mais hors programme)
Formule de Taylor avec reste intégral (à l’ordre n  1 ) :
F : [a, b]  E est de classe C n ( n  1), alors :
n 1
b b t
(b  a) n1 ( n1)
F (b)  F (a)  (b  a) F ' (a)  ... 
F
(a)  
F ( n ) (t )dt
a
(n  1)!
(n  1)!
(Cette formule s’établit aisément grâce à des intégrations par parties successives, et
donne ainsi une preuve de l’inégalité de Taylor–Lagrange grâce au théorème de majoration vu
au III)
Formule de Taylor–Young (à l’ordre n) :
Si F : I  E est de classe C n sur un intervalle I contenant 0, alors il existe  : I  E ,
telle que lim  (t )  0 et :
t 0
t  I , F (t )  F (0)  t.F ' (0)  t2 .F ' ' (0)  ...  tn! .F ( n) (0)  t n (t )
2
n
V Développements limités
Définition :
Soient I un intervalle infini de R, t0  I , notons D  I ou I \ t0  , et F : D  E .
On dit que F admet un DL à l’ordre n en t 0 lorsqu’il existe une fonction  : D  E et
des éléments a0 , a1 ,...an de E tels que :
 lim  (t )  0
t t0
 t  D, F (t )  a0  (t  t0 )a1  (t  t0 ) 2 a2  ...  (t  t0 ) n an  (t  t0 ) n  (t )
Propriétés :
- Unicité de l’éventuel DL à l’ordre n en t 0 .
- Existence d’un DL à l’ordre n en t 0  existence de DL en t 0 à tout ordre q  n .
- Existence d’un DL à l’ordre 0 en t 0  existence d’une limite en t 0
En supposant maintenant que t 0  I (c'est-à-dire que D  I ) :
- Existence de DL à l’ordre 1 en t 0  dérivabilité en t 0
(Mais ne s’étend pas aux ordres supérieurs)
- Fest de classe C n au voisinage de t 0  F a un DL à l’ordre n en t 0
(Donné alors par la formule de Taylor–Young)
Opérations sur les DL :
- Somme, produit par un scalaire : évident.
- Pour les autres opérations : voir ce qui se passe dans chaque cas particulier.