fonctions trigonométriques fonctions trigonométriques

Chapitre
10
F ONCTIONS
TRIGONOMÉTRIQUES
La musique est une mathématique
sonore, la mathématique est une
musique silencieuse.
Edouard Herriot
On attribue à Pythagore l'origine de l'étude physique des sons émis par des cordes tendues. Il
faut ensuite attendre le XVIIe siècle pour comprendre ce qu'est un son.
En fait si on joue une note, le son obtenu est une superposition de phénomènes vibratoires régis
par des fonctions sinusoïdales appelées harmoniques.
Le timbre du son musical est justement caractérisé par le nombre et l'intensité de ces harmoniques.
L'étude des cordes vibrantes sera, jusqu'au XIXe siècle, l'un des grands problèmes des physiciens
et des mathématiciens.
1
1.1
R APPELS DE PREMIÈRE
Définition et premières propriétés
Soit (O ; I , J ) un repère orthonormé du plan et C le cercle trigonométrique 1 .
À tout réel
on associe un point M du cercle C tel que x soit une mesure en radians de l'angle
−→x,−−
→
orienté OI; OM et réciproquement.
Par dénition, cos(x) et sin(x) sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée de M .
Notation
Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité, on peut écrire cos(x) = cos x et sin(x) = sin x.
On dénit la tangente de x par tan x =
sin x
π
pour tout x 6= + kπ avec k ∈ Z.
cos x
2
1. C'est-à-dire le cercle de centre O, de rayon 1 et orienté positivement dans le sens inverse des aiguilles d'une
montre.
1
LYCÉE B LAISE PASCAL
S.D ELOBEL
M.L UITAUD
2
Chapitre 10. Fonctions trigonométriques
J
C
M
sin x
x
cos x
O
I
Un clic sur l'image et c'est magique !
Propriété 1.
Pour tout réel x et pour tout entier k , on a :
cos2 x + sin2 x = 1 (relation fondamentale)
−1 6 cos x 6 1
−1 6 sin x 6 1
cos(x + 2kπ) = cos x
sin(x + 2kπ) = sin x
(On
dit alors que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques
2
de période
2π .)
Les angles remarquables :
π
2
π
3
√
3
Angle en radians
0
Cosinus
1
Sinus
0
Exercice 1
π
6
√
3
2
1
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
2
√
2
0
1
π
4
2
π
6
2
1
1
√
2
√
3
2
2
2
Pour utiliser la relation fondamentale
Déterminer cos x sachant que sin x =
Exercice 2
π
4
√
2
2
√
2
2
hπ
i
1
et x ∈
;π .
3
2
Pour utiliser la relation fondamentale
Soit A(x) = (cos x + sin x)2 + (cos x − sin x)2 .
π π 1. Calculer A
et A
.
4
3
2. Que peut-on conjecturer ? Le prouver.
2. On dit qu'une fonction est périodique de période T lorsque pour tout réel x, on a f (x + T ) = f (x).
0
3
Cours de Terminale S
Exercice 3
Fonction périodique
Démontrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période T .
π
1. f (x) = cos(4x) − 5
T =
2
2. g(x) = sin(πx)
T =2
Exercice 4
Des équations trigonométriques
Résoudre dans R les équations suivantes :
√
2
1. cos(2x) = −
2
2
2. 2 sin x − 3 sin x − 2 = 0
Exercice 5
Signe de fonction trigonométrique
1
Soit f la fonction dénie sur 0 ; 2π par f (x) = cos x + .
2
Compléter :
J
C


f (x) > 0 ⇐⇒ cos x > . . . . . .
f (x) = 0 ⇐⇒ cos x = . . . . . .


f (x) < 0 ⇐⇒ cos x < . . . . . .
x
0
x =15.
O
I
2π
Signe
de f (x)
Exercice 6
Signe de fonction trigonométrique, encore
Soit g la fonction dénie sur
Lorsque x décrit
Angle
π
2x −
3
Signe
de g(x)
−π π
;
2 2
π
par f (x) = cos 2x −
.
3
J
Compléter :
x
−π
2
−π π
π
;
, 2x −
2 2
3
C
décrit . . . . . . . . .
π
2
O
2x −
π
=-240.
3
I
4
Chapitre 10. Fonctions trigonométriques
1.2
Les angles associés
Soit x un réel.
Les angles associées à x sont −x, π − x, π + x, π2 − x et π2 − x.
Connaissant les valeurs de cos x et de sin x, on peut en déduire les valeurs exactes des cosinus et
sinus des angles associés à x. Utilisons le cercle trigonométrique.
Théorème 2
(Les angles associés).
π−x
x
x
x
−x
π+x
(
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
(
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
π
−x
2
π
+x
2
x
(
cos
sin
π
2
π
2
(
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
− x = sin x
− x = cos x
x
(
cos
sin
π
2
π
2
+ x = − sin x
+ x = cos x
la fonction cosinus est une fonction paire 3 car pour tout x ∈ R, cos(−x) = cos x.
la fonction sinus est une fonction impaire car pour tout x ∈ R, sin(−x) = − sin x.
Exercice 7
Paire ? Périodique ?
Soit f la fonction dénie sur R par f (x) = cos x + sin x.
1.
Démontrer que f (−π) = f (π).
2.
La fonction f est-elle paire ?
3.
Démontrer que f est périodique de période 2π .
3.
Une fonction est paire lorsque le domaine de dénition est symétrique par rapport à zéro et les images de
deux nombres opposés sont toujours égales.
Exemples : la fonction carrée, la fonction valeur absolue...
Une fonction est impaire lorsque le domaine de dénition est symétrique par rapport à zéro et les images
de deux nombres opposés sont toujours opposés.
Exemples : la fonction cube, la fonction inverse...
Il existe des fonctions ni paire ni impaire.
Exemples : La fonction racine carrée, la fonction exponentielle...
5
Cours de Terminale S
Exercice 8
Équations et associés
Résoudre dans R les équations suivantes :
x π 1. cos
+
= − cos x
2
3
1.3
2.
cos x = sin x
Les formules d’addition et de duplication
Théorème 3
(Les formules d'addition).
Soient a et b deux réels.
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes :
Théorème 4
(Les formules de duplication).
Soit a un réel.

2
2

cos a − sin a
cos (2a) = 2 cos2 a − 1


1 − 2 sin2 a
et
sin (2a) = 2 sin a cos a
Théorème 5.
Soit a un réel.
cos2 a =
2
1 + cos(2a)
2
et
sin2 a =
1 − cos(2a)
2
D ÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS COSINUS ET SINUS
On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R.
2.1
Dérivabilité en 0
Proposition 6.
sin x
=1
x→0 x
lim
et
cos x − 1
=0
x→0
x
lim
6
Chapitre 10. Fonctions trigonométriques
Preuve
Indication pour la première limite :
Dans le repère (O ; I , J ), C est le cercle trigonométrique de
centre O et de rayon OI = 1.
_
Le point M est sur l'arc de cercle IJ .
Le projeté orthogonal de M sur [OI] est le point C et la droite
∆ est la perpendiculaire à (OI) passant par I .
T est le point d'intersection des droites (OM ) et ∆.
On note de plus :
A1 l'aire du triangle OIM ;
A2 l'aire du secteur angulaire OIM ;
A3 l'aire du triangle OIT ;
−→ −−→
x une mesure de l'angle OI; OM .
T
J
C
M
∆
x
O
C
I
On admet que A1 6 A2 6 A3 .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Exprimer A1 , A2 et A3 en fonction de x.
i
sin x
πh
, sin x 6 x 6
.
Démontrer que pour tout x ∈ 0 ;
2
cos x
sin x
En déduire un encadrement de
.
x
sin x
= 1.
Prouver que lim
x→0
x
x>0
i π
h
Soit x ∈ − ; 0 .
2
a. À quel intervalle appartient −x ?
b.
Déduire de l'encadrement de la question 3, un encadrement de
c.
Prouver que lim
x→0
x<0
i π
h
sin x
pour x ∈ − ; 0 .
x
2
sin x
= 1.
x
Conclure.
Indication pour la deuxième limite :
Utiliser le théorème 5 pour prouver que, pour tout réel x, cos x−1 = −2 sin2
x
et utiliser la limite précédente.
2
Exercice 9
Déterminer les limites suivantes :
1.
sin(2x)
x→0
x
lim
2.
sin(3x)
x→0 sin(2x)
lim
3.
lim x sin
x→+∞
1
x
Les deux résultats ci-dessus nous permettent d'armer que les fonctions cosinus et sinus
sont dérivables en 0 et que les nombres dérivés en 0 sont :
sin0 (0) = 1
et
cos0 (0) = 0
2.2
Fonction dérivée
Théorème 7.
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et on :
cos0 (x) = − sin x
et
sin0 (x) = cos x
7
Cours de Terminale S
Preuve
Indication pour la fonction cosinus :
Soit a ∈ R et h un réel non nul.
Démontrer que le taux d'accroissement de cos en a est
τ (h) =
cos(a + h) − cos(a)
cos h − 1
sin h
= cos a
− sin a
.
h
h
h
Puis conclure en utilisant la proposition 6.
Réitérer la même démarche pour la fonction sinus.
Exercice 10
Soient Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions dénies sur R par f (x) = cos x et
g(x) = sin x.
π
3π
Les tangentes à Cf au point d'abscisse et à Cg au point d'abscisse
sont-elles parallèles ?
4
4
Exercice 11
Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur l'intervalle donné.
1.
f (x) = x cos x
2.
g(x) = sin2 x
2.3
sur R
sur R
3.
h(x) = tan x
4.
k(x) =
cos x
x
i π πh
sur − ;
2 2
sur 0 ; +∞
Composition
Proposition 8.
Soit u une fonction dénie et dérivable sur un intervalle I . Alors on a :
cos0 (u) = −u0 sin u
et
sin0 (u) = u0 cos u
Exercice 12
Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur l'intervalle donné.
r
π
−π π
2 x
1. f (x) = cos 10x +
sur R
3. h(x) =
1 − sin
sur
;
3
2
2 2
x π 2
sin 2x
−π π
4.
k(x)
=
sur
;
2. g(x) = sin
+
sur R
cos 2x
4 4
2
3
3
3.1
É TUDE DES FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Étude de la fonction cosinus
On a vu précédemment que la fonction cosinus est périodique de période 2π .
On peut donc restreindre l'étude de la fonction cosinus à un intervalle d'amplitude 2π , −π ; π
par exemple.
On sait, de plus que la fonction cosinus est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées dans un repère orthogonal.
On peut nalement restreindre l'étude à l'intervalle 0 ; π .
La courbe complète de la fonction cosinus s'obtiendra en eectuant une symétrie axiale d'axe
→
−
(Oy) puis des translations de vecteurs 2kπ i (k ∈ Z).
8
Chapitre 10. Fonctions trigonométriques
x
0
cos0 (x)
0
π
−
0
1
cos x
−1
Courbe de la fonction cosinus :
y
1
−2π
−π
−3π
2
−π
2
Ccos
π
π
2
0
x
2π
3π
2
Exercice 13
√
Soit f la fonction dénie sur 0 ; 2π par f (x) = 3 cos(2x) − sin(2x).
π
1. Démontrer que, pour tout réel x ∈ 0 ; 2π , f (x) = 2 cos 2x +
.
6
2. Dresser le tableau de variation de f .
√
3. Résoudre dans R l'équation f (x) = − 3.
Exercice 14
Résoudre graphiquement, dans
−7π 7π
−1
;
, l'inéquation cos x <
2
2
2
y
1 Ccos
−7π
2
3.2
−3π
−5π
2
−2π
−3π
2
−π
−π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
x
Étude de la fonction sinus
On a vu précédemment que la fonction sinus est périodique de période 2π .
On peut donc restreindre l'étude de la fonction sinus à un intervalle d'amplitude 2π , −π ; π
par exemple.
On sait, de plus que la fonction sinus est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport à
l'origine O du repère.
On peut nalement restreindre l'étude à l'intervalle 0 ; π .
La courbe complète de la fonction sinus s'obtiendra en eectuant une symétrie centrale de
→
−
centre O puis des translations de vecteurs 2kπ i (k ∈ Z).
9
Cours de Terminale S
x
π
2
0
0
sin0 (x)
+
π
−
1
sin x
0
0
Courbe de la fonction sinus :
y
Csin
1
−2π
−3π
2
−π
−π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
x
Exercice 15
Soit f la fonction dénie sur R par f (x) = 2 sin x + sin(2x).
1.
Démontrer que f est périodique de période 2π .
2.
Étudier la parité 4 de f .
3.
Déduire des questions précédentes le domaine d'étude de f .
4.
Dresser le tableau de variation de f sur son domaine d'étude.
5.
Représenter Cf dans un repère (O ; ~ı , ~ ) orthogonal.
4. Étudier la parité d'une fonction, c'est chercher si la fonction est paire, impaire ou ni paire ni impaire