• Expériences indépendantes. • Variables aléatoires réelles sur un

2016/2017
BCP ST 1B
Colles de mathématiques - Semaine 18 du 27/02/17
•
Expériences indépendantes.
Dans un exercice avec des expériences indépendantes, on commence par dénir des événements de la forme
Ak : " ....... au k−ième lancer", " ....... au k−ième tirage" ... permettant d'utiliser l'indépendance.
Cas particulier de n expériences identiques et indépendantes. (Pas encore la loi binomiale).
•
Variables aléatoires réelles sur un univers ni.
Système complet d'événements associés à une variable aléatoire.
Dénition de la loi de probabilité d'une variable aléatoire X . (représentation graphique )
Fonction de répartition d'une loi, d'une variable aléatoire, propriétés. (représentation graphique )
Espérance mathématique d'une variable aléatoire (deux dénitions équivalentes ). Linéarité.
X
E(X) =
X(ω)P ({ω}) =
ω∈Ω
Théorème de transfert. E(ϕ(X)) =
X
X
x P ([X = x])
x∈X(Ω)
ϕ(x)P ([X = x])
x∈X(Ω)
Variance. Proposition : V (aX + b) = a2 V (X).
Formule de K÷nig-Huygens.
Exemples de lois : Variable certaine, de Bernoulli, uniforme, binomiale et hypergéométrique.
Connaître l'espérance et la variance de ces lois. (sauf la variance de l'uniforme et de l'hypergéométrique )
Approximation d'une loi hypergéométrique par une loi binomiale.
Inégalité de Markov. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. (Démonstrations )
•
Simulations numériques .
Doivent-être connues : les fonctions du module random suivantes :
random()
randint()
choice()
shuffle()
Simulations des expériences classiques :
Lancers d'un ou plusieurs dés. Lancers d'une ou plusieurs pièces.
Tirages successifs dans une urne avec ou sans remise.
Simulations des lois usuelles. ( B(p), U ([[a; b]]) , B(n, p), H (N, n, p))
Simulation d'une loi quelconque
valeurs
probabilités
def simulation(valeurs,probabilites):
Y = random()
F = probabilites[0]
i = 0
while F < Y :
i += 1
F += probabilites[ i ]
return valeurs[ i ]
x0
p0
x1
p1
···
···
xn−2
pn−2
xn−1
pn−1
# la boucle while cherche le premier i pour lequel
# p0 + p1 + ... + pi-1 < Y <= p0 + p1 + ... + pi-1 + pi
Savoir estimer une probabilité ou une espérance en faisant un "grand" nombre de simulations.
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La colle pourra commencer par une question de cours.
Les exercices pourront commencer par une simulation numérique.
Pour les colles se déroulant dans des salles avec ordinateur on pourra demander aux étudiants de les utiliser pour
exécuter leur programme.
On rappelle que les étudiants doivent savoir utiliser la fonction plot du module matplotlib.pyplot, et peuvent être
amenés à l'utiliser dans ce contexte.