Feuille d`exercices 2 - PCSI

PSI : mathématiques 2016-2017
Feuille d’exercices 2
Exercice 1. Une urne contient Nboules numérotées de 1àN. On effectue ntirages avec
remise et on appelle Snla somme des numéros obtenus.
Déterminer l’espérance et la variance de Sn.
Exercice 2. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de loi U(J0, nK). On
note Z=|X−Y|.
Calculer la variance de Z.
Exercice 3. Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans Ntelle que
P(X=k) = e−22k
4k!(1 + αk), k ∈N., α > 0.
1. Déterminer la valeur de α.
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
(On pourra remarquer que P(X=k) = 1
4P(Y=k) + 3 4P(T=k), pour tout k, où
T=Z+ 1, et Yet Zsont deux variables de Poisson de paramètre 2)
Exercice 4. Soient Xet Ydeux variables aléatoires admettant des moments d’ordre 2.
On suppose que V(X) = V(Y).
Montrer que Cov(X+Y, X −Y) = 0.
Exercice 5. Soient X, Y, Z des variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Pois-
son de paramètres a, b et c. Soient U=X+Yet V=Y+Z.
1. Quels sont les lois de Uet V?
2. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire ρ(U, V ).
Exercice 6. Soit (Xk)k61une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes
une loi de Poisson de paramètre λ. On pose
Zn=1−1
nX1+...Xn.
Trouver une constante Ktelle que V(Zn)∼K
nlorsque ntend vers +∞. En déduire que,
pour tout  > 0, la limite de
P(|Zn−e−λ|>)
est nulle quand ntend vers +∞.
Exercice 7 (Loi hypergeométrique).
Soient Net adeux entiers, N>2, a >1. On dispose d’une urne contenant aN boules,
de Ncouleurs différentes, à raison de aboules par couleur.
On tire nboules simultanément, et on note Xile nombre de boules de la couleur numéro
iobtenues.
On rappelle la formule de Vandermonde :
∀(n, m, k)∈N3,
k
X
i=0 n
i m k−i=n+m k.
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1. Déterminer la loi de Xi, pour 16i6N, puis la valeur de E(Xi)
2. Déterminer V(Xi). On commencera par calculer E(Xi(Xi−1)).
3. En utilisant l’égalité
X1+· · · +XN=n,
déterminer Cov(Xi, Xj)et le coefficient de corrélation ρ(Xi, Xj), pour i6=j. Inter-
préter.
Exercice 8 (Loi binomiale négative ou de Pascal).
On dit qu’une variable aléatoire Xsuit une loi binomiale négative de paramètres net
psi X(Ω) = {n, n + 1, . . .}et P(X=k) = k−1
n−1pn(1 −p)k−n.
1. Soit X1, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi géo-
métrique de paramètre p. Montrer que X1+· · ·+Xnsuit une loi binomiale négative
de paramètres net p.
2. En déduire espérance et variance d’une loi binomiale négative de paramètres net
p.
Exercice 9. Une urne contient 4boules numérotées 0,1,1,2. On effectue ntirages avec
remise et on note Snla somme des numéros tirés.
En utilisant la fonction génératrice, déterminer la loi de Sn.
Quelle est son espérance ?
Exercice 10 (Loi binomiale négative ou de Pascal).
On réalise une succession de lancers d’une pièce telle que la probabilité d’obtenir “pile”
soit p∈]0,1[. Pour tout n>1, on note Xnla variable aléatoire égale au nombre de lancers
nécessaires pour obtenir le n−ième pile.
On note ensuite X1=Y1et, pour tout n>1,Yndésigne le nombre de lancers supplé-
mentaires pour obtenir le n−ième pile, après avoir obtenu le (n−1)−ième.
1. Montrer que pour tout z∈Ctel que |z|<1et pour tout p∈N, on a
1
(1 −z)p+1 =
+∞
X
k=0 k+p
pzk.
2. Déterminer la loi de Yn.
3. En déduire celle de Xn. On utilisera la fonction génératrice.
Exercice 11. On lance un dé deux fois de suite. On appelle X1et X2les numéros des
faces obtenues lors, respectivement, du premier et du deuxième lancer. Soit S=X1+X2
la somme de ces deux numéros.
Est-il possible de truquer le dé pour que Ssuive une loi uniforme ?
(On pensera aux fonctions génératrices.)
Exercice 12. On désigne par Nle nombre de champignons ramassés par Manon durant
une période donnée. On suppose que Nest une variable aléatoire à valeurs dans N∗, de
fonction génératrice GN.
On suppose de plus que la probabilité pour qu’un champignon cueilli soit comestible
est égale à p∈]0,1[.
Montrer que la probabilité que tous les champignons cueillis soient comestibles est égale
àGN(p).
Exercice 13. Soient Xet Ydeux variables de Poisson indépendantes, de paramètre a.
Soit Z=X+ 3Y.
Déterminer la fonction génératrice de Z. Trouver l’espérance et la variance de Zde
deux façons différentes.
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Exercice 14. On dit qu’un vecteur aléatoire X= (X1,...Xd)est échangeable si la loi de
Xest invariante par permutation des coordonnées, c’est-à-dire que, pour toute permutation
πde {1, . . . , d},Xa même loi que (Xπ(1), . . . , Xπ(d)). Soit donc Xun tel vecteur aléatoire,
échangeable, admettant un moment d’ordre 2et tel que X1+· · · +Xd= 1
Montrer qu’alors X1, . . . , Xdsuivent la même loi et que E(Xi) = 1
d. Puis établir que
Cov(Xi, Xj) = −V(X1)
d−1, i 6=j.
Indication : étudier E(X1+· · · +Xd)et E(X1(X1+· · · +Xd)).
Exercice 15 (Entropie).
Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini E. Pour chaque valeur
x∈E, on pose p(x) = P(X=x).
On appelle entropie de la variable Xle réel
H(X) = −X
x∈E
p(x) ln(p(x)),
où l’on convient 0 ln(0) = 0.
1. Vérifier que H(X)est un réel positif. À quelle condition celui-ci est-il nul ? Si X
suit une loi uniforme sur J1, nK, calculer l’entropie de X.
2. Soient Xet Ydeux variables aléatoires à valeurs dans des ensembles finis Eet
F. On appelle entropie conjointe de Xet Y, l’entropie de la variable Z= (X, Y ),
simplement notée H(X, Y ).
On suppose les variables Xet Yindépendantes, vérifier que H(X, Y ) = H(X) +
H(Y).
3. On appelle entropie de Xsachant Yla quantité H(X|Y) = H(X, Y )−H(Y).
Vérifier
H(X|Y) = X
y∈F
P(Y=y)H(X|Y=y),
avec
H(X|Y=y) = −X
x∈E
P(Y=y)(X=x) ln(P(Y−y)(X=x)).
4. Si Xest à valeurs dans N, on définit de même son entropie par H(X) = −
+∞
P
n=0
pnln(pn),
avec pn=P(X=n). Montrer que Hest à valeurs dans R+∪{+∞}. Quand s’annule-
t-elle ?
5. Si Xsuit une loi géométrique de paramètre p,0<p<1, calculer l’entropie de X.
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