J Chapitre VI : Fonctions trigonométriques Extrait du programme : I

O
+
I
J
M
x
A
B
Chapitre VI : Fonctions trigonométriques
Extrait du programme :
I. Rappels de première
On munit le cercle trigonométrique d’un repère orthonormé (O ; OI ; OJ ).
Soit x la mesure en radian d’un angle, et M le point tel que l’angle orienté
(  OI ;  OM) = x.
Alors le point M a pour coordonnées (cox x ; sin x ) dans le repère.
Propriétés :
 -1 ≤ cos x ≤1 et -1 ≤ sin x ≤ 1 pour tout réel x
 (cos x  (sinx  pour tout réel x
 cosx  k  cosx et sinx  k  sinx pour tout x et tout k
Quelques valeurs particulières :
On obtient les autres valeurs particulières du cercle grâce aux angles associés :
 cos ( − x ) = cos x sin ( − x ) = − sin x
 cos (  + x ) = − cox ( x ) sin (  + x ) = − sin x
 cos (  − x ) = − cos x sin (  − x ) = sin x
 cos ( 
2 + x ) = − sin x sin (  2 + x ) = cos x
 cos ( 
2 − x ) = sin x sin (  2 − x ) = cos x
x
0
Cos x
1
0
Sin x
0
1

Pour finir, les formules d’addition et de duplication nous permettent de trouver d’autres valeurs
exactes :
Formules d’addition : Quels que soient les réels a et b :
cosa  b  cosacosb  sinasinb sina  b  sinacosb  cosasinb
cosa  b  cosacosb  sinasinb sina  b  sinacosb  cosasinb
Formules de duplication : Quelques soit le réel a,
cosa  cosa  sina  cosa      sina sina  sinacosa
II. La fonction cosinus
1. Définition et propriétés
Définition : Tout nombre réel a un cosinus. On appelle fonction cosinus la fonction définie sur 
par : xcos x
Dérivabilité :
 La fonction cosinus est continue et dérivable sur  et
pour tout réel x, cos’ ( x ) = − sin x
 Soient a et b deux réels.
La fonction f définie sur  par f ( x ) = cos ( ax + b ) est dérivable et
pour tout réel x, f ’ ( x ) = − a sin ( ax + b )
Périodicité : Puisque pour tout x, cos ( x + 2 ) = cos x , on n’étudiera la fonction que sur l’intervalle
[− ;]. On dit que cette fonction est périodique de période 2 ou est 2-périodique.
Parité : Pour tout réel x, cos ( − x ) = cos x , donc la courbe représentative de la fonction cosinus est
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On dit que la fonction cosinus est paire.
Cela nous permettra de réduire son intervalle d’étude à [0;]
2. Sens de variation et courbe représentative
Tableau de variation :
Courbe représentative : Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses puis par périodicité, on obtient
alors la courbe suivante :
x
0 
cos x
1

III. La fonction sinus
1. Définition et propriété
Définition : Tout nombre réel a un sinus.
On appelle fonction sinus la fonction définie sur  par : xsin x
Dérivabilité :
 La fonction sinus est continue et dérivable sur  et
pour tout réel x on a : sin’ ( x ) = cos x
 Soient a et b deux réels, la fonction f définie sur  par f ( x ) = sin ( ax + b ) est dérivable et
Pour tout réel x, f ’ ( x ) = a cos ( ax + b )
Périodicité : Puisque pour tout x, sin ( x + 2 ) = sin x , la fonction sinus est aussi 2-périodique.
Parité : Pour tout réel x, sin ( − x ) = − sin x donc la courbe est symétrique par rapport à l’origine. On
dit que la fonction sinus est impaire.
2. Sens de variation et courbe représentative
La périodicité et la parité nous permet de restreindre l’étude à l’intervalle [0 ;]
Tableau de variation :
Représentation graphique : Par symétrie par rapport à l’origine puis par périodicité, on obtient la
courbe suivante :
Remarque : les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus s’appellent des sinusoïdes.
3. Limite particulière
Propriété : lim
x  0 sin x
x = 1
Démonstration : le nombre dérivé en 0 de la fonction sinus est égal à :
Sin’ ( 0 ) = cos ( 0 ) = 1 et sin’ ( 0 ) = lim
x  0 sin x − sin ( 0 )
x − 0 = lim
x  0 sin x
x CQFD
x
0 
sin x
1
0 0

IV. Lignes trigonométriques
1. Equations cosx  cosa et sinx  sina
Propriété :
L’équation cosx  cosa a pour solutions les nombres réels x  a  k et x  a  k’ ; ket
k’
Propriété :
L’équation sinx  sina a pour solutions les nombres réels x  a  k et x    a  k', ket
k’
2. Inéquations de la forme 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ≤ 𝒌, 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ≤ 𝒌(k)
Point-méthode 29 : résoudre une inéquation trigonométrique
Résoudre l’inéquation sin 2x ≤ −0,5 dans  puis dans [0; 2 𝜋]
Solution :
1. On fait un changement de variable pour résoudre l’inéquation avec une variable simple : On
pose X = 2x
2. On résout sin X ≤ 0,5 : le cercle trigonométrique, on colorie les points associés à un réel Sur
dont le sinus est inférieur à -0,5, c’est-à-dire qui ont une ordonnée inférieure à -0,5.
On repère les réels auxquels sont associés ces points.
Ainsi, on a − 5
6 + 2k   X  −  6 + 2k  k On traduit les solutions du cercle en inéquation
− 5
6 + 2k   2x  −  6 + 2k  k On repasse à la variable x
− 5
12 + 2k   x  −  12 + 2k  On isole x de façon habituelle.

Ainsi dans  : s = 
− 5
12 + 2k ;−  12 +2k  k
3. Pour passer de à un intervalle plus petit que , on doit trouver les bonnes valeurs de k pour
lesquelles tout ou partie des intervalles formés sont dans l’ensemble considéré.
Si k = 0 : − 5
12  x
− 
12  [0 ;2 ]
Si k = 1 : 7
12  x  11 12 [0 ;2 ]
Si k = 2 : 15
12  x  23 12 [0 ;2 ]
Si k = 3 : 27
12  x  35 12 [0 ;2 ]
Ainsi, dans [0 ;2 ] on a : s = 
7
12;11 12 ∪ 
15
12 ;23 12
Point-méthode 30 : Etudier une fonction trigonométrique
𝑓est la fonction définie sur  par f ( x ) = cos ( 2x ). f ’est sa fonction dérivée et c sa courbe
représentative dans un repère orthogonal.
1. Exprimer f ( x +  ) et f ( − x ) en fonction de f ( x ). Qu’en déduit-on concernant c ?
2. a. Déterminer l’expression de f ’ ( x ) et étudier son signe sur 
0;
2.
b. Dresser le tableau de variation de f sur 
0;
2, puis tracer c sur 
− 3
2;3 2.
Solution :
1. On calcule f ( x +  ) et on utilise la périodicité de la fonction cosinus
f ( x +  ) = cos ( 2 ( x +  ) ) = cos ( 2x + 2 ) = cos ( 2 ) = f ( x )
La fonction f est -périodique donc il suffira de tracer c sur un intervalle d’amplitude .
On calcule f ( − x ) en essayant de faire apparaitre f ( x )
f ( − x ) = cos ( − 2x ) = cos ( 2x ) = f ( x )
La fonction f est paire donc c est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Une étude sur 
0;
2
suffit.
2. a. f ( x ) est du type cos ( ax + b ) donc sa dérivée est –a sin ( ax + b )
f ’( x ) = − 2 sin ( 2x )
Pour étudier le signe de la dérivée, on peut procéder à un changement de variable ou bien utiliser les
formules de duplication :
 f ’( x ) = − 2 sin ( 2x ) = − 2 × 2 cos x sin x = − 4 cos x sin x
Or sur 
0;
2, cos x ≥ 0 et sin x ≥ 0 donc f ’( x )≤ 0 sur 
0;
2