J Chapitre VI : Fonctions trigonométriques Extrait du programme : I

Chapitre VI : Fonctions trigonométriques
Extrait du programme :
I.
Rappels de première
J
 
On munit le cercle trigonométrique d’un repère orthonormé (O ; OI ; OJ ).
Soit x la mesure en radian d’un angle, et M le point tel que l’angle orienté
 
Propriétés :
 -1 ≤ cos x ≤1 et -1 ≤ sin x ≤ 1 pour tout réel x


 (cos x  (sinx  pour tout réel x
cosx  k  cosx et sinx  k  sinx pour tout x et tout k
Quelques valeurs particulières :
x
0
Cos x 1
Sin x
0
B
O
x
A
( OI ; OM) = x.
Alors le point M a pour coordonnées (cox x ; sin x ) dans le repère.

+
M




















0
1
On obtient les autres valeurs particulières du cercle grâce aux angles associés :
 cos ( − x ) = cos x
sin ( − x ) = − sin x
 cos (  + x ) = − cox ( x )
sin (  + x ) = − sin x
 cos (  − x ) = − cos x
sin (  − x ) = sin x


 cos ( + x ) = − sin x
sin ( + x ) = cos x
2
2


 cos ( − x ) = sin x
sin ( − x ) = cos x
2
2
I
Pour finir, les formules d’addition et de duplication nous permettent de trouver d’autres valeurs
exactes :
Formules d’addition : Quels que soient les réels a et b :
cosa  b  cosacosb  sinasinb
sina  b  sinacosb  cosasinb
cosa  b  cosacosb  sinasinb
sina  b  sinacosb  cosasinb
Formules de duplication : Quelques soit le réel a,




cosa  cos a  sin a  cos a      sin a
II.
sina  sinacosa
La fonction cosinus
1. Définition et propriétés
Définition : Tout nombre réel a un cosinus. On appelle fonction cosinus la fonction définie sur 
par : xcos x
Dérivabilité :


La fonction cosinus est continue et dérivable sur  et
pour tout réel x, cos’ ( x ) = − sin x
Soient a et b deux réels.
La fonction f définie sur  par f ( x ) = cos ( ax + b ) est dérivable et
pour tout réel x, f ’ ( x ) = − a sin ( ax + b )
Périodicité : Puisque pour tout x, cos ( x + 2 ) = cos x , on n’étudiera la fonction que sur l’intervalle
[− ;]. On dit que cette fonction est périodique de période 2 ou est 2-périodique.
Parité : Pour tout réel x, cos ( − x ) = cos x , donc la courbe représentative de la fonction cosinus est
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On dit que la fonction cosinus est paire.
Cela nous permettra de réduire son intervalle d’étude à [0;]
2. Sens de variation et courbe représentative
Tableau de variation :
x
cos x
0
1


Courbe représentative : Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses puis par périodicité, on obtient
alors la courbe suivante :
III.
La fonction sinus
1. Définition et propriété
Définition : Tout nombre réel a un sinus.
On appelle fonction sinus la fonction définie sur  par : xsin x
Dérivabilité :

La fonction sinus est continue et dérivable sur  et
pour tout réel x on a : sin’ ( x ) = cos x

Soient a et b deux réels, la fonction f définie sur  par f ( x ) = sin ( ax + b ) est dérivable et
Pour tout réel x, f ’ ( x ) = a cos ( ax + b )
Périodicité : Puisque pour tout x, sin ( x + 2 ) = sin x , la fonction sinus est aussi 2-périodique.
Parité : Pour tout réel x, sin ( − x ) = − sin x donc la courbe est symétrique par rapport à l’origine. On
dit que la fonction sinus est impaire.
2. Sens de variation et courbe représentative
La périodicité et la parité nous permet de restreindre l’étude à l’intervalle [0 ;]
Tableau de variation :
x


1
0

sin x
0
0
Représentation graphique : Par symétrie par rapport à l’origine puis par périodicité, on obtient la
courbe suivante :
Remarque : les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus s’appellent des sinusoïdes.
3. Limite particulière
Propriété : lim
x

0
sin x
=1
x
Démonstration : le nombre dérivé en 0 de la fonction sinus est égal à :
Sin’ ( 0 ) = cos ( 0 ) = 1
et sin’ ( 0 ) = lim
x

0
sin x − sin ( 0 )
sin x
= lim
x  0
x−0
x
CQFD
IV.
Lignes trigonométriques
1. Equations cosx  cosa et sinx  sina
Propriété :
L’équation cosx  cosa a pour solutions les nombres réels x  a  k et x  a  k’ ; ket
k’
Propriété :
L’équation sinx  sina a pour solutions les nombres réels x  a  k et x    a  k', ket
k’
2. Inéquations de la forme 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ≤ 𝒌, 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ≤ 𝒌(k)
Point-méthode 29 : résoudre une inéquation trigonométrique
Résoudre l’inéquation
sin 2x ≤ −0,5 dans  puis dans [0; 2 𝜋]
Solution :
1. On fait un changement de variable pour résoudre l’inéquation avec une variable simple : On
pose X = 2x
2. On résout sin X ≤ 0,5 : Sur le cercle trigonométrique, on colorie les points associés à un réel
dont le sinus est inférieur à -0,5, c’est-à-dire qui ont une ordonnée inférieure à -0,5.
On repère les réels auxquels sont associés ces points.
Ainsi, on a
− 5
−
+ 2k   X 
+ 2k  k
6
6
− 5
−
+ 2k   2x 
+ 2k  k
6
6
− 5
−
+ 2k   x 
+ 2k 
12
12
On traduit les solutions du cercle en inéquation
On repasse à la variable x
On isole x de façon habituelle.
−
− 5

Ainsi dans  : s =  12 + 2k ; 12 +2k  k
3. Pour passer de à un intervalle plus petit que , on doit trouver les bonnes valeurs de k pour
lesquelles tout ou partie des intervalles formés sont dans l’ensemble considéré.
Si k = 0 :
− 5
−
x
 [0 ;2 ]
12
12
Si k = 1 :
7
11
x
12
12
Si k = 2 :
15
23
x
[0 ;2 ]
12
12
Si k = 3 :
27
35
x
[0 ;2 ]
12
12
[0 ;2 ]
7 11 15 23
Ainsi, dans [0 ;2 ] on a : s = 12 ; 12  ∪  12 ; 12 
Point-méthode 30 : Etudier une fonction trigonométrique
𝑓est la fonction définie sur  par f ( x ) = cos ( 2x ). f ’est sa fonction dérivée et c sa courbe
représentative dans un repère orthogonal.
1. Exprimer f ( x +  ) et f ( − x ) en fonction de f ( x ). Qu’en déduit-on concernant c ?
 
2. a. Déterminer l’expression de f ’ ( x ) et étudier son signe sur 0;2.
 
− 3 3
b. Dresser le tableau de variation de f sur 0;2, puis tracer c sur  2 ; 2 .
Solution :
1. On calcule f ( x +  ) et on utilise la périodicité de la fonction cosinus
f ( x +  ) = cos ( 2 ( x +  ) ) = cos ( 2x + 2 ) = cos ( 2 ) = f ( x )
La fonction f est -périodique donc il suffira de tracer c sur un intervalle d’amplitude .
On calcule f ( − x ) en essayant de faire apparaitre f ( x )
f ( − x ) = cos ( − 2x ) = cos ( 2x ) = f ( x )
 
La fonction f est paire donc c est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Une étude sur 0;2
suffit.
2. a. f ( x ) est du type cos ( ax + b ) donc sa dérivée est –a sin ( ax + b )
f ’( x ) = − 2 sin ( 2x )
Pour étudier le signe de la dérivée, on peut procéder à un changement de variable ou bien utiliser les
formules de duplication :
 f ’( x ) = − 2 sin ( 2x ) = − 2 × 2 cos x sin x = − 4 cos x sin x
 
 
Or sur 0;2, cos x ≥ 0 et sin x ≥ 0 donc f ’( x )≤ 0 sur 0;2

f ’( x ) = − 2 sin ( 2x )≤ 0  − 2 sin ( X )≤ 0 avec X = 2x
 sin ( X ) ≥ 0
 0≤ X ≤ 
 0 ≤ 2x ≤ 

0≤x≤
2
On a donc :
x
f'
f(x)
0
0
1
−

2
0
−1
 
b. On trace la courbe sur 0;2, puis on fait une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées,


puis des translations de vecteur pi i et –pi i