Arithmétique des entiers

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Arithmétique des entiers
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Université d’Eleuthéria-Polites
Cours de Licence —/
Bruno DE S CHAMPS
Version .

On n’epas d’un pays mais on ed’une ville
Où la rue artérielle limite le décor.
Les cheminées d’usine hululent à la mort.
La lampe du gardien rigole de mon yle.
La misère écrasant son mégot sur mon cœur
A laissé dans mon sang la trace indélébile
Qui a le même son et la même couleur
Que la suie des crassiers, du charbon inutile.
Les forges de mes tempes ont pilonné les mots.
J’ai limé de mes mains le creux des évidences.
Les mots calaminés crachent des hauts-fourneaux.
Mes yeux d’acier trempé inventent le silence.
Je me soûle à New York et me bats à Paris.
Je balance à Rio et ris à Montréal
Mais c’equand même ici que poussa tout petit
Cette fleur de grisou à tige de métal.

Table des matières
Présentation axiomatique des entiers naturels 
.Axiomatique........................................... 
.Arithmétique sur N....................................... 
..Addition.......................................... 
..Multiplication...................................... 
L’anneau Zdes entiers relatifs 
.Conruion........................................... 
.Propriété de l’anneau Z. .................................... 
..Divisibilité........................................ 
..Congruence ....................................... 
..Euclidienneté ...................................... 
..Nombres premiers et faorialité de Z......................... 
..pgcdetppcm ...................................... 
..Sous-groupes de Zet théorème de Bezout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
L’anneau Z/nZ
.Struure de Z/nZ........................................ 
.Calcul de ϕ(n) .......................................... 
.Etude de (Z/nZ)∗........................................ 
.Le cryptosyèmeR.S.A. .................................... 

Présentation axiomatique des entiers naturels
.Axiomatique
Dans ce qui suit, Edésigne un ensemble et ≤un ordre sur E. On considère les axiomes suivants :
S.. L’ensemble Eenon vide.
S.. L’ordre ≤eun bon ordre sur E(i.e. toute partie non vide de Epossède un plus petit élément).
S.. Toute partie majorée non vide de Epossède un plus grand élément.
S..Ene possède pas de plus grand élément.
Premières remarques : Si (E,≤) vérifie les axiomes S.. alors ≤eun ordre total sur E. Par ailleurs si
(E,≤) vérifie S.,,. alors Eeun ensemble infini. Enfin, si Evérifie S.,. alors Epossède un plus
petit élément.
Dans la suite on considère un ensemble ordonné (E,≤) vérifiant les axiomes S.,,. On note 0 le
plus petit élément de E.
Les fonions successeur et prédécesseur : Considérons un élément n∈Eet F={m∈E/ m > n}.
D’après ce qui précède Fn’epas vide (sinon Eposséderait un plus grand élément). On appelle
successeur de nl’élément noté s(n) égal au plus petit élément de l’ensemble F.
Considérons un élément n∈E−{0}et F={m∈E/ m < n}. D’après ce qui précède Fn’epas vide
(car 0 ∈F) et emajorée (par n). On appelle prédécesseur de nl’élément noté p(n) égal au plus grand
élément de l’ensemble F.
Propriété .— a) Pour tout n∈Eon a s(n)> n et pour tout m∈Eon a m>n⇐⇒ m≥s(n).
b) Pour tout n∈E−{0}on a p(n)< n et pour tout m∈Eon a m<n⇐⇒ m≤p(n).
c) La fonion se riement croissante et la fonion pe riement décroissante.
d) Pour tout n∈E−{0}on a s◦p(n) = n.
Preuve : a,b,c) Exercices.
d) On a p(n)< n, donc s(p(n)) ≤n. Posons m=s(p(n)) et supposons que m<n, on a donc m≤p(n) mais
comme m=s(p(n)) on a m>p(n) ce qui eabsurde. Ainsi m=n.
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Théorème .— (appelé principe de récurrence) Soit Aune partie de E. Si Avérifie
•0∈A.
• ∀n∈E,n∈A=⇒s(n)∈A.
alors A=E.
Preuve : Raisonnons par l’absurde en supposant que A,E. On considère alors l’ensemble F=E−A
qui edonc non vide. Soit n0le plus petit élément de F. On a n0,0 (car 0 <F) et donc n0a un
prédécesseur m0. Comme n0> p(n0) = m0et que n0ele plus petit élément de Aon a m0<F, donc
m0∈Aet par suite n0=s(m0)∈Ace qui eabsurde.
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Théorème .— L’application seune bijeion de Esur E−{0}. Son application réciproque ela fonion
p
Preuve : •Prouvons que sebien à valeur dans E−{0}. Supposons qu’il exien∈Etel que s(n) = 0,
on a donc 0 > n ce qui een contradiion avec le fait que 0 ele plus petit élément de E.
•Montrons l’injeivité de s. Soit n,m ∈Etels que s(n) = s(m). Comme ≤eun ordre total, les
éléments net msont comparables (disons, par exemple, que n≤m). Si n < m on a donc m≥s(n) mais
comme s(m)> m on en déduit que s(m)> s(n) ce qui eabsurde, donc n=m.

•Montrons la surjeivité de s. Considérons l’ensemble A=s(E)∪{0}. Par hypothèse, on a 0 ∈A. Si
maintenant on prend n∈Aalors n∈Eet donc s(n)∈s(E)⊂A. Ainsi, par le principe de réccurence on
en déduit que A=Eet donc que s(E) = E−{0}.
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Théorème .— Un ensemble non vide ordonné (E,≤)vérifie les axiomes S.,,,. si et seulement si
l’ensemble Evérifie les axiomes (dits de Peano) suivants :
P..il exie un élément 0∈Eet une application s:E→E.
P..L’application seinjeive et à valeurs dans E−{0}.
P..Toute partie Ade Evérifiant 0∈Aet s(A)⊂Aeégale à E.
Preuve : S.0,1,2,3.=⇒P .0,1,2.eclair, la fonion sà considérer étant la fonion successeur. La
réciproque eadmise. Un des ingrédients de la preuve consie dans le fait que l’ordre ≤que l’on
recherche sur Ese définit de manière non-équivoque par les deux propriétés suivantes : /∀x∈E,
0≤x./∀x,y ∈E,x≤y⇐⇒ s(x)≤s(y).
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Théorème .— Soient (E,≤)et (E0,≤0)deux ensembles ordonné vérifiant les axiomes S.,,,. Il exie une
unique bijeion croissante de Esur E0.
Preuve : Notons 0 (resp. 00) le plus petit élément de E(resp. de E0).
•Unicité. Soient fet gdeux bijeions croissantes de Esur E0. L’application g−1◦fedonc une
bijeion croissante de Edans lui-même. Une telle application enécessairement égale à l’identité
(exercice).
•Exience. On considère l’ensemble Edes applications f:A−→ E0telle que :
a) ∀a∈A,b≤a=⇒b∈A,
b) friement croissante,
c) f(0) = 00,
d) ∀a∈A−{0},f(p(a)) = p0(f(a)) où p0désigne la fonion prédécesseur de E0.
L’ensemble Eenon vide car f:{0} −→ E0définie par f(0) = 00ecertainement un élément de
E. Sur E, on considère l’ordre défini de la manière suivante :
f:A−→ E0g:B−→ E0⇐⇒ A⊂Bet g|A=f
L’ensemble ordonné (E,) einduif car, si {fi:Ai−→ E0}idésigne une chaîne, alors l’ensemble
A=SiAisatisfait la condition a) et l’application f:A−→ E0définie par f(a) = fi(a) pour tout a∈Ai
ebien définie à cause de la définition de et vérifie b), c) et d) (exercice).
D’après Zorn, Epossède un élément maximal f:A−→ E0. On a obligatoirement A=E(exercice).
Maintenant, fétant riement croissante einjeive. Il ree donc à regarder sa surjeivité. Sup-
posons que f(E),E0et soit yle plus petit élément de l’ensemble E0−f(E). On a y,00(car f(0) = 00) et
donc p0(y)∈f(E). Il exie donc x∈Etel que f(x) = p0(y), mais f(x) = f(p(s(x))) = p0(f(s(x))) et donc,
par injeivité de p0, on a y=f(s(x)) ∈f(E) ce qui eabsurde.
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En conclusion, tous les ensembles ordonnés vérifiant les axiomes S.,,,. sont isomorphes en
tant qu’ensembles ordonnés, leurs propriétés pour cette ruures sont donc les mêmes. Dans la suite
on choisira Nun tel ensemble (l’exience d’un tel ensemble econsécutive d’axiomes de la théorie
des ensembles). On l’appelera "ensemble des entiers naturels".