Semaine N 6: Algèbre générale, arithmétique (début)

MPSI 1 programme de colles Lycée Privé Sainte-Geneviève
Semaine N◦6 : Algèbre générale, arithmétique (début)
Partie I - Algèbre générale
•Tout le programme sur les groupes et les anneaux à revoir.
•Anneaux
–Sous-anneau, caractérisation. Sous-anneau engendré.
–Morphisme d’anneaux.
•Corps
–Tout corps est un anneau intègre.
–Sous-corps, caractérisation. Sous-corps engendré par une partie.
–Morphisme de corps.
–À l’attention des colleurs comme des élèves : la construction du corps des fractions d’un anneau
intègre a été vue à titre "culturel", mais en aucun cas elle ne saurait être exigible en colle.
Partie II - Arithmétique (début)
•Multiple, diviseur. La divisibilité est une relation d’ordre partielle sur N.
•Le pgcd et le ppcm ont d’abord été introduits pour deux entiers non nuls, au sens de la relation ≤.
•Pour tout n∈Z,nZest un sous-groupe additif de Z. Réciproquement, tout sous groupe additif s’écrit
d’une unique manière nZavec n∈N.
•Le pgcd et le ppcm de deux entiers non nuls vérifient aZ+bZ= (a∧b)Zet aZ∩bZ= (a∨b)Z.
•On choisit d’étendre la définition du pgcd et du ppcm à des entiers quelconques à l’aide de la propriété
précédente. Généralisation à plus de deux entiers. Distributivité du pgcd.
•dest un diviseur commun de aet bssi il divise a∧b.mest un multiple commun de aet bssi c’est un
multiple de a∨b.
•Entiers premiers entre eux. Généralisation à plus de deux entiers.
•Théorème de Bézout. Généralisation à nentiers premiers entre eux dans leur ensemble. Corollaire : si a
est premier avec b1, . . . , bnalors il est premier avec leur produit.
•Théorème de Gauss. Corollaire : si a1, . . . , andivisent bet s’ils sont 2 à 2 premiers entre eux, alors leur
produit divise b.
•Écriture irréductible d’un rationnel.
•Invariance du pgcd par transvection. Application : algorithme d’Euclide.
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