TD 4 - Université d`Orléans

UNIVERSIT´ E d’ORL´ EANS SCL1 MA02
D´epartement de math´ematiques 2008-9
Arithm´etique : Feuille 4 (Congruences ).
Exercice 1. Calculer le reste de 78modulo 6 puis celui de 315 modulo 11 (On ne
calculera pas explicitement la puissance).
Exercice 2. Montrer que 2x+ 9y≡0 [8] implique 10x−3y≡0 [8].
Exercice 3. Trouver tous les entiers ytels que 2y≡5 [7].
Exercice 4. Trouver tous les entiers ytels que 3y≡12 [33].
Exercice 5. Trouver tous les entiers xtels que
(x≡3 [11]
x≡5 [7].
Exercice 6. a) Montrer que 223 est un nombre premier.
b) Calculer 19981998 modulo 223.
Exercice 7. Trouver tous les entiers xtels que
(x≡ −1 [8]
x≡7 [13].
Exercice 8. a) Factoriser 455 en produit de nombres premiers.
b) Soient aet ndes entiers naturels. Montrer que l’on a an≡1 [455] si et seulement
si an≡1 [5], an≡1 [7] et an≡1 [13].
c) Soit aun entier tel que pgcd(a, 455) = 1. Montrer que l’on a a12 ≡1 [455].
Exercice 9. Soient pun nombre premier et aun entier positif non multiple de p.
a) Montrer qu’il existe un plus petit entier positif ktel que ak≡1 [p].
Soit n∈N. Notons rle reste de la division euclidienne de npar k.
b) Montrer que l’on a an≡1 [p] si et seulement si nest multiple de k.
c) Soit p= 5 et a= 4. V´erifiez que ap−1≡1 [5]. Chercher le plus petit entier ktel
que ak≡1 [5].
Exercice 10. a) Soit a∈Z. Montrer que a2est congru `a 0, 1 ou 4 modulo 8.
b) Soit nun entier positif. Montrer que a2+b2+c26= 8n−1, pour tous a, b, c ∈Z.
(On interpr´etera cette derni`ere ´equation dans le language de la congruence).
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Exercice 11. a) Factoriser 1729 en produit de nombres premiers.
b) Soient aet ndes entiers positifs. Montrer que l’on a an≡1 [1729] si et seulement
si an≡1 [7], an≡1 [13] et an≡1 [19].
c) Soit aun entier positif tel que pgcd(a, 1729) = 1. D´emontrer que l’on a a1728 ≡
1 [1729].
Exercice 12. Trouver tous les entiers xtels que
(7x≡5 [19]
3x≡1 [11].
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