Deuxième leçon

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Première leçon
Introduction empirique des ordres de grandeur
Une calculatrice gère une plage de nombres entiers limitée à 1099. Les nombres entiers sont
donc de deux types :
les nombres entiers acceptables , ceux qui sont inférieurs à 1099 et
les nombres entiers trop grands, ceux qui sont supérieurs ou égaux à 1099.
Exercices
A. Justifier les affirmations suivantes :
1. 0, 7, 1010, 5+1019 , 1021 +1077 sont acceptables.
2. 10100, 5 10123, 22+10121, 1023+10314 , 10321+ 10125 sont trop grands.
3. Si x est acceptable et 0  y  x , alors y est aussi acceptable.
4. Si y est trop grand et si x  y , alors x est trop grand.
B. Discuter les affirmations suivantes en donnant à chaque fois un exemple ou un
contre-exemple :
1. Si x et y sont trop grands alors x+y l'est aussi.
2. Si x et y sont trop grands alors xy l'est aussi.
3. Si x et y sont acceptables alors x+y l'est aussi.
4. Si x et y sont acceptables alors xy l'est aussi.
5. Si x est acceptable et y trop grand alors x+y est trop grand.
6. Si x est acceptable et y trop grand alors xy est trop grand.
7. Si x et y sont trop grands alors x-y l'est aussi.
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Deuxième leçon
Introduction formelle des ordres de grandeur
Remplaçons la calculatrice par le cerveau humain. Celui-ci peut concevoir des
nombres entiers plus grands que n’importe quel nombre explicitement donné mais pas
concevoir tous les nombres simultanément. La plage des nombres acceptables n’a pas de
frontière précise bien que la capacité du cerveau humain en matière de nombres soit limitée.
Ceci motive l’introduction dans le langage mathématique du concept de nombre entier très
grand (tg) assorti des règles suivantes :
(A1) L’entier 1 n’est pas très grand.
(A2) Tout entier naturel supérieur à un entier très grand est très grand.
(A3) Si x+y, x  y ou x y est très grand alors x ou y est très grand.
Exercices
1°) Est ce que 100 est tg ?
2°) Est ce que 123456789 est tg ?
3°) Est ce que 1017 est tg ?
4°) Si w est tg, que peut on dire de w-1, w-10, w-10000, w- 1017 ?
5°) Si w est paire et tg, w=2p, que peut-on dire de p ?
6°) Y-a-t-il un plus petit entier tg ?
7°) Y-a-t-il un plus grand entier tg ?
8°) Y-a-t-il un plus grand entier qui n’est pas très grand tg ?
9°) Trouver les erreurs dans les raisonnements suivants :
a) On dit que qu’un entier n est modéré si n n’est pas tg. L’entier 1 est modéré, si n est modéré
n+1 est modéré. D’après la récurrence n  N n est modéré. Où sont passés les tg ?
b) “ Tout entier est modéré ”. Supposons qu’il existe un entier tg. Soit A={entiers modérés},
A est majoré par un entier tg. Par conséquent, il admet un plus grand élément w or w+1 est
encore modéré d’où la contradiction.
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Troisième leçon
Les ordres de grandeur des nombres réels
Définition.
Un nombre réel est dit très grand positif si et seulement si il est supérieur à au moins un
entier très grand. Son opposé est alors dit très grand négatif.
Un nombre réel est dit modéré si et seulement si sa valeur absolue n’est pas très grande.
Un nombre réel est dit très petit (tp) si et seulement si , ou bien il est nul , ou bien son inverse
est très grand en valeur absolue.
Deux nombres réels sont dit très proches si et seulement si leur différence est très petite. On
écrit x  y .
Théorème de Leibniz.
1°) modéré+modéré=modéré
2°) modéré.modéré=modéré
3°) tp+tp=tp
4°) tp.modéré=tp
Exercices
1°) La nature d’un nombre (tg, tp, modéré) est appelée ordre de grandeur de ce nombre.
Quel est l’ordre de grandeur des nombres suivants : 0, 1, 2, 1000, 0.00001, 10 543 ?
2°) Y-a-t-il un plus grand réel modéré ?
3°) Y-a-t-il un plus grand réel très petit ?
4°) Quelle est la 1000000ième décimale d’un nombre très petit.
5°) Montrer que
a) si 0<x<y et y modéré alors x est modéré.
b) x  y et y  z implique x  z .
c) Deux entiers différents ne peuvent pas être très proches.
6°) Soit w un réel très grand, préciser l’ordre de grandeur des nombres a, b et a  b
1
1
1
a) a=w, b=
b) a=w², b=
c) a=w², b= 2
2w
w
3w
7°) Démontrer les règles d’approximation suivantes :
Soient a, a’, b et b’ des nombres réels
a) si a  a' alors  a  a' .
b) si a  a' et b  b' alors a  b  a 'b' .
c) si a  a' , b  b' et a, b modérés alors a  b  a 'b' .
1 1
 .
d) si a  a' et a non tp alors
a a'
a a'
 .
e) si a  a' , b  b' et a modéré b non tp alors
b b'
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1
 1.
1 h
9°) Donner l’ordre de grandeur des expressions numériques suivantes :
Soit a un nombre réel tp.
1 a 1
a
2a  1 3a  2 10a 2  1 a  1
a2
a2
,
,
,
,
,
,
,
, 2
.
a
a  4 a  1 a 2  1 a  3 a 2  5 5a  2
a2
a 1
Soit w un nombre réel tg.
1
w
w1
2 w  1 3w  2 10w2  1 w  1
w2
w2
,
,
,
,
,
,
,
, 2
.
w  4 w  1 w2  1 w  3 w2  5
w
w2
w 1
5w  2
8°) Montrer que si h  0 alors
Soient a un nombre réel tp non nul et w un nombre réel tg.
w a 1
a
2a  1 3w  2 10w 2  1 a  1
w2
a2
,
,
,
,
,
,
,
, 2
.
w
w  4 a  1 w2  1 w  3 a 2  5
a2
w 1
5a  2
9°) Montrer que
a) Si h  0 alors 1  h  1 .
1
b) Si h  0 alors 1  h  1  h  h avec   0 .
2
1
c) Si h  0 alors 5 1  h  1  h  h avec   0 .
5
10°) Soit h tp, évaluer
h
1

h

1

1 h 1
1 h
h( 1  h  h 2  1) 3 h  h 2  1  3 h  1
2
,
,
,
,
.
h
h
2  3h
1 h  1 h
1  h2  1  h2
11°) Déterminer trois nombres explicites tels que pour tout h  0 ,
1  h  1  ah  bh 2  ch 3  h 3 avec   0 .
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Quatrième leçon
Les ordres de grandeur des fonctions transcendantes
Propriétés admises
1°) Pour tout réel positif x, on a Ln( x)  x .
2°) Pour tout réel positif x, on a 1 x  e x et si x 0,1, e x 
1
.
1 x
sin( x )
 
et cos( x ) = 1- sin(x) 2 .
3°) Pour tout x  0,  on a sin( x )  x 
2
cos(
x
)


Théorème
1°) Pour tout réel positif très grand x, on a
Ln( x )
 0.
x
ex
2°) Pour tout réel positif très grand x et tout entier modéré n, n est très grand positif.
x
h
e 1
3°) Pour tout réel très petit non nul h, on a e h  1 et
 1.
h
Ln(1  h)
 1.
4°) Pour tout réel très petit h, on a Ln(1  h)  0 et
h
5°) Pour tout réel très petit h, on a sin(h)  0 et cos(h)  1. Plus précisément, si h est non nul,
sin(h)
cos(h) -1
1
 1 et
- .
on a
2
h
2
h
Exercices
1°) Evaluer pour h tp les ordres de grandeur des expressions numériques suivantes :

1
cos(

h
)

sin( 3  h)  sin( 3)
1  cos(h) e 2 h  e  h sin( 2h) 2 h  3h
3
2
,
,
,
,
,
.
h
sin(h)
tan( 6h) h cos(h)
h
h
2°) Evaluer pour x tg les ordres de grandeur des expressions numériques suivantes :
x
sin( x) 
1
 1
 x  1
x sin   2
.
,  1   , Ln
 x
 x  1

x
x
2 cos( x )  1

3°) Evaluer
pour x  .
3
2 sin( x )  3

Ln (sin( x ))
4°) Evaluer tg ( x )
pour x  .
2
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Cinquième leçon
nombres et fonctions explicites
I. Les nombres explicites
Les nombres explicites sont caractérisés par les propriétés suivantes :
1. Tout nombre réel explicite est modéré.
2. Tout nombre réel qui est défini de manière unique à partir d’un nombre explicite de réels
explicites est explicite.
3. Pour tout réel modéré x il existe un réel explicite  très proche de x. Le nombre explicite 
est appelé ombre de x et noté °x.
1
4. Si x et y sont deux réels explicites alors x  y , x  y , x ,  x , , x y , E ( x ) sont explicites.
x
5. La somme et le produit d’un nombre explicite de réels explicites sont explicites.
6. Tout entier relatif modéré est explicite.
7. Deux réels explicites très proches sont égaux.
8. Soient x et y deux réels modérés. Alors °(x+y)= °x+°y, °(-x)= -°x, °(x.y)= °x.°y,
1
 1
  x y   x  y ( x non tp),  x   x ,    
( x non tp) .
 x  x
II. Les fonctions explicites
1. Un intervalle est dit explicite si les extrémités non infinies éventuelles sont des réels
explicites.
2. Toute fonction définie de manière unique sur un intervalle explicite par une propriété
interne à la théorie ensembliste à partir d’un nombre explicite de nombres et de fonctions
explicites est explicite.
3. La valeur d’une fonction explicite en un point explicite est explicite.
Exercices
1. Démontrer les propriétés 4-8 à partir des propriétés 1,2 et 3.
2. Quelle est l’ombre du réel dont la partie entière est 0 et toutes ses décimales égales à
9 jusqu'à un rang n très grand ?
3. Quelle est l’ombre du réel dont la partie entière est 22 et toutes ses décimales égales à
1 jusqu'à un rang n très grand ?
4. Calculer les ombres des expressions numériques des leçons précédentes.
5. Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas explicites : f ( x )  ax avec a  0,
 x
f ( x )  sin  avec w tg.
 w
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Sixième leçon
Limite et continuité
I. La notion de limite
Définition.
Soit f une fonction explicite. Lim f ( x )  0  x  0 et x  0 alors f ( x )  0.
x 0
Remarques.
1. Définition analogue à gauche.
2. On dit que f admet une limite en 0 si la limite à droite et gauche sont égales.
3. Une fonction n’admet pas de limite en 0 s’il existe deux réels tp h et k tels que f(h) ne soit
pas très proche de f(k).
II. La continuité
Définition.
Soit f une fonction explicite.
On dit que f est continue en un point explicite a si pour tout x très proche de a, f(x) est très
proche de f(a).
La fonction f est dite continue sur un intervalle explicite I, si elle continue en tout point
explicite de I.
Exercices
1. En déduire à partir de la limite en 0 les définitions pour les autres cas (limite en +,....)
2. Démontrer les propriétés algébriques des limites (somme, produit, composition,...)
3. Reprendre les exercices d’évaluation d’expressions numériques des leçons précédentes en
termes de langage des limites.
4. Calculer la limite en 0 de sin(1/x) .
5. Etudier la continuité de
2 cos( x )  1
 sin( x )  cos( x )  1
x

en
,
en x=0.
3x  
3 sin( x )  cos( x )  1
x3  1
6. Montrer que si une fonction est continue sur un intervalle explicite fermé, alors pour deux
points quelconques de cet intervalle qui sont très proches les valeurs de la fonction sont
très proches.
x  1 2 x2  1
en x=1,
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