Deuxième leçon

IREM de Strasbourg GROG Mulhouse
http://www.nt.ac-strasbourg.fr/microsites/maths_01/index.htm
Première leçon
Introduction empirique des ordres de grandeur
Une calculatrice gère une plage de nombres entiers limitée à 1099. Les nombres entiers sont
donc de deux types :
les nombres entiers acceptables , ceux qui sont inférieurs à 1099 et
les nombres entiers trop grands, ceux qui sont supérieurs ou égaux à 1099.
Exercices
A. Justifier les affirmations suivantes :
1. 0, 7, 1010, 5+1019 , 1021 +1077 sont acceptables.
2. 10100, 5 10123, 22+10121, 1023+10314 , 10321+ 10125 sont trop grands.
3. Si x est acceptable et
xy 0
, alors y est aussi acceptable.
4. Si y est trop grand et si
yx 
, alors x est trop grand.
B. Discuter les affirmations suivantes en donnant à chaque fois un exemple ou un
contre-exemple :
1. Si x et y sont trop grands alors x+y l'est aussi.
2. Si x et y sont trop grands alors xy l'est aussi.
3. Si x et y sont acceptables alors x+y l'est aussi.
4. Si x et y sont acceptables alors xy l'est aussi.
5. Si x est acceptable et y trop grand alors x+y est trop grand.
6. Si x est acceptable et y trop grand alors xy est trop grand.
7. Si x et y sont trop grands alors x-y l'est aussi.

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Deuxième leçon
Introduction formelle des ordres de grandeur
Remplaçons la calculatrice par le cerveau humain. Celui-ci peut concevoir des
nombres entiers plus grands que n’importe quel nombre explicitement donné mais pas
concevoir tous les nombres simultanément. La plage des nombres acceptables n’a pas de
frontière précise bien que la capacité du cerveau humain en matière de nombres soit limitée.
Ceci motive l’introduction dans le langage mathématique du concept de nombre entier très
grand (tg) assorti des règles suivantes :
(A1) L’entier 1 n’est pas très grand.
(A2) Tout entier naturel supérieur à un entier très grand est très grand.
(A3) Si x+y,
x y
ou
xy
est très grand alors x ou y est très grand.
Exercices
1°) Est ce que 100 est tg ?
2°) Est ce que 123456789 est tg ?
3°) Est ce que
1017
est tg ?
4°) Si w est tg, que peut on dire de w-1, w-10, w-10000, w-
1017
?
5°) Si w est paire et tg, w=2p, que peut-on dire de p ?
6°) Y-a-t-il un plus petit entier tg ?
7°) Y-a-t-il un plus grand entier tg ?
8°) Y-a-t-il un plus grand entier qui n’est pas très grand tg ?
9°) Trouver les erreurs dans les raisonnements suivants :
a) On dit que qu’un entier n est modéré si n n’est pas tg. L’entier 1 est modéré, si n est modéré
n+1 est modéré. D’après la récurrence
 n N
n est modéré. Où sont passés les tg ?
b) “ Tout entier est modéré ”. Supposons qu’il existe un entier tg. Soit A={entiers modérés},
A est majoré par un entier tg. Par conséquent, il admet un plus grand élément w or w+1 est
encore modéré d’où la contradiction.

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Troisième leçon
Les ordres de grandeur des nombres réels
Définition.
Un nombre réel est dit très grand positif si et seulement si il est supérieur à au moins un
entier très grand. Son opposé est alors dit très grand négatif.
Un nombre réel est dit modéré si et seulement si sa valeur absolue n’est pas très grande.
Un nombre réel est dit très petit (tp) si et seulement si , ou bien il est nul , ou bien son inverse
est très grand en valeur absolue.
Deux nombres réels sont dit très proches si et seulement si leur différence est très petite. On
écrit
x y
.
Théorème de Leibniz.
1°) modéré+modéré=modéré
2°) modéré.modéré=modéré
3°) tp+tp=tp
4°) tp.modéré=tp
Exercices
1°) La nature d’un nombre (tg, tp, modéré) est appelée ordre de grandeur de ce nombre.
Quel est l’ordre de grandeur des nombres suivants : 0, 1, 2, 1000, 0.00001,
10 543
?
2°) Y-a-t-il un plus grand réel modéré ?
3°) Y-a-t-il un plus grand réel très petit ?
4°) Quelle est la
1000000ième
décimale d’un nombre très petit.
5°) Montrer que
a) si 0<x<y et y modéré alors x est modéré.
b)
x y
et
y z
implique
x z
.
c) Deux entiers différents ne peuvent pas être très proches.
6°) Soit w un réel très grand, préciser l’ordre de grandeur des nombres a, b et
a b
a) a=w, b=
1
2w
b) a=w², b=
1
w
c) a=w², b=
1
32 w
7°) Démontrer les règles d’approximation suivantes :
Soient a, a’, b et b’ des nombres réels
a) si
a a'
alors
  a a'
.
b) si
a a'
et
b b'
alors
a b a b  ' '
.
c) si
a a'
,
b b'
et a, b modérés alors
a b a b  ' '
.
d) si
a a'
et a non tp alors
1 1
a a
'
.
e) si
a a'
,
b b'
et a modéré b non tp alors
a
ba b
'
'
.

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8°) Montrer que si
h0
alors
1
11 h
.
9°) Donner l’ordre de grandeur des expressions numériques suivantes :
Soit a un nombre réel tp.
12
a
,
aa 1
,
a
a4
,
a
a
2
1
,
a
a
2
21
,
2 1
3
a
a
,
3 2
5
2
a
a
,
10 1
5 2
2
a
a
,
a
a
1
1
2
.
Soit w un nombre réel tg.
12
w
,
ww 1
,
w
w4
,
w
w
2
1
,
w
w
2
21
,
2 1
3
w
w
,
3 2
5
2
w
w
,
10 1
5 2
2
w
w
,
w
w
1
1
2
.
Soient a un nombre réel tp non nul et w un nombre réel tg.
w
a2
,
aw 1
,
a
w4
,
w
a
2
1
,
a
w
2
21
,
2 1
3
a
w
,
3 2
5
2
w
a
,
10 1
5 2
2
w
a
,
a
w
11
2
.
9°) Montrer que
a) Si
h0
alors
1 1 h
.
b) Si
h0
alors
1 1 1
2
   h h h
avec
0
.
c) Si
h0
alors
1 1 1
5
5   h h h
avec
0
.
10°) Soit h tp, évaluer
1 1 h
h
,
1 1 2   hh
h
,
1
2 3
h
h
,
h h h
h h
( )1 1
1 1
2
2 2
,
h h h
h h
2
33
1 1
1 1
.
11°) Déterminer trois nombres explicites tels que pour tout
h0
,
1 1 2 3 3      hah bh ch h
avec
0
.

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Quatrième leçon
Les ordres de grandeur des fonctions transcendantes
Propriétés admises
1°) Pour tout réel positif x, on a
Ln x x( ) 
.
2°) Pour tout réel positif x, on a
1 x ex
et si
x e x
x
01 1
1
, ,
.
3°) Pour tout
x x x x
xx
 02
, sin( ) sin( )
cos( ) cos( )
on a et = 1-sin(x)2
.
Théorème
1°) Pour tout réel positif très grand x, on a
0
)( 
xxLn
.
2°) Pour tout réel positif très grand x et tout entier modéré n,
e
x
x
n
est très grand positif.
3°) Pour tout réel très petit non nul h, on a
eeh
hh
111 et
.
4°) Pour tout réel très petit h, on a
Ln hLn h
h
( ) ( ) 1 0 11   et
.
5°) Pour tout réel très petit h, on a
sin( )h 0 et cos(h) 1
. Plus précisément, si h est non nul,
on a
sin( )h
h 1 et cos(h) -1
h-1
2
2
.
Exercices
1°) Evaluer pour h tp les ordres de grandeur des expressions numériques suivantes :
sin( ) sin( )3 3 hh
,
cos( )
31 2
 h
h
,
1cos( )
sin( )h h
,
e e
h
h h2 
,
sin( )
tan( )
2
6h h
,
2 3
h h
h h cos( )
.
2°) Evaluer pour x tg les ordres de grandeur des expressions numériques suivantes :
xxx
x
sin sin( )1 2
,
11
x
x
,
Ln x
x
1
1
.
3°) Evaluer
2 1
2 3
cos( )
sin( )
x
x
pour
x
3
.
4°) Evaluer
tg xLn x ( ) (sin( ))
pour
x
2
.