1 – Définition et mode de génération d`une suite numérique

1 – Définition et mode de génération d’une suite numérique
Définition 1.1 : On appelle suite numérique, une fonction définie seulement sur
»
(ensemble des ................
.....................................) ou une partie de
»
.
Exemple : Si on appelle u la fonction définie sur
»
par :
2
( )
u n n
=
, alors on a :
(
)
0
u = ...... ;
(
)
1
u
= ...... etc
mais
(
)
5
u
−
,
1
2
u
,
(
)
3
u ................................................................................................................................
On dit que la fonction u est une suite numérique .
Notations : Pour les suites, on utilise plutôt une notation dite « indicielle ».
C’est à dire qu’au lieu de noter
(
)
0
u , on note
0
u
, au lieu de noter
(
)
1
u
, on note
1
u
, ...
Plus généralement, on notera :
2
n
u n
=
. On dit que
2
n
est le terme général de cette suite.
On note
(
)
nn
u
∈
»
ou, s’il n’y a pas d’ambiguïté
(
)
n
u
, voire simplement u la suite elle-même.
0
u
est le premier terme de la suite,
1
u
est le deuxième terme, … ,
n
u
est le ...............
e
terme.
Activité : Mode de génération d’une suite numérique
Définition d’une suite sur le mode explicite
Une suite
(
)
n
u
est définie sur le mode explicite lorsqu’on connaît l’expression de
n
u
en fonction de n .
Par exemple, soit
(
)
n
u
la suite définie pour tout entier naturel n , par :
2
2 5 8
n
u n n
= − −
1 – Calculer
0
u
,
1
u
,
3
u
et
5
u
.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
2 – Calculer le dixième terme de cette suite.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
Définition d’une suite sur le mode récurrent
Une suite
(
)
n
u
est définie sur le mode récurrent lorsqu’on connaît le 1
er
terme de la suite ainsi que
l’expression de
+1
n
u
en fonction de
n
u
.
Exemple 1 : Soit u la suite définie de la façon suivante :
0
1
1
: 2 2
n n
u
n u u
+
=
∀ ∈ = −
»
1 – Calculer
1
u
,
2
u
,
3
u
et
4
u
.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
2 – Peut-on calculer rapidement la valeur de
100
u
?
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________

Exemple 2 : Soit
(
)
n
u
la suite définie de la façon suivante :
0
1
1
5
:
n
n
u
n u
u
+
=
∀ ∈ =
»
Calculer
1
u
,
2
u
et
3
u
.
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
Peut-on conjecturer la valeur de
n
u
suivant les valeurs de n ?
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
Exemple 3 : On considère la liste de nombres réels suivante :
Rang n
0 1 2 3 4 5 6 7 …
Terme
n
u
2 3 5 9 17 33 …
1 – Chercher un procédé qui permet de passer d’un terme de la suite au terme suivant et compléter les
rangs manquants
2 – a) Définir alors sur le mode récurent une suite
(
)
n
u
associée à cette liste de nombres.
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b) Même question sur le mode explicite (Indication : Écrire les premières valeurs de
1
n
u
−
)
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
Définition 1.2 : Mode de définition d’une suite numérique
Il existe deux façons de définir une suite numérique.
On dit que la suite
(
)
n
u
est définie sur le mode explicite lorsqu’il existe une fonction f telle que pour tout
entier naturel n, on ait :
(
)
n
u f n
=
On dit que la suite
(
)
n
u
est définie sur le mode récurrent lorsque :
• on connaît le 1
er
terme de
(
)
n
u
;
• il existe une fonction f telle que pour entier naturel n, on ait :
(
)
1
n n
u f u
+=
Exemples : • Soit la suite
(
)
n
u
définie pour tout entier n par :
2
1
n
n
u
n
+
=
+
.
Cette suite est définie sur le mode .........................................
En effet, il existe une fonction f définie par
(
)
f x
=
.......................... telle que : ...............................
• Soit la suite
(
)
n
u
définie par
0
3
u
= −
et pour tout entier naturel n,
1
1 2
n n
u u
+
= − .
Cette suite est définie sur le mode .........................................
En effet, il existe une fonction f définie par
(
)
f x
=
.......................... telle que : ...............................