Probabilités avancées 1

Probabilités avancées 1
Mohamed BOUTAHAR 1
4 octobre 2005
1Département de mathématiques case 901, Faculté des Sciences de Luminy. 163 Av.
de Luminy 13288 MARSEILLE Cedex 9, et GREQAM, 2 rue de la vieille charité 13002.
e-mail : b[email protected]

Table des matières
1 Variables aléatoires 4
1Définitions................................. 4
1.1 Espace de probabilité . . . .................... 4
1.2 Variablealéatoire......................... 5
2 Indépendance . .............................. 5
2.1 probabilité conditionnelle . .................... 5
2.2 Indépendance ........................... 5
2 Distributions de probabilité discrètes 6
1 Distributionsusuelles........................... 6
1.1 LoideBernoulli.......................... 6
1.2 LoiBinomiale........................... 6
1.3 LoidePoisson........................... 6
2 Espérancemathématique......................... 7
3 Moments.................................. 8
4 Inégalitésclassiques............................ 8
4.1 InégalitédeMarkov........................ 8
4.2 InégalitédeBienaymé-Tchebychev ............... 8
4.3 InégalitédeJensen ........................ 9
5 Indépendance . .............................. 9
5.1 Distributionsmarginales ..................... 9
6 Fonctiongénératrice ........................... 10
3 Distributions de probabilité continues 12
1 Densitédeprobabilité,moments..................... 12
2 Fonctioncaractéristique ......................... 13
3 Indépendance . .............................. 14
3.1 Distributionsmarginales ..................... 14
3.2 Vecteursindépendants ...................... 14
4 Fonctionderépartition.......................... 15
4.1 Casscalaire ............................ 15
4.2 Casvectoriel ........................... 15
1

TABLE DES MATIÈRES 2
5 Distributionsusuelles........................... 15
5.1 Loiuniforme............................ 15
5.2 LoideGauss ........................... 16
5.3 Loiexponentielle ......................... 16
5.4 Loigamma ............................ 16
5.5 LoideCauchy........................... 16
5.6 LoideKhi-deux.......................... 17
6 Transformationdesvecteursaléatoires ................. 17
6.1 Casdiscret ............................ 17
6.2 Cascontinu............................ 17
4 Espérance conditionnelle 19
1 Densitédeprobabilitéconditionnelle .................. 19
2 Espéranceconditionnelle......................... 19
3 Propriétésélémentairesdel’espéranceconditionnelle.......... 19
3.1 Conditionnementdesvecteursgaussiens ............ 21
5 Convergences stochastiques 23
1 Convergenceenloi ............................ 23
1.1 Critèredeconvergenceenloi................... 23
2 Convergence en probabilité ........................ 25
2.1 Critèredeconvergenceenprobabilité.............. 25
3 Convergence en moyenne d’ordre r................... 26
4 Convergencepresquesûre ........................ 26
4.1 Critèredeconvergencepresquesûre............... 26
5 Liensentreslesquatreconvergences................... 28
6 Processus de Poisson 30
1 ProcessusdePoissonhomogène ..................... 30
2Lesystèmeinfinitésimal d’un processus de Poisson homogène ..... 31
3 Les équations de Kolmogorov du processus de Poisson. . . . ..... 33
4 Loidesintervallesentrelesclients.................... 33
5 Répartitiondespointsd’unprocessusdePoisson............ 34
7 Introduction aux chaînes de Markov 36
1 Distributiontransiente .......................... 37
2 Tempsd’occupation............................ 39
3 Distributionlimite ............................ 39
4 Distributionstationnaire......................... 40
5 Tempsdupremierpassage........................ 42

Licence L3-MAT44 : Probabilités avancées 1—M.Boutahar 3
8Exercices 43
1 Chapitre1:Variablesaléatoires..................... 43
2 Chapitre 2 : Distributions de Probabilité Discrètes . .......... 44
3 Chapitre4:Espéranceconditionnelle.................. 47
4 Chapitre5:Convergencesstochastiques ................ 47
5 Chapitre7:IntroductionauxchaînesdeMarkov ........... 50
6 Annales .................................. 52
6.1 Examen Probabilités / Juin 2001.
52
6.2 Examen Probabilités / Septembre 2001.
53
6.3 Examen de Probabilités , Licence , Juin 2003 ......... 53
6.4 LicenceMATHS-Probabilités-Juin2004............. 54
6.5 Licence L3, Probabilités /Mai 2005 ............... 55

Chapitre 1
Variables aléatoires
1Définitions
Soit Ωun espace (ou ensemble) ; soit Aune famille de sous-ensembles de Ω.
Definition 1 On dit que Aest une algèbre sur Ωsi les conditions suivantes sont
satisfaites :
i)∅et Ωsont dans A,
ii) si Aest dans A,alors Aest dans A,
iii) si Aet Bsont dans A,alors ASBest dans A.
Definition 2 On dit que Aest une tribu (ou σ-algèbre)surΩsi les conditions
de la définition précédente sont satisfaites avec iii) remplacée par :
iii’) si (An,n≥1) est dans A,alors S∞
n=1 Anest dans A.
1.1 Espace de probabilité
Un espace mesuré est un triplet (Ω,F,µ),où
-Ωest un espace,
-Fest une tribu,
-µest une mesure sur l’espace mesurable (Ω,F).
Definition 3 On appelle mesure de probabilité sur (Ω,F),toute application
P:Ω→[0,1],qui vérifie:i)P(Ω)=1,
ii) ∀(An,n≥1) ⊂Ftelle que AkTAlsi k6=l, P(S∞
n=1 An)=P∞ n=1 P(An).
(Ω,F,P)est appelée espace de probabilité.
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