topologie t.d. de soutien - Institut de Mathématiques de Toulouse

Licence de math´ematiques fondamentales - TOPOLOGIE
T.D. de soutien des 26 et 27/11/07 : compl´etude, point fixe, (sous-)recouvrements
Corrig´e de la fin de la s´eance 3 (exercice 20.b) : Hkest toujours born´e car tous
ses points sont `a distance ≤k+√2 de l’origine O. Il n’est jamais ouvert car pas voisinage
de (1,1)(1 + k/√2) ∈Hk,1(son point le plus ´eloign´e de O). Oest limite des centres donc
appartient `a l’adh´erence de Hk, pourtant lorsque k < √2, On’appartient `a aucun Hk,n
donc O /∈Hk. Donc si k < √2, Hkn’est pas ferm´e. Par contre si k≥√2 alors la suite
des disques est d´ecroissante donc Hk=Hk,1donc Hkest ferm´e.
Trois remarques :
-Hkest une r´eunion d´enombrable de born´es (les Hk,n) mais cela ne suffit pas pour
prouver que Hkest born´e ! (contre-exemple dans R : N).
- Dans le cas k < √2, `a partir d’un certain rang (qu’on peut calculer) Hk,n et Hk,n+1
s’intersectent, donc Hkn’a qu’un nombre fini de composantes connexes.
- Toujours dans le cas k < √2, Oest le seul point de Hkqui n’appartient pas `a Hk,
car si une suite Mn∈Hkconverge vers un M6=O, il existe Ntel qu’`a partir d’un
certain rang, Mnprenne ses valeurs dans K:= ∪n<N Hk,n (exo : pourquoi ?), d’o`u
M∈K, d’o`u M∈Hk.
Exercice 1. Soient (E, d) un espace m´etrique, Xun ensemble, et I:X→Eune
injection. On pose δ(x, y) = d(I(x), I(y)).
a) V´erifier que δest une distance et que (X, δ) est isom´etrique `a (I(X), d).
b) Montrer que (X, δ) est complet ssi (I(X), d) l’est.
c) Application : pour x, y > 0 on pose δ(x, y) = |1/x −1/y|. Montrer que δest
une distance sur ]0,+∞[. Quelle est la topologie associ´ee ? Pour δ, ]0,+∞[ est-il
complet ? et ]0,1] ? En d´eduire que la compl´etude n’est pas une notion topologique.
Exercice 2. Soit Eun espace m´etrique. Montrer que toute intersection de parties
compl`etes de Eest coml`ete. Montrer que toute union finie de parties compl`etes de Eest
compl`ete. Quid d’une union infinie ?
Exercice 3. Soient X, Y deux espaces m´etriques tels qu’il existe une bijection f:X→Y
uniform´ement continue et d’inverse continue. Montrer que si Yest complet, Xl’est aussi.
Exercice 4. Soient Ecomplet et A, B :E→Edeux contractions qui commutent.
Montrer que A, B admettent un (unique) point fixe commun. (Peut-on affaiblir les hy-
poth`eses ?)
Exercice 5. Soient Eun espace de Banach (i.e. un espace vectoriel norm´e, complet pour
la distance associ´ee `a la norme) et f:E→E K-lischitzienne. Montrer que si |λ|> K,
l’´equation f(x) + λx =aadmet, pour tout a∈E, une unique solution x.
Exercice 6. Construire une application T:C[0,1] → C([0,1]) telle que les solutions
f: [0,1] →R de f(0) = 1 et f0(x) = f(x−x2) soient exactement les points fixes de T,
puis montrer que T◦Test une contraction (pour la norme usuelle sur C([0,1])). Qu’en
d´eduit-on ?
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Exercice 7. D´emontrer qu’un ensemble Xmuni de la topologie discr`ete P(X) est com-
pact ssi Xest fini.
Exercice 8. Soient A, B deux sous-ensembles d’un espace topologique s´epar´e X.
a) (Re-) d´emontrer que Aest compact (pour la topologie induite) ssi pour toute famille
(Ui)i∈Id’ouverts de Xtelle que A⊂ ∪i∈IUi, il existe un sous-ensemble fini d’indices,
J⊂I, tel que A⊂ ∪i∈JUi.
b) (Re-) d´emontrer que si Aet Bsont compacts alors A∪Baussi.
Exercice 9. Soit Xun espace topologique. D´emontrer que les trois propri´et´es suivantes
sont ´equivalentes, puis montrer que pour X= R ou X= Q (munis de leur topologie
usuelle) ces propri´et´es ne sont pas v´erifi´ees.
Indication pour b)⇔c) : xest une valeurs d’adh´erence de (xn) ssi tout voisinage de x
contient des xnpour une infinit´e de valeurs de n, et ceci ´equivaut (exercice) `a x∈ ∩n∈NXn,
o`u Xn={xk|k≥n})
(Remarque : par d´efinition Xcompact ⇒a), et d’apr`es le cours, si Xest m´etrisable la
r´eciproque est vraie).
a) Tout recouvrement d´enombrable de Xpar des ouverts admet un sous-recouvrement
fini
b) L’intersection de toute suite d´ecroissante de ferm´es non vides de Xest non vide
c) Toute suite (xn) dans Xa une valeur d’adh´erence.
Exercice 10. (Choquet 40 p.110) Soient Eun espace topologique s´epar´e et Bune base
d’ouverts de E. Montrer que Eest compact si et seulement si tout recouvrement de E
par des ´el´ements de Badmet un sous-recouvrement fini.
Exercice 11. (Choquet p.39) (Re-) d´emontrer qu’un produit de deux espaces topo-
logiques compacts est compact. Indications (en utilisant l’exercice pr´ec´edent). Soient
E=X×Yavec X, Y compacts, et (Oi=Ui×Vi)i∈Iune famille d’ouverts ´el´ementaires
recouvrant E.
a) Montrer que pour tout z= (x, y)∈Eil existe (au moins) un i(z)∈Itel que x∈Ui(z)
et y∈Vi(z).
b) Montrer que pour x∈Xfix´e, il existe B(x) fini inclus dans Ytel que les Vi(x,b)quand
bvarie dans B(x) recouvrent Y.
c) On pose Wx=∩b∈B(x)Ui(x,b). Montrer qu’il existe Afini inclus dans Xtel que
X=∪a∈AWa.
d) Soit Cl’ensemble des couples c= (a, b) tels que a∈Aet b∈B(a). Montrer que C
est fini et que E⊂ ∪c∈COi(c). Conclure.
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