Géométrie différentielle : exercices

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Géométrie différentielle : exercices
Séance 1] –  février 
Exercice . Soient E1 et E2 des espaces topologiques séparés et à base dénombrable. Soit A une partie de E1 .
. Montrer que la topologie induite sur A est séparée et à base dénombrable.
. Montrer que la topologie produit, sur E1 × E2 , est séparée et à base dénombrable.
Exercice . Montrer que le cône à  nappes
n
o
C = (x, y, z) ∈ R3 t.q. z2 = x2 + y 2
muni de la topologie induite par la topologie usuelle de R3 , n’est pas une variété
topologique de dimension 2.
Exercice . Soit f : X → Y une bijection continue. Montrer que si X est compact
et Y est séparé, alors f est un homéomorphisme.
Indication Un espace topologique est dit compact s’il est séparé et si de tout recouvrement par des ouverts on peut tirer un sous-recouvrement fini  . Les résultats suivants sont supposés connus :
. L’image d’un compact par une fonction continue à valeur dans un espace
séparé est compacte.
. Dans un espace compact, les parties fermées sont compactes.
. Dans un espace séparé, les parties compactes sont fermées.
. Une fonction est continue si et seulement si l’image réciproque de tout fermé
est un fermé.
Exercice . Comprendre et démontrer que si on a le diagramme commutatif
A?
??
??
??
?
π ??
??
? f¯
C
/B
?






 f


. Si le caractère séparé manque, on parle parfois d’espace quasi-compact. Notons que certains
auteurs appellent compact ce que nous appellerions quasi-compact.
où f¯ est continue et π une application quotient, alors f est continue.
Indication Une surjection π : A → C entre deux espaces topologiques est une
application quotient si, pour tout U ⊂ C,
U est ouvert ⇐⇒ π−1 (U ) est ouvert.
Exercice . Comprendre les homéomorphismes suivants :
. Dn /Sn−1 ' Sn , où Sn−1 est le bord de la boule fermée Dn ⊂ Rn .
. RP (n) ' (Sn /∼), où x ∼ −x.
Exercice . Montrer que l’ensemble

n
o


(t, sin ( 1/t)) t.q. t ∈ ]0, 1]
E
=
1


E = E1 ∪ E2
où 
n
o


E2 = (0, s) t.q. s ∈ [−1, 1]
est connexe mais pas connexe par arc.
Exercice . Comprendre l’homéomorphisme RP (3) ' SO(3, R)

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