Géométrie différentielle : exercices

Géométrie différentielle : exercices
Séance 1]– février 
Exercice .Soient E1et E2des espaces topologiques séparés et à base dénom-
brable. Soit Aune partie de E1.
. Montrer que la topologie induite sur Aest séparée et à base dénombrable.
. Montrer que la topologie produit, sur E1×E2, est séparée et à base dénom-
brable.
Exercice .Montrer que le cône à nappes
C=n(x,y,z)∈R3t.q. z2=x2+y2o
muni de la topologie induite par la topologie usuelle de R3, n’est pas une variété
topologique de dimension 2.
Exercice .Soit f:X→Yune bijection continue. Montrer que si Xest compact
et Yest séparé, alors fest un homéomorphisme.
Indication Un espace topologique est dit compact s’il est séparé et si de tout re-
couvrement par des ouverts on peut tirer un sous-recouvrement fini . Les résul-
tats suivants sont supposés connus :
. L’image d’un compact par une fonction continue à valeur dans un espace
séparé est compacte.
. Dans un espace compact, les parties fermées sont compactes.
. Dans un espace séparé, les parties compactes sont fermées.
. Une fonction est continue si et seulement si l’image réciproque de tout fermé
est un fermé.
Exercice .Comprendre et démontrer que si on a le diagramme commutatif
A
C
π
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A B
¯
f//B
C
??
f
. Si le caractère séparé manque, on parle parfois d’espace quasi-compact. Notons que certains
auteurs appellent compact ce que nous appellerions quasi-compact.

où ¯ fest continue et πune application quotient, alors fest continue.
Indication Une surjection π:A→Centre deux espaces topologiques est une
application quotient si, pour tout U⊂C,
Uest ouvert ⇐⇒ π−1(U) est ouvert.
Exercice .Comprendre les homéomorphismes suivants :
.Dn/Sn−1'Sn, où Sn−1est le bord de la boule fermée Dn⊂Rn.
.RP(n)'(Sn/∼), où x∼ −x.
Exercice .Montrer que l’ensemble
E=E1∪E2où 
E1=n(t,sin(1 /t)) t.q. t∈]0,1]o
E2=n(0,s) t.q. s∈[−1,1]o
est connexe mais pas connexe par arc.
Exercice .Comprendre l’homéomorphisme RP(3) 'SO(3,R)