PR3 : Reconnaître et utiliser une loi binomiale
Exemple 1 : On tire successivement et sans remise 5 jetons dans un sac opaque contenant
20 jetons noirs et 30 jetons blancs. On note alors X le nombre de jetons blancs obtenu après
les 5 tirages.
X suit-elle une loi binomiale ?
La réponse est ici non car les tirages ne s’effectuent pas dans des conditions identiques : Le
sac contient au premier tirage 50 jetons, puis 49 au deuxième tirage, …
La probabilité p du succès S « tirer un jeton blanc » n’est pas constante et X ne suis pas une
loi binomiale.
Exemple 2 : On tire successivement 10 cartes dans un jeu de 52 cartes en remettant à
chaque fois la carte tirée. On note X le nombre de cœur(s) obtenu(s) après ces 10 tirages.
X suit-elle une loi binomiale ?
Les tirages sont ici indépendants les uns par rapport aux autres : le tirage se fait avec
remise. On a ici un schéma de Bernoulli, le succès étant S : « obtenir un cœur » de
probabilité p =
X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 10 et p =
PR4 : Calculer des probabilités avec la loi binomiale
Pour calculer les probabilités avec la loi binomiale, on pourra :
Utiliser un arbre pondéré à condition d’avoir n petit (en pratique inférieur à 5)
Utiliser la calculatrice ou un tableur.
La calculatrice ou le tableur est capable de calculer la probabilité d’avoir exactement k
succès ou bien la probabilité d’avoir au plus k succès (c’est à dire k succès ou moins) à
condition de lui fournir les paramètres n et p de la loi binomiale et la valeur de k !
Exemple 1 : On choisit au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit S l’évènement
« obtenir un as ».
On répète 3 fois l’expérience aléatoire E consistant à tirer une carte (tirage avec remise).
C’est un schéma de Bernoulli de paramètre n = 3 et p =
Ici n = 3, valeur raisonnable pour établir un arbre pondéré :
On veut calculer la probabilité d’obtenir exactement 1 as, ce qui va s’écrire p(X=1)
Il y a 3 chemin sur l’arbre qui réalise cet évènement (voir flèche sur l’arbre) et on calcule
alors la probabilité de la manière suivante :
p(X=1) =
×
×
+
×
×
+
×
×
= 3×
0,197 au millième près.
Exemple 2 : On choisit au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit S l’évènement
« obtenir un as ».
On répète 5 fois l’expérience aléatoire E consistant à tirer une carte (tirage avec remise).
C’est un schéma de Bernoulli de paramètre n = 5 et p =
On veut calculer cette fois ci la probabilité d’avoir 1 as exactement puis la probabilité
d’avoir au plus 3 as.
Ici n = 5 et il n’est pas raisonnable de construire un arbre. On utilisera alors les
fonctionnalités de la calculatrice.
La première probabilité cherchée s’écrit p(X=1) et la deuxième p(X3)
Le tableau en page suivante décrit comment utiliser sa calculatrice pour calculer ces 2
probabilités.
Définition : Soit un schéma de Bernoulli constitué de n expériences et soit X le
nombre de succès obtenus. On dit que X est la variable aléatoire associée à ce
schéma.
Si k est un entier compris entre 0 et n, l’évènement « On a obtenu k succès » est
noté {X = k} et la probabilité de cet évènement est noté P(X=k}.
Dans un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, on dit que la variable aléatoire
X égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p.