probabilité

PROBABILITÉ
PR1 : Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondé
Exemples : a) On lance deux fois de suite un dé équilibré.
b) On tire successivement 2 cartes dans un jeu, la première carte étant remise dans le
paquet avant le second tirage (tirage avec remise).
Dans la pratique, on représente un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré.
Exemple 1 : On lance un dé cubique équilibré et on note le chiffre obtenu sur la face
supérieure. Soit S l’évènement « obtenir un 6 ».
On répète 2 fois l’expérience aléatoire E du lancer du dé.
C’est un schéma de Bernoulli de paramètre n = 2 et p = 
 que l’on représente par l’arbre
pondéré suivant :
Exemple 2 : On choisit au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit S l’évènement
« obtenir un as ».
On répète 3 fois l’expérience aléatoire E consistant à tirer une carte (tirage avec remise).
C’est un schéma de Bernoulli de paramètre n = 3 et p = 
 que l’on représente par l’arbre
pondéré suivant :
PR2 : Simuler un schéma de Bernoulli
On peut simuler un schéma de Bernoulli avec un programme écrit dans un langage
informatique ou à l’aide d’un tableur.
Pour simuler une expérience à deux issues dont une appelé « succès » qui a pour
probabilité p, on choisit au hasard un nombre compris entre 0 et 1 (souvent appelé alea
dans les langages informatiques). Si le nombre choisi est inférieur à p, alors on dira que
l’on a obtenu le succès S.
Algorithme simulant un schéma de
Bernoulli de paramètre n = 20 et p = 0,4
Programme Casio 35+ correspondant
X prend la valeur 0
Pour k allant de 1 à 20
Choisir f entre 0 et 1
Si f < 0,4
Alors X prend la valeur X+1
Fin Si
Fin Pour
Afficher X
0X
For 1  K To 20
Ran#  F
If F < 0.4
Then
X+1  X
IfEnd
Next
« X= » :X
Le nombre X affiché à la fin de ce programme est alors égal au nombre de succès réalisés
Niveau : 1SMTG
Probabilités / résumé
Lycée Joubert/Ancenis
2016/2017
Définition : Deux expériences aléatoires sont dites indépendantes si le résultat de
l’une n’influe pas sur le résultat de l’autre.
Définition : Soit une expérience aléatoire E ne comportant que 2 issues : l’une
notée S et appelée « succès », l’autre notée S appelée « échec ». On note p la
probabilité de S et q celle de S avec q = 1 – p. Le fait de répéter n fois
l’expérience E dans des conditions indépendantes, constitue un schéma de
Bernoulli de paramètres n et p.

PR3 : Reconnaître et utiliser une loi binomiale
Exemple 1 : On tire successivement et sans remise 5 jetons dans un sac opaque contenant
20 jetons noirs et 30 jetons blancs. On note alors X le nombre de jetons blancs obtenu après
les 5 tirages.
X suit-elle une loi binomiale ?
La réponse est ici non car les tirages ne s’effectuent pas dans des conditions identiques : Le
sac contient au premier tirage 50 jetons, puis 49 au deuxième tirage, …
La probabilité p du succès S « tirer un jeton blanc » n’est pas constante et X ne suis pas une
loi binomiale.
Exemple 2 : On tire successivement 10 cartes dans un jeu de 52 cartes en remettant à
chaque fois la carte tirée. On note X le nombre de cœur(s) obtenu(s) après ces 10 tirages.
X suit-elle une loi binomiale ?
Les tirages sont ici indépendants les uns par rapport aux autres : le tirage se fait avec
remise. On a ici un schéma de Bernoulli, le succès étant S : « obtenir un cœur » de
probabilité p = 
X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 
PR4 : Calculer des probabilités avec la loi binomiale
Pour calculer les probabilités avec la loi binomiale, on pourra :
 Utiliser un arbre pondéré à condition d’avoir n petit (en pratique inférieur à 5)
 Utiliser la calculatrice ou un tableur.
La calculatrice ou le tableur est capable de calculer la probabilité d’avoir exactement k
succès ou bien la probabilité d’avoir au plus k succès (c’est à dire k succès ou moins) à
condition de lui fournir les paramètres n et p de la loi binomiale et la valeur de k !
Exemple 1 : On choisit au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit S l’évènement
« obtenir un as ».
On répète 3 fois l’expérience aléatoire E consistant à tirer une carte (tirage avec remise).
C’est un schéma de Bernoulli de paramètre n = 3 et p = 
Ici n = 3, valeur raisonnable pour établir un arbre pondéré :
On veut calculer la probabilité d’obtenir exactement 1 as, ce qui va s’écrire p(X=1)
Il y a 3 chemin sur l’arbre qui réalise cet évènement (voir flèche sur l’arbre) et on calcule
alors la probabilité de la manière suivante :
p(X=1) = 
 ×   ×   +   ×   ×   +   ×   ×   = 3×   0,197 au millième près.
Exemple 2 : On choisit au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit S l’évènement
« obtenir un as ».
On répète 5 fois l’expérience aléatoire E consistant à tirer une carte (tirage avec remise).
C’est un schéma de Bernoulli de paramètre n = 5 et p = 
On veut calculer cette fois ci la probabilité d’avoir 1 as exactement puis la probabilité
d’avoir au plus 3 as.
Ici n = 5 et il n’est pas raisonnable de construire un arbre. On utilisera alors les
fonctionnalités de la calculatrice.
La première probabilité cherchée s’écrit p(X=1) et la deuxième p(X3)
Le tableau en page suivante décrit comment utiliser sa calculatrice pour calculer ces 2
probabilités.
Définition : Soit un schéma de Bernoulli constitué de n expériences et soit X le
nombre de succès obtenus. On dit que X est la variable aléatoire associée à ce
schéma.
Si k est un entier compris entre 0 et n, l’évènement « On a obtenu k succès » est
noté {X = k} et la probabilité de cet évènement est noté P(X=k}.
Dans un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, on dit que la variable aléatoire
X égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p.

CASIO
TEXAS
Tableur
Syntaxe
Touche OPTN, puis
STAT puis DIST,
puis BINM, enfin
choisir Bpd ou Bcp
Menu distrib
(2ndeVar) puis
choisir binomFdp
ou binomFrép
Fonction LOI.BINOMIALE
p(X=1)
BinomialPD(1,5,1/13)
BinomFdp(5,1/13,1)
=LOI.BINOMIALE(1 ;10 ;1/13 ;0)
p(X3)
BinomialCD(3,5,1/13)
BinomFRép(5,1/13,3)
=LOI.BINOMIALE(3 ;10 ;1/13 ;1)
On trouve ainsi la probabilité d’obtenir exactement un as p(X=1)  0,2792
Et la probabilité d’obtenir au plus 3 as : p(X3)  0,9998
PR5 : Représenter graphiquement la loi binomiale
On représente la loi binomiale à l’aide d’un diagramme en bâtons, en indiquant les
nombres de succès k en abscisses et les probabilités des évènements {X=k} en ordonnées.
Lorsque la valeur de n n’est pas trop importante, on réalise ce diagramme en bâtons à la
main après avoir dressé un tableau de valeurs des probabilités p(X=k) à l’aide des
fonctionnalités de la calculatrice.
Lorsque la valeur de n est importante, on utilisera un tableau pour réaliser ce diagramme en
bâtons.
Exemple 1 : Représenter graphiquement la loi binomiale de paramètre n = 5 et p = 0,4.
On sort d’abord le tableau de valeur avec la calculatrice :
CASIO
TEXAS
Menu TABLE puis on saisit dans Y1 :
BinomialPD (X,5,0,4) suivi de EXE
On sélectionne f(x) puis on saisit dans Y1
binomFdp(5,0,4,X)
On choisit SET (F5) et on rentre comme
première valeur 0, comme valeur de fin 5 et on
choisit Step à 1
On sélectionne deftable (2nde fenêtre) et on
entre la première valeur 0 ainsi que le pas 1.
Exit puis TABLE (F6)
On sélectionne l’instruction table (2nde graphe)
On obtient alors le diagramme en bâtons suivant :
Exemple 2 : Représenter graphiquement la loi binomiale de paramètre n = 20 et p = 0,4.
On utilise cette fois-ci le tableur car n = 20 (valeur trop importante pour le faire à la main).
0.00000
0.05000
0.10000
0.15000
0.20000
0.25000
0.30000
0.35000
0.40000
0 1 2 3 4
p(X=k)

PR6 : Déterminer et interpréter l’espérance mathématique
Exemple : On tire successivement 10 cartes dans un jeu de 52 cartes en remettant à chaque
fois la carte tirée. On note X le nombre de cœur(s) obtenu(s) après ces 10 tirages.
C’est une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,25.
L’espérance mathématique vaut donc ici E(X) = np = 10×0,25 = 2,5
Interprétation : On peut espérer avoir en moyenne 2,5 cœurs au cours de cette expérience
aléatoire.
PR6 : Déterminer et interpréter l’espérance mathématique
Exemple : On tire successivement 10 cartes dans un jeu de 52 cartes en remettant à chaque
fois la carte tirée. On note X le nombre de cœur(s) obtenu(s) après ces 10 tirages.
C’est une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,25.
L’espérance mathématique vaut donc ici E(X) = np = 10×0,25 = 2,5
Interprétation : On peut espérer avoir en moyenne 2,5 cœurs au cours de cette expérience
aléatoire.
Définition : Lorsqu’on simule un très grand nombre de fois un schéma de
Bernoulli de paramètres n et p, la moyenne du nombre de succès se rapproche
d’un réel appelé espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et
p, et que l’on note E(X)
Propriété : L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p
est E(X) = np
Définition : Lorsqu’on simule un très grand nombre de fois un schéma de
Bernoulli de paramètres n et p, la moyenne du nombre de succès se rapproche
d’un réel appelé espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et
p, et que l’on note E(X)
Propriété : L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p
est E(X) = np
Définition : Lorsqu’on simule un très grand nombre de fois un schéma de
Bernoulli de paramètres n et p, la moyenne du nombre de succès se rapproche
d’un réel appelé espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et
p, et que l’on note E(X)
Propriété : L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p
est E(X) = np