Niveau : 1SMTG Probabilités / résumé Lycée Joubert/Ancenis 2016/2017 PROBABILITÉ Exemple 2 : On choisit au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit S l’évènement « obtenir un as ». On répète 3 fois l’expérience aléatoire E consistant à tirer une carte (tirage avec remise). 1 C’est un schéma de Bernoulli de paramètre n = 3 et p = que l’on représente par l’arbre 13 pondéré suivant : PR1 : Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondé Définition : Deux expériences aléatoires sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’influe pas sur le résultat de l’autre. Exemples : a) On lance deux fois de suite un dé équilibré. b) On tire successivement 2 cartes dans un jeu, la première carte étant remise dans le paquet avant le second tirage (tirage avec remise). Définition : Soit une expérience aléatoire E ne comportant que 2 issues : l’une notée S et appelée « succès », l’autre notée S appelée « échec ». On note p la probabilité de S et q celle de S avec q = 1 – p. Le fait de répéter n fois l’expérience E dans des conditions indépendantes, constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. Dans la pratique, on représente un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. Exemple 1 : On lance un dé cubique équilibré et on note le chiffre obtenu sur la face supérieure. Soit S l’évènement « obtenir un 6 ». On répète 2 fois l’expérience aléatoire E du lancer du dé. 1 C’est un schéma de Bernoulli de paramètre n = 2 et p = que l’on représente par l’arbre 6 pondéré suivant : PR2 : Simuler un schéma de Bernoulli On peut simuler un schéma de Bernoulli avec un programme écrit dans un langage informatique ou à l’aide d’un tableur. Pour simuler une expérience à deux issues dont une appelé « succès » qui a pour probabilité p, on choisit au hasard un nombre compris entre 0 et 1 (souvent appelé alea dans les langages informatiques). Si le nombre choisi est inférieur à p, alors on dira que l’on a obtenu le succès S. Algorithme simulant un schéma de Bernoulli de paramètre n = 20 et p = 0,4 X prend la valeur 0 Pour k allant de 1 à 20 Choisir f entre 0 et 1 Si f < 0,4 Alors X prend la valeur X+1 Fin Si Fin Pour Afficher X Programme Casio 35+ correspondant 0X For 1 K To 20 Ran# F If F < 0.4 Then X+1 X IfEnd Next « X= » :X Le nombre X affiché à la fin de ce programme est alors égal au nombre de succès réalisés PR3 : Reconnaître et utiliser une loi binomiale Définition : Soit un schéma de Bernoulli constitué de n expériences et soit X le nombre de succès obtenus. On dit que X est la variable aléatoire associée à ce schéma. Si k est un entier compris entre 0 et n, l’évènement « On a obtenu k succès » est noté {X = k} et la probabilité de cet évènement est noté P(X=k}. Dans un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, on dit que la variable aléatoire X égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p. Exemple 1 : On choisit au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit S l’évènement « obtenir un as ». On répète 3 fois l’expérience aléatoire E consistant à tirer une carte (tirage avec remise). 1 C’est un schéma de Bernoulli de paramètre n = 3 et p = 13 Ici n = 3, valeur raisonnable pour établir un arbre pondéré : Exemple 1 : On tire successivement et sans remise 5 jetons dans un sac opaque contenant 20 jetons noirs et 30 jetons blancs. On note alors X le nombre de jetons blancs obtenu après les 5 tirages. X suit-elle une loi binomiale ? La réponse est ici non car les tirages ne s’effectuent pas dans des conditions identiques : Le sac contient au premier tirage 50 jetons, puis 49 au deuxième tirage, … La probabilité p du succès S « tirer un jeton blanc » n’est pas constante et X ne suis pas une loi binomiale. Exemple 2 : On tire successivement 10 cartes dans un jeu de 52 cartes en remettant à chaque fois la carte tirée. On note X le nombre de cœur(s) obtenu(s) après ces 10 tirages. On veut calculer la probabilité d’obtenir exactement 1 as, ce qui va s’écrire p(X=1) X suit-elle une loi binomiale ? Il y a 3 chemin sur l’arbre qui réalise cet évènement (voir flèche sur l’arbre) et on calcule alors la probabilité de la manière suivante : Les tirages sont ici indépendants les uns par rapport aux autres : le tirage se fait avec remise. On a ici un schéma de Bernoulli, le succès étant S : « obtenir un cœur » de 1 probabilité p = p(X=1) = 4 X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 1 4 PR4 : Calculer des probabilités avec la loi binomiale Pour calculer les probabilités avec la loi binomiale, on pourra : Utiliser un arbre pondéré à condition d’avoir n petit (en pratique inférieur à 5) Utiliser la calculatrice ou un tableur. La calculatrice ou le tableur est capable de calculer la probabilité d’avoir exactement k succès ou bien la probabilité d’avoir au plus k succès (c’est à dire k succès ou moins) à condition de lui fournir les paramètres n et p de la loi binomiale et la valeur de k ! 1 13 × 12 13 × 12 13 + 12 13 × 1 13 × 12 13 + 12 13 × 12 13 × 1 13 = 3× 12² 133 0,197 au millième près. Exemple 2 : On choisit au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Soit S l’évènement « obtenir un as ». On répète 5 fois l’expérience aléatoire E consistant à tirer une carte (tirage avec remise). 1 C’est un schéma de Bernoulli de paramètre n = 5 et p = 13 On veut calculer cette fois ci la probabilité d’avoir 1 as exactement puis la probabilité d’avoir au plus 3 as. Ici n = 5 et il n’est pas raisonnable de construire un arbre. On utilisera alors les fonctionnalités de la calculatrice. La première probabilité cherchée s’écrit p(X=1) et la deuxième p(X3) Le tableau en page suivante décrit comment utiliser sa calculatrice pour calculer ces 2 probabilités. Syntaxe p(X=1) p(X3) CASIO Touche OPTN, puis STAT puis DIST, puis BINM, enfin choisir Bpd ou Bcp TEXAS Menu distrib (2ndeVar) puis choisir binomFdp ou binomFrép BinomialPD(1,5,1/13) BinomialCD(3,5,1/13) BinomFdp(5,1/13,1) BinomFRép(5,1/13,3) Tableur Fonction LOI.BINOMIALE p(X=k) 0.40000 0.35000 =LOI.BINOMIALE(1 ;10 ;1/13 ;0) =LOI.BINOMIALE(3 ;10 ;1/13 ;1) On trouve ainsi la probabilité d’obtenir exactement un as p(X=1) 0,2792 Et la probabilité d’obtenir au plus 3 as : p(X3) 0,9998 0.30000 0.25000 0.20000 0.15000 0.10000 0.05000 PR5 : Représenter graphiquement la loi binomiale On représente la loi binomiale à l’aide d’un diagramme en bâtons, en indiquant les nombres de succès k en abscisses et les probabilités des évènements {X=k} en ordonnées. Lorsque la valeur de n n’est pas trop importante, on réalise ce diagramme en bâtons à la main après avoir dressé un tableau de valeurs des probabilités p(X=k) à l’aide des fonctionnalités de la calculatrice. Lorsque la valeur de n est importante, on utilisera un tableau pour réaliser ce diagramme en bâtons. Exemple 1 : Représenter graphiquement la loi binomiale de paramètre n = 5 et p = 0,4. On sort d’abord le tableau de valeur avec la calculatrice : CASIO Menu TABLE puis on saisit dans Y1 : BinomialPD (X,5,0,4) suivi de EXE TEXAS On sélectionne f(x) puis on saisit dans Y1 binomFdp(5,0,4,X) On choisit SET (F5) et on rentre comme première valeur 0, comme valeur de fin 5 et on choisit Step à 1 On sélectionne deftable (2nde fenêtre) et on entre la première valeur 0 ainsi que le pas 1. Exit puis TABLE (F6) On sélectionne l’instruction table (2nde graphe) On obtient alors le diagramme en bâtons suivant : 0.00000 0 1 2 3 4 Exemple 2 : Représenter graphiquement la loi binomiale de paramètre n = 20 et p = 0,4. On utilise cette fois-ci le tableur car n = 20 (valeur trop importante pour le faire à la main). PR6 : Déterminer et interpréter l’espérance mathématique PR6 : Déterminer et interpréter l’espérance mathématique Définition : Lorsqu’on simule un très grand nombre de fois un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, la moyenne du nombre de succès se rapproche d’un réel appelé espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p, et que l’on note E(X) Définition : Lorsqu’on simule un très grand nombre de fois un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, la moyenne du nombre de succès se rapproche d’un réel appelé espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p, et que l’on note E(X) Propriété : L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est E(X) = np Propriété : L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est E(X) = np Exemple : On tire successivement 10 cartes dans un jeu de 52 cartes en remettant à chaque fois la carte tirée. On note X le nombre de cœur(s) obtenu(s) après ces 10 tirages. C’est une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,25. Exemple : On tire successivement 10 cartes dans un jeu de 52 cartes en remettant à chaque fois la carte tirée. On note X le nombre de cœur(s) obtenu(s) après ces 10 tirages. C’est une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,25. L’espérance mathématique vaut donc ici E(X) = np = 10×0,25 = 2,5 L’espérance mathématique vaut donc ici E(X) = np = 10×0,25 = 2,5 Interprétation : On peut espérer avoir en moyenne 2,5 cœurs au cours de cette expérience aléatoire. Interprétation : On peut espérer avoir en moyenne 2,5 cœurs au cours de cette expérience aléatoire.