TS Exercices sur les fonctions cosinus et sinus

TS Exercices sur les fonctions
cosinus et sinus
1 Dans chaque cas, démontrer que la fonction f dont l’expression est donnée est périodique de période T.
1°) cos 5
4
f x x et
2
T
5
2°)
cos6 sin3
f x x x
  et
2
T
3
3°)
2
cos 3 sin 2
f x x x
  et T .
2 Dans chaque cas, calculer
f '
(x).
1°)
2 cos 5
f x x
 2°)
3
4sin
f x x
 3°)
3
2 cos
f x
x
3 On considère la fonction f définie par
3 4cos 5
f x x
  .
Démontrer que f est bornée sur .
4 On considère la fonction f définie par
1
cos
f x
x
.
Déterminer l’ensemble de définition de f.
Calculer
'
f x
.
5 On considère la fonction f définie par
cos 2
f x x
.
Étudier les variations de f sur l’intervalle
0 ;
.
6 On considère la fonction f définie par 4 sin
2 4
x
f x .
Démontrer que f est périodique.
7 On considère la fonction f est définie sur  par
2sin sin 2 .
f x x x
1°) Justifier que f est périodique de période 2.
Étudier la parité de f.
En déduire qu’il suffit d’étudier la fonction f sur l’intervalle
I 0;
.
2°) Démontrer que pour tout réel x, on a :
'( ) 2 2cos 1 cos 1
f x x x .
3°) a) Pour étudier le signe de
'( )
f x
pour
I
x
, on doit étudier le signe de chaque facteur.
Étude du signe de 2cos x – 1 pour
I
x
.
On résout deux inéquations et une équation dans l’intervalle I.
2cos 1 0
x
2cos 1 0
x
2cos 1 0
x
Étude du signe de cos x + 1 pour
I
x
.
On résout deux inéquations et une équation dans l’intervalle I.
cos 1 0
x
cos 1 0
x
cos 1 0
x
b) Faire un tableau récapitulatif comprenant :
- l’étude du signe de
'
f x
pour
I
x
;
- les variations de f sur I.
Calculer les extremums locaux (valeurs exactes).
Calculer
2
f
.
4°) Tracer la représentation graphique de f sur l’intervalle I dans le plan muni d’un repère orthonormé
O, ,
i j
; on prendra le centimètre pour unité graphique.
On commencera par placer les points correspondants aux extremums locaux de f sur I.
Tracer des pointillés et marquer leurs coordonnées sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées.
Tracer les tangentes horizontales en ces points.
Compléter la représentation graphique pour obtenir la représentation graphique sur l’intervalle [– 2 ; 2].
Vérifier le tracé à l’aide d’un logiciel de tracé de courbe sur ordinateur ou d’une calculatrice graphique
(attention à penser à mettre la calculatrice en mode radian si elle n’y est pas déjà).
8 On considère la fonction f définie sur  par
sin
2 cos
x
f x
x
.
1°) Étudier la parité et la périodicité de f.
En déduire qu’il suffit d’étudier la fonction f sur l’intervalle
I 0;
.
2°) Démontrer que, pour tout réel x, on a
2
2 cos 1
'
2 cos
x
f x
x
.
3°) Résoudre dans l’intervalle I à l’aide du cercle trigonométrique les inéquations et l’équation ci-dessous.
2cos 1 0
x
(1)
2cos 1 0
x
(2)
2cos 1 0
x
(3)
(Il n’est pas demandé de donner les ensembles de solutions.)
4°) Faire un tableau récapitulatif comprenant :
- l’étude du signe de
'
f
(x) pour
I
x
;
- les variations de f sur I.
Calculer les extremums locaux (valeurs exactes) ainsi que la valeur de
2
f .
5°) Tracer la représentation graphique C de f sur l’intervalle I dans le plan muni d’un repère orthogonal
O, ,
i j
tel que
1 cm
i
et
3 cm
j
.
On commencera par placer les points correspondants aux extremums locaux de f sur I.
Tracer des pointillés et marquer leurs coordonnées sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées.

Tracer les tangentes horizontales en ces points.
Compléter la représentation graphique pour obtenir la représentation graphique sur l’intervalle [– 2 ; 2].
Vérifier le tracé à l’aide d’un logiciel de tracé de courbe sur ordinateur ou d’une calculatrice graphique
(attention à penser à mettre la calculatrice en mode radian si elle n’y est pas déjà).
9 On considère la fonction f : x 
cos 1
2cos 1
x
x
.
Déterminer, en rédigeant soigneusement, l’ensemble de définition D de f.
10 Le plan est muni d’un repère orthonormé
O, ,
i j
.
Le point P appartient au quart de cercle C de centre O, de rayon 4 et d’extrémités A et B.
On construit le rectangle ONPM où M appartient à [OA] et N à [OB].
Reproduire la figure ci-dessous.
OA
BC
P
N
M
x
On note x la mesure en radians de l’angle
AOP
.
1°) À quel intervalle I appartient x ?
2°) Démontrer que l’aire de ONPM est
8sin 2
x x
A.
3°) En déduire pour quelle valeur de x l’aire du rectangle ONPM est maximale.
11 On considère la fonction f : x  sin 2
3
x .
1°) Démontrer que f est périodique de période .
2°) On se place sur l’intervalle
;
6 3
E .
a) Quel intervalle décrit 2
3
X x
quand x décrit E ?
b) Étudier le sens de variation de f sur E.
3°) On note C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I, J).
a) Tracer C sur E.
b) On admet que le point 
;0
3
est centre de symétrie de la courbe C.
En déduire le tracé de la courbe C sur
5
;
3 6
puis sur [–  ; 2].
i
j
12 Dans le plan muni d’un repère orthonormé
O, ,
i j
, on note C le cercle de centre O et de rayon 1.
On note A, B,
A'
les points de coordonnées respectives
1;0
,
0 ;1
,
1;0
.
Pour tout réel
0;
2
x , on place le point M de l’arc
AB
tel que
AOM
x
.
Les points N, P, Q sont les symétriques de M par rapport aux axes et à l’origine du repère.
C
N M
B
P Q
A' A
x
O
Reproduire la figure.
1°) Démontrer que l’aire
S x
de l’hexagone AMNA'PQ est égale à
2sin 1 cos
x x
.
2°) Démontrer que l’on a :
' 2 2cos –1 cos 1
S x x x .
3°) a) Dresser un tableau comprenant l’étude du signe de
'
S x
(après étude préalable) et les variations de S.
b) Pour quelle valeur de x, l’hexagone a-t-il une aire maximale ? Que peut-on dire de l’hexagone dans ce cas ?
13 À l’aide de la calculatrice donner les arrondis automatiques au millième des solutions dans l’intervalle
;
des équations suivantes :
1
cos
3
x (1) ;
1
sin
4
x (2) ;
3
sin
4
x (3).

Corrigé
Faire les traits à la règle (tableaux et flèches de variations).
Régler la fenêtre graphique
Xmin 3 ; X max 3
Xscl
Ymin 2 ; Ymax 2
Yscl 1
On tape bien .
Les fractions avec p ne s’écrivent jamais avec des barres obliques.
Question Alexandre Cots le lundi 14-12-2015 :
Il n’y a pas vraiment de moyen de démontrer qu’une fonction est périodique en partant directement de f.
1
On refait la démonstration dans chaque cas.
Vérifier sur la calculatrice graphique (mettre la calculatrice en mode radian).
Rappel de définition :
f est une fonction définie sur .
T est un réel strictement positif.
On dit que f est périodique de période T pour exprimer que
x
f x T f x
  .
1°) ( ) cos 5
4
f x x
et
2
T
5
x
2
T
5
f x f x
2
cos 5
5 4
x
cos 2 5
4
x
cos 5
4
x
f x
On en déduit que f est périodique de période
2
T
5
.
2°)
( ) cos 6 sin 3
f x x x
et
2
T
3
x
2
T
3
f x f x
2 2
cos 6 sin 3
3 3
x x
cos 6 4 sin 3 2
x x
cos 6 sin 3
x x
f x
On en déduit que f est périodique de période
2
T
3
.
3°)
2
( ) cos 3 sin 2
f x x x
  et T .

x
Tf x f x
2
cos 3 sin 2x x
2
cos 3 sin 2 2
x x 
2
cos 3 sin2
x x
2
cos 3 sin2
x x
f x
On en déduit que f est périodique de période T .
2 1°)
( ) 2 cos 5
f x x
 D f = 
On applique la règle du cours : cos sin
ax b ' a ax b
  (où a et b sont deux réels).
On prend :
5
a
et
0
b
.
f est dérivable sur .
x
2 5 sin 5 10 sin 5
f ' x x x
2°)
3
( ) 4 sin
f x x
 D f = 
On pose
sin
u x x
.
La fonction u est dérivable sur  (fonction de référence) et
x
cos
u' x x
.
x
3
4
f x u x
Donc f est dérivable sur  (règle sur les opérations algébriques pour les fonctions dérivables).
x
2
4 3
f ' x u' x u x
2
12
u' x u x
2
12 cos sin
x x
Attention à bien différencier dans le cours, dérivée de fonction et dérivé d’une forme (du type
3
x
2
3
x
et
n
u
1
n
nu' u
)
On utilise la formule de dérivation suivante :
1
' '
n n
u nu u
.
3°) 3 ( )
2 cos
f x
x
 D f =  (la recherche de cet ensemble de définition est quasiment évidente)
On pose
2 cos
u x x
  .
x
sin
u' x x
On a :
3
f x
u x
Donc f est dérivable sur  (règle sur les opérations algébriques pour les fonctions dérivables).
x
2 2
3 sin 3 sin
2 cos 2 cos
x
x
f ' x
x x
On applique la formule de dérivée de
2
k u'
' k
u u
  (en écrivant que
1
kk
u u
)
3
3 4cos 5
f x x
On démontre que
x
1 7
f x (méthode des encadrements successifs).
Solution détaillée :
Démontrons que f est bornée.
Rappel :
On dit qu’une fonction f définie sur D est bornée pour exprimer qu’il existe deux réels m et M tels que pour
tout réel x  D, on ait
m f x M
.
Dire que f est bornée par m et M signifie que f est minorée par un nombre m et que f est majorée par un nombre
M.
Graphiquement, dire que f est bornée par m et M signifie que la courbe représentative de f est comprise dans la
zone située entre les droites d’équation
y m
et
y M
(comme ces deux droites sont parallèles, on parle de
« bande » délimitée par ces deux droites).
Les fonctions cosinus et sinus sont bornées.
On cherche donc à encadrer f (x) par deux nombres fixes.
On procède par encadrements successifs.
x
1 cos 5 1
x
(on utilise le fait que la fonction cosinus est bornée sur  par – 1 et 1 ; le cosinus de n’importe quoi est compris
entre – 1 et 1 au sens large)
 4
4 4cos 5 4
x
+ 3
1 3 4cos 5 7
x
Donc
x
1 7
f x

On en conclut que f est bornée sur  (– 1 est un minorant de f ; et 7 est un majorant de f).
On peut vérifier ce résultat graphiquement.
Le mardi 17-12-2013
Guillaume Étienne en TS1 :
On fait + 3 pour se rapprocher de l’expression de
f x
.
4 f : x 
1
cos
x
 Déterminons l’ensemble de définition de f.
f x
existe si et seulement si
cos 0
x
si et seulement si
2
x k
(
k
)
Rappel : recherche d’un ensemble de définition (présentation/rédaction)
On écrit
f x
existe si et seulement si …
si et seulement si …
ou
f x
existe 
On n’écrit pas « f existe » (la fonction existe toujours !).
On a le droit d’utiliser le symbole d’équivalence.
Explication : les points images des solutions de l’équation cos x = 0 sont B et B (en utilisant les notations
traditionnelles du cercle trigonométrique) ; les réels associés sont donc
2
; 2 ;
2
2
.
Tous ces nombres peuvent donc s’écrire sous la forme 2
k
, k  .
D f ,
2
\ k k
Attention à la notation de l’ensemble avec accolades.
 Calculons
'
f
(x).
x D f
2 2
sin sin
cos cos
x x
f ' x
x x
(On applique la formule
2
1
u'
'
u u
  avec
cos
u x x
 et
sin
u' x x
  ).
On peut écrire x D f
tan
'
cos
x
f x
x
.
5 Étude d’une fonction trigonométrique simple
( ) cos 2
f x x
 D f = 
Étudions les variations de f sur l’intervalle
0 ;
.
f est dérivable sur  (règle du cours)
x
2 sin 2 4 sin cos
f ' x x x x
On utilise la formule de duplication du sinus : sin 2x = 2 sin x cos x.
On dresse ensuite le tableau de variation de f sur l’intervalle
0 ;
.
x 0
2
Signe de sin x 0 + + 0
Signe de cos x + 0 –
Signe de
f ' x
0 – 0 + 0
Variations de f 1
– 1
1
La dérivée de f s’annule en 0,
2
et .
On calcule les extremums de f sur l’intervalle
0 ;
.
0 cos 2 0 cos0 1
f ;
cos 2 cos 1
2 2
f 
    ;
cos 2 cos2 1
f
Le maximum de f sur l’intervalle
0 ;
est égal à 1 ; le minimum de f sur l’intervalle
0 ;
est égal à – 1.