Exercice 1

Lycée : O.chatti M’saken
Classe : 4 ème Math
Fonctions réciproques
Prof : Karmous Abdelhamid
A.scolaire : 2013/2014
Exercice 1 :
1) Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 1 +
a)
Vérifier que pour tout réel x on a : g ’(x) =
x
x²  1
1
x²  1 x²  1
b) Etudier les variations de g et en déduire que pour tout réel x : g(x) > 0.


 
2) Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x – 1 + x²  1 et  sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, i , j .
a) Vérifier que pour tout réel x on a : f ’(x) = g(x)
b) Montrer que lim f ( x)  1 . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
x
c) Dresser le tableau de variation de f.
3) a) Montrer que la droite  : y = 2x – 1 est une asymptote à  au voisinage de +.
b) Ecrire une équation de la tangente T à  au point o .
 
c) Tracer, T et  dans le repère O, i , j (on placera les points de  d’abscisses -1 et 1).
4) a) Vérifier que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on déterminera.

b) Calculer (f – 1)’
 2 [ f

–1
étant la fonction réciproque de f].
 
c) Tracer ’ la courbe représentative de f – 1 dans le repère O, i , j .


Exercice 2 :
 
Soit la fonction f définie par f(x) = x + x²  2x . (C) la courbe de f dans un repère orthonormé (o, i , j ).
1) a) Déterminer Df
b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 2 et à gauche en 0. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
2) Dresser le tableau de variation de f
3) a) Montrer que (C) admet une asymptote oblique .
b) Etudier la position de (C) par rapport à .
4) Tracer la courbe (C).
5) Soit g la restriction de f à l’intervalle [2, +[
a) Montrer que g admet une fonction réciproque g -1 définie sur un intervalle J à préciser.
 
j ).
b) Tracer la courbe (C’) de g -1 dans le même repère (o, i ,
c) Calculer g -1(x) pour tout x  J
Exercice 3 :
 
Soit f définie sur [1, +[ par f (x) = x² - 2x  2 . () la courbe de f dans un repère orthonormé (O, i , j ).
I/
1) Dresser le tableau de variation de f.
2) a) Montrer que  : y = x – 1 est une asymptote à ().
b) Tracer la courbe ().
3) a) Montrer que f réalise une bijection de [1, +[ sur un intervalle J à préciser.
b) Calculer f -1 (x) pour x  J.
c) Tracer la courbe (’) de f -1 dans le même repère (O, i , j ).

1
[ par : g (x) = f -1 (
).
cos x
2

1) Montrer que pour tout x  [0,
[ ; g (x) = 1 + tg x.
2

2) Montrer que g réalise une bijection de [0,
[sur [1, + [.
2
II/ Soit g définie sur [0,
3)
Montrer que g -1 est dérivable sur [1, + [ et calculer (g -1)' (x) pour x [1, +[.
Exercice 4:
2x
 
j ).
Soit la fonction f définie sur IR par ; f(x) = 2 +
( C) la courbe de f dans un repère orthonormé (o, i ,
x²  4
I ) 1) Dresser le tableau de variation de f
2) a) Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0.
b) Etudier la position de (C) par rapport à (T).
3) a) Montrer que pour tout x  IR ; f ’(x)  1
b) Montrer que l’équation f(x) = x admet dans IR une solution unique  et que 3,7 <  < 3,8.
c) Tracer (T) ;  : y = x et (C)
4) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.
b) Montrer que f -1 est dérivable en 2 et calculer (f -1)’(2).
c) Calculer f -1(x) pour tout x  J.
 
j ) la courbe (C’) de f -1.
d) Tracer dans le même repère (o, i ,
II ) Soit la fonction g définie sur ] –
π π
, ] par :
2 2
g (x) =
g(
π π
2
si x ] – ,
[
2 2
f (2 tg x)
π
1
)=
2
2
π π
1
, ] g(x) =
2 2
1  sin x
π π
2) Montrer que g réalise une bijection de ] –
, ] sur un intervalle K à préciser.
2 2
1) Montrer que pour tout x ] –
3) Montrer que g -1 est dérivable sur ] 1 , +  [ et calculer (g -1)’(x) pour tout x  ] 1 , +  [.
2
Exercice 5
2
Soit f une fonction dérivable sur IR.

 

Dans l’annexe ci-jointe (Figure 1 page 3) on a représenté dans un repère orthonormé O; i ; j la courbe () de la fonction f, ses
tangentes « horizontales » et ses asymptotes d’équation y = 0 en – et y = x en +.
1) Par une lecture graphique :
a)
b)
Déterminer f(0) et f’(0).
Déterminer
lim f  x  ; lim f  x 
x 
x 
et
f  x
lim
x  x
c)Justifier que la restriction g de f à l’intervalle]- ; 0 [ admet une fonction
réciproque g-1 et préciser l’ensemble de définition de g-1.
Soit ( ’) la courbe représentative de g-1 dans le repère
O; i ; j  .
Tracer la courbe ( ’) et la demi-tangente à ( ’) au point d’abscisse 2.
2) Soit la fonction h définie sur IR par
a)
Déterminer
lim h  x 
x 
h x  3 f  x .
et
lim h  x  .
x 
b) Montrer que h est dérivable sur IR et dresser le tableau de variation de la fonction h.
Exercice no6
Soit f la fonction définie sur] 0,2[ par f(x)=
1
2x x 2
 
. On désigne par (C) sa courbe représentative dans un R.O.N
1) a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Construire la courbe (C).
2) Soit g la restriction de f à l'intervalle [1,2[.
a) Montrer que g réalise une bijection de [1,2[sur un intervalle I à préciser.
b) Tracer dans le même repère la courbe (C') de g -1.
c) Expliciter g-1(x) pour tout x I.
3) Soit  une fonction dérivable sur]0,2[telle que pour tout x ]0,2[ ,  ' ( x )  f(x) et  (1)  0 .


On désigne par (Un) la suite réelle définie sur IN* par Un=  1 
a) Déterminer
n
lim  Un.
b) Montrer que n  IN*,
c) En déduire
n
1
1 

   1 
.
n
 n 1
1
1
n 2
 n 1
f
f
 U n 
.
n(n  1)  n  1 
n(n  1)  n 
lim  n2Un.
o, i , j  .