Exercice 1

4x²
2x
Exercice 1 :
1) Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 1 +
1² x
x
a) Vérifier que pour tout réel x on a : g ’(x) =
1²1²
1
 xx
b) Etudier les variations de g et en déduire que pour tout réel x : g(x) > 0.
2) Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x – 1 +
1² x
et  sa courbe représentative dans un repère orthonormé
jiO ,,
.
a) Vérifier que pour tout réel x on a : f ’(x) = g(x)
b) Montrer que
1)(lim 
xf x
. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c) Dresser le tableau de variation de f.
3) a) Montrer que la droite  : y = 2x – 1 est une asymptote à  au voisinage de +.
b) Ecrire une équation de la tangente T à  au point o .
c) Tracer, T et  dans le repère
jiO ,,
(on placera les points de  d’abscisses -1 et 1).
4) a) Vérifier que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on déterminera.
b) Calculer (f – 1)’
2
[ f – 1 étant la fonction réciproque de f].
c) Tracer ’ la courbe représentative de f – 1 dans le repère
jiO ,,
.
Exercice 2 :
Soit la fonction f définie par f(x) = x +
x² 2x
. (C) la courbe de f dans un repère orthonormé (o,
ji ,
).
1) a) Déterminer Df
b) Etudier la dérivabilité de f à droite en 2 et à gauche en 0. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
2) Dresser le tableau de variation de f
3) a) Montrer que (C) admet une asymptote oblique .
b) Etudier la position de (C) par rapport à .
4) Tracer la courbe (C).
5) Soit g la restriction de f à l’intervalle [2, +[
a) Montrer que g admet une fonction réciproque g -1 définie sur un intervalle J à préciser.
b) Tracer la courbe (C’) de g -1 dans le même repère (o,
ji ,
).
c) Calculer g -1(x) pour tout x  J
Exercice 3 :
Soit f définie sur [1, +[ par f (x) =
22x-x² 
. () la courbe de f dans un repère orthonormé (O,
j ,i 
).
I/ 1) Dresser le tableau de variation de f.
2) a) Montrer que  : y = x – 1 est une asymptote à ().
b) Tracer la courbe ().
3) a) Montrer que f réalise une bijection de [1, +[ sur un intervalle J à préciser.
b) Calculer f -1 (x) pour x  J.
c) Tracer la courbe (’) de f -1 dans le même repère (O,
,ij
).
II/ Soit g définie sur [0,
2
[ par : g (x) = f -1 (
xcos
1
).
1) Montrer que pour tout x  [0,
2
[ ; g (x) = 1 + tg x.
2) Montrer que g réalise une bijection de [0,
2
[sur [1, + [.
3) Montrer que g -1 est dérivable sur [1, + [ et calculer (g -1)' (x) pour x [1, +[.
Exercice 4:
Soit la fonction f définie sur IR par ; f(x) = 2 + ( C) la courbe de f dans un repère orthonormé (o,
ji ,
).
I ) 1) Dresser le tableau de variation de f
2) a) Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0.
b) Etudier la position de (C) par rapport à (T).
3) a) Montrer que pour tout x  IR ; f ’(x)  1
b) Montrer que l’équation f(x) = x admet dans IR une solution unique  et que 3,7 <  < 3,8.
c) Tracer (T) ;  : y = x et (C)
4) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.
b) Montrer que f -1 est dérivable en 2 et calculer (f -1)’(2).
Lycée : O.chatti M’saken
Classe : 4 ème Math
Fonctions réciproques
Prof : Karmous Abdelhamid
A.scolaire : 2013/2014

c) Calculer f -1(x) pour tout x  J.
d) Tracer dans le même repère (o,
ji ,
) la courbe (C’) de f -1.
II ) Soit la fonction g définie sur ] –
π
2
,
π
2
] par : g (x) =
x) tg(2 f 2
si x ] –
π
2
,
π
2
[
g(
π
2
) =
2
1
1) Montrer que pour tout x ] –
π
2
,
π
2
] g(x) =
1
1 sin x
2) Montrer que g réalise une bijection de ] –
π
2
,
π
2
] sur un intervalle K à préciser.
3) Montrer que g -1 est dérivable sur ]
1
2
, +  [ et calculer (g -1)’(x) pour tout x  ]
1
2
, +  [.
Exercice 5
Soit f une fonction dérivable sur IR.
Dans l’annexe ci-jointe (Figure 1 page 3) on a représenté dans un repère orthonormé
j;i;O 
la courbe () de la fonction f, ses
tangentes « horizontales » et ses asymptotes d’équation y = 0 en – et y = x en +.
1) Par une lecture graphique :
a) Déterminer f(0) et f’(0).
b) Déterminer
lim fx
x
;
lim fx
x
et
lim fx
x
x
c)Justifier que la restriction g de f à l’intervalle]- ; 0 [ admet une fonction
réciproque g-1 et préciser l’ensemble de définition de g-1.
Soit ( ’) la courbe représentative de g-1 dans le repère
;;O i j
.
Tracer la courbe ( ’) et la demi-tangente à ( ’) au point d’abscisse 2.
2) Soit la fonction h définie sur IR par
3
h x f x
.
a) Déterminer
lim hx
x
et
lim hx
x
.
b) Montrer que h est dérivable sur IR et dresser le tableau de variation de la fonction h.
Exercice no6
Soit f la fonction définie sur] 0,2[ par f(x)=
2
2
1
xx 
. On désigne par (C) sa courbe représentative dans un R.O.N
jio ,,
.
1) a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Construire la courbe (C).
2) Soit g la restriction de f à l'intervalle [1,2[.
a) Montrer que g réalise une bijection de [1,2[sur un intervalle I à préciser.
b) Tracer dans le même repère la courbe (C') de g -1.
c) Expliciter g-1(x) pour tout
x
I.
3) Soit une fonction dérivable sur]0,2[telle que pour tout
[2,0]x
,
 )(' x
f(x) et
0)1( 
.
On désigne par (Un) la suite réelle définie sur IN* par Un=
 1
1
1
1
1nn
.
a) Déterminer
lim
n
Un.
b) Montrer que
n
IN*,
n1n
f
)1( 1
U
1
2
f
)1( 1nnn
n
nn n
.
c) En déduire
lim
n
n2Un.