dev synth 1 4 tech2013

Exercice 1 : (6points)
A) Dans le graphique ci- contre ,
on a tracé la courbe C f représentative
d’une fonction  décroissante sur 
ainsi que la tangente à C f au point .
Les droites d’équations    et   
sont des asymptotes à C f.
On désigne par  la fonction réciproque de .
1) Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte, indiquer laquelle en justifiant
votre choix .
a/  réalise une bijection de  sur :
  ,, IR 1 3 1
b/ 
-2    
c/ 
1
-2 2
2 -
2) Tracer dans le même repère la courbe représentative de .
B) Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Soit  une fonction deux fois dérivable sur  , on désigne par (C ) sa courbe représentative.
Dans la figure ci-dessous , on a représenté la courbe (C ‘ ) de la fonction dérivée  de la fonction 
(C ‘) admet une tangente horizontale au point 
 et une asymptote horizontale d’équation   
au voisinage de (+
Pour chacune des propositions suivntes, répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.
1)  est décroissante sur .
2) (C ) admet le point d’abscisse 1 comme point d’inflexion.
3) Pour tous  et  de  ,  (C ‘)
4) Si    , alors (C ) est située entre les deux droites
 et   
Lycée Pilote 15 octobre 1963 - Bizerte
Prof: Mme Bayoudh
Classe :4ème Sciences techniques1
Date : Le 04/12/2013
Devoir de synthèse n°1 en mathématiques
Durée : 2 heures

Exercice 2: ( 6points)
Soit l’équation (   où .
1) a/ Vérifier que 2i est une solution de (.
b/ Vérifier que   
c/ Résoudre dans  l’équation (.
2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé dicerct 
, on considère les points
 et  d’affixes respectives ,  ,  et .
a/ Montrer que  est le milieu de.
b/ Montrer que A et B varient sur un même cercle dont on précisera.
3) On suppose que   
  .
a/ Montrer que  est un rectangle.
b/ Montrer que   si et seulement si    ;   .
Exercice 3: (8points)
A) Soit  la fonction définie sur  par  
1) a/ Etudier les variations de sur .
b/ Déduire que réalise une bijection de  sur un intervalle que l’on déterminera.
2) Expliciter  pour   .
B) Soit la fonction définie sur  par   
1) a/ Montrer que  est dérivable sur  et que pour tout    ,   
b/ Déduire que réalise une bijection de  sur un intervalle  que l’on précisera.
c/ Justifier que  est dérivable sur .
2) a/ Montrer que l’équation   admet une solution unique  dans  et que     
b/ Montrer que pour tout    , on a  
c/ Montrer que 
C) Soit  la fonction définie sur  par     
est- elle bijective sur IR ? Justifier.
Bon travail et bonne chance