dev synth 1 4 tech2013

Classe :4ème Sciences techniques1
Lycée Pilote 15 octobre 1963 - Bizerte
Date : Le 04/12/2013
Prof: Mme Bayoudh
Devoir de synthèse n°1 en mathématiques
Durée : 2 heures
Exercice 1 : (6points)
A) Dans le graphique ci- contre ,
on a tracé la courbe C f représentative
d’une fonction décroissante sur
ainsi que la tangente à C f au point
Les droites d’équations
sont des asymptotes à C f.
On désigne par
.
et
la fonction réciproque de .
1) Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte, indiquer laquelle en justifiant
votre choix .
IR
1,3
b/


c/
-2
a/
réalise une bijection de
sur :
-
2) Tracer dans le même repère la courbe représentative de
1
2
1,
-2
2
.
B) Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Soit une fonction deux fois dérivable sur
, on désigne par (C ) sa courbe représentative.
Dans la figure ci-dessous , on a représenté la courbe (C ‘ ) de la fonction dérivée de la fonction
(C ‘) admet une tangente horizontale au point
et une asymptote horizontale d’équation
au voisinage de (+
Pour chacune des propositions suivntes, répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.
1)
est décroissante sur
.
2) (C ) admet le point d’abscisse 1 comme point d’inflexion.
3) Pour tous
et
de
,
, alors (C ) est située entre les deux droites
4) Si
et
(C ‘)
Exercice 2: ( 6points)
Soit l’équation (
où
1) a/ Vérifier que 2i est une solution de (
.
.
b/ Vérifier que
l’équation (
c/ Résoudre dans
.
2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé dicerct
d’affixes respectives
et
,
,
a/ Montrer que est le milieu de
et
, on considère les points
.
.
b/ Montrer que A et B varient sur un même cercle dont on précisera.
3) On suppose que
.
a/ Montrer que
est un rectangle.
b/ Montrer que
si et seulement si
;
.
Exercice 3: (8points)
A) Soit
la fonction définie sur
1) a/ Etudier les variations de
b/ Déduire que
2) Expliciter
B) Soit
par
sur
.
pour
.
la fonction définie sur
1) a/ Montrer que
sur un intervalle que l’on déterminera.
réalise une bijection de
par
est dérivable sur
et que pour tout
b/ Déduire que
réalise une bijection de
c/ Justifier que
est dérivable sur .
2) a/ Montrer que l’équation
sur un intervalle que l’on précisera.
admet une solution unique
b/ Montrer que pour tout
,
dans
et que
, on a
c/ Montrer que
C) Soit
la fonction définie sur
par
est- elle bijective sur IR ? Justifier.
Bon travail et bonne chance