resume cours integrales bac sc exp

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014
Résumé de cours :Intégrales
Khammour-Math
4ème Sc-Exp
Tél :[phone]
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Définition :
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné I. Soient a et b deux réels de
I. F est la primitive de f sur I.
On appelle intégrale de f a à b de f le nombre réel noté :
Propriétés :
 Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné I. Alors :
  ; 
 Relation de Chasles :  
 Positivité :Si f est continue et positive sur [a,b] et    alors : 
 :
Soient f et g deux fonctions continues sur [a,b] avec    alors :
   sur [a,b]  
Parité :
Soit f une fonction continue sur un intervalle symétrique [-a,a] :
 Si f est paire alors 
.
 Si f est impair alors 
Intégration par partie :
Soit U et V deux fonctions dérivables sur [a,b] alors :

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Théorème :
Soit f une fonction continue sur I et g une fonction continue sur J telle que
g(J)I .Alors la fonction F définie sur J par 
 est dérivable
sur J et  
Valeur moyenne :
Soit f une fonction continue sur [a,b] :On appelle valeur moyenne de f sur [a,b]
le réel ,noté 
Inégalité de la moyenne :
Soit f une fonction continue sur [a,b] (a<b).Soit M et m deux réels ,si pour tout x
de [a,b]      alors    
 :
  du domaine
définie par :      et      est   
 orthogonal. Soit f et g deux fonctions
continues sur [a,b].
du plan limitée par la courbe f,la courbe de g et les
 :
Calcul de volumes de solides de révolution :
.
Soit f une fonction continue et positive sur [a,b].Le volume V du solide de
 est :
       est le réel :
V
.

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Exercice :
Soit la fonction f définie sur [0,1] par : 
1) Montrer que f dérivable sur ]0,1].Dresser son tableau de variations.
2) a)Montrer que f est une bijection de [0,1] 
note g sa fonction réciproque .
b)Etudier la dérivabilité de de g sur ]0,1[ .
3) Tracer dans un repère orthonormé  Cf et Cg.
4) Expliciter g(x) pour tout x de J.
f et Cg 
Solution :
1)  
   dérivable sur ]0,1] donc f dérivable sur ]0,1].
      x 0 1
 O
f (x) 1
0
2) a) f continue et strictement croissante sur [0,1] alors elle réalise une bijection de
[0,1] sur f ([0,1]) =[0,1].
On note   
b) On a f dérivable sur ]0,1[ et f   pour tout x de ]0,1[ , alors g dérivable sur
f (]0,1[)=]0,1[
3) Voir courbe .
4) Soit      tel que      
           ou
       ou    or y  et
  donc    et par suite

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5)  
.
Courbe