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EXERCICE N°1 :
Soit la fonction définie sue IR par f( x ) =
xx2
1
-
x
1
si x ≠ 0 et f ( 0 ) = 0 .
1°/ Montrer que f est continue sur IR , f est – elle dérivable en zéro .
2°/ Etudier les variations de f .
3°/ a) Montrer que f est une bijection de IR sur ] –1 , 1 [ .
b) Montrer que pour tout x ] –1 , 1 [ , f -1 ( x ) =
2
12x
x
.
c) Montrer que f -1 est dérivable sur ] –1 , 1 [ , puis calculer de deux manières différents (f –1)’( x )
EXERCICE N°2 :
Soit la fonction définie sur ]0 ,
2
] par f(x) =
xsin
1
1°/ Etudier les variation de f .
2°/ Vérifier que  x ]0 ,
2
] , on a f(x) =
2
22
12
x
tg
x
tg
3°/ a)Montrer que f est une bijection de ]0 ,
2
] sur [ 1 , + [ .
b) On désigne par g la fonction réciproque de f , calculer g ( 1 ) , g (
2
) et g( 2 ) .
c) Montrer que g est dérivable sur ] 1 , + [ et que : g’(x) =
1
1
2
xx
EXERCICE N°3 :
Soit la fonction définie sur ]0 ,
2
[ par f(x) =
xcos
1
1°/ Montrer que f est une bijection de ]0 ,
2
[ sur un intervalle E que l’on précisera .
2°/ Montrer que f –1 est dérivable sur un intervalle E et que (f –1)’ (x) =
1
12xx
EXERCICE N°4 :
On considère l’application f : x
x
x
sin
)
3
cos(
définie sur I = ] 0 , [ .
1°/ Etudier f et tracer sa courbe ( C f ) .
2°/ Montrer que f admet une fonction réciproque f –1 définie sur J à préciser . Tracer (C f –1 ).
3°/ Calculer f –1 (0) , f –1 (
23
) , f –1 (-
3
) .
4°/ Etudier la dérivabilité de f –1 et calculer (f –1)’(0) , (f –1)’(
23
) et (f –1)’(-
3
) .
Série d’exercices : Fonctions réciproques 1 Dhahbi .A
4éme Année * Section : Mathématique
Série d’exercices
Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893
Fonction réciproque

Série d’exercices :4éme Maths
EXERCICE N°5 :
On considère l’application f : x x +
2
1
.
14 2x
.
1°/ Etudier f et tracer sa courbe ( C f ) dans un repère orthonormé (O ,
i
,
j
) .
Préciser la tangente T à ( C f ) au point d’abscisse nulle .
2°/ a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur J (à préciser ) . Tracer (C f –1 ).
b) Déterminer f –1 (x) pour x J.
c) Etudier la dérivabilité de f –1 et calculer (f –1)’( x ) .
a) Calculer de deux manières (f –1)’(
2
1
) .
EXERCICE N°6 :
Soit la fonction f définie sur ]0 , 1 ] par f(x) = sin (
2
x )
1°/ Montrer que f réalise une bijection de [ 0 , 1] sur [ 0 , 1] .
2°/ Soit g la fonction réciproque de f .
a) Montrer que g est dérivable sur [ 0 , 1 ] .
b) Calculer g’(x) pour tout x [ 0 , 1 [
3°/ Soit h la fonction définie sur [ 0 ,
2
1
] par h(x) = 2x
2
1x
Etudier les variations de h et en déduire h ( [ 0 ,
2
1
] ).
4°/ Soit k la fonction définie sur [ 0 ,
2
1
] par k(x) = g o h (x) .
Montrer que k est dérivable sur [ 0 ,
2
1
] et calculer k’(x).
5°/ Montrer que pour tout x [ 0 ,
2
1
] ; k(x) = 2g(x) .
EXERCICE N°9 :
Soit f : ]
2
1
, 1 [ IR , x cos
x
1°/ Montrer que f réalise une bijection de ]
2
1
, 1 [ sur un intervalle I que l’on précisera .
2°/ Montrer que f -1 est dérivable sur J et on a (
)(
1
1xf 
)’ =
2
1
1x
3°/ Construire C f et C f –1 dans le même repère orthonormé (O ,
i
,
j
).
4°/ Soit g : ]
2
5
, 3 [ IR , x cos
2x
a) Montrer que f réalise une bijection de ]
2
5
, 3 [ sur un intervalle J que l’on précisera .
b) Montrer que g –1 est dérivable et on a : (
2)(1
1 xg
)’ =
2
1
1x
,  x J

b) Montrer que g –1 est dérivable et on a : (
2)(1
1 xg
)’ =
2
1
1x
,  x J
c) Calculer f –1(0) , g –1(0) . En déduire que pour tout x J , on a :
)(
1
2)(111 xfxg  
d) Montrer que d’après c) C g –1 = t 2
j
o S (C f) avec  : y = x
EXERCICE N° 10 :
Soit la fonction f définie par : f : ] –2 , 1 [ IR ; x cotg [
)]2(
3x
1°/ Etudier l’application f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ,
i
,
j
).
2°/ a) Montrer que f est bijective , soit h = f –1 .Tracer C f –1 dans le même repère .
b) Montrer que h est continue et dérivable sur IR .
c) Calculer h’(x) , pour tout x élément de IR .
3°/ Soit g la fonction définie sur IR* par :  x IR* , g ( x ) = h ( x ) + h (
x
1
) .
a) Calculer g’ ( x ) pour tout x élément de IR*
b) En déduire que g est constante sur les intervalles ] - , 0 ] et ] 0 , + [ et déterminer g ( x ).
EXERCICE N°11 :
Soit l’application f : [ 0 ,
2
] IR x f( x ) =
xsin1 1
.
1°/ Soit l’application φ définie par  x  ] 0 ,
2
] , φ ( x ) =
xx1
- sin x
a) Dresser le tableau de variation de φ .
b) En déduire que l’équation f( x ) = x admet une solution unique α puis vérifier que α  ] 0 ,
2
] .
2°/ montrer que f est une bijection de [ 0 ,
2
] sur un intervalle J à déterminer
3°/ a) Pour tout x élément de J , exprimer sin( f -1( x ) ) et cos (f -1( x ) ) en fonction de x .
b) En déduire f -1(
3
2
) et f -1( 2 -
2
) . c) Calculer f -1(
xcos1 1
) .
4°/ Montrer que f -1 est dérivable sur ]
2
1
, 1 ] et calculer (f –1)’( x ) pour tout x élément de ]
2
1
, 1 ] .
5°/ Soit h ( x ) = x (f –1)’( x ) pour tout x élément de ]
2
1
, 1 ] .
a) Calculer h’ ( x ) et h’’( x ) pour tout x élément de ]
2
1
, 1 ] .
b) Montrer que ,  n  IN* , h (n) ( x ) =
121
1
)12()!1(2
)!12()1(
nn
n
xn
n
.
EXERCICE N°1 :
Soit la fonction définie sur ]0 ,
2
[ par f(x) =
xcos
1
1°/ Montrer que f est une bijection de ]0 ,
2
[ sur un intervalle E que l’on précisera .

2°/ Montrer que f –1 est dérivable sur un intervalle E et que (f –1)’ (x) =
1
12xx
EXERCICE N°6 :
Soit f : ]
2
1
, 1 [ IR , x cos
x
1°/ Montrer que f réalise une bijection de ]
2
1
, 1 [ sur un intervalle I que l’on précisera .
2°/ Montrer que f -1 est dérivable sur J et on a (
)(
1
1xf 
)’ =
2
1
1x
3°/ Construire C f et C f –1 dans le même repère orthonormé (O ,
i
,
j
).
4°/ Soit g : ]
2
5
, 3 [ IR , x cos
2x
a) Montrer que f réalise une bijection de ]
2
5
, 3 [ sur un intervalle J que l’on précisera .
b) Montrer que g –1 est dérivable et on a : (
2)(1
1 xg
)’ =
2
1
1x
,  x J
b) Montrer que g –1 est dérivable et on a : (
2)(1
1 xg
)’ =
2
1
1x
,  x J
c) Calculer f –1(0) , g –1(0) . En déduire que pour tout x J , on a :
)(
1
2)(111 xfxg  
d) Montrer que d’après c) C g –1 = t 2
j
o S (C f) avec  : y = x
EXERCICE N°3 :
Soit la fonction f : x
3
11x
.
1°/ Montrer les variations de f sur son domaine de définition et dresser son tableau de variation .
2°/ Montrer que f est une bijection de domaine de définition sur un intervalle à préciser .
3°/ Expliciter f -1 .
EXERCICE N°4 :
Soit la fonction définie sur [
4
,
4
3
] par : f(x) = 1 + sin2x .
1°/ Etudier et représenter graphiquement Cf .
2°/ Montrer que f admet une fonction réciproque dont on donnera toutes les propriétés .
3°/ Démontrer que f ( x ) = x admet une solution unique de [
4
,
4
3
] .
4°/ Préciser le domaine de dérivabilité de f -1 et calculer ( f -1 )’( x ) .
EXERCICE N°5 :
Soit la fonction f définie sur IR+ par : f ( x ) = -
2
4x
si 0 ≤ x ≤ 2
f( x ) =
xx 2
2
- x + 2 si x > 0
1°/ Montrer que f est continue sur IR +.

2°/ Etudier la dérivabilité de f sur [0 , + [.
3°/ Montrer que f est une bijection de IR+ sur un intervalle J que l’on précisera.
4°/ Tracer les courbe représentatives C f et C f –1 dans le même repère orthonormé (O,
i
,
j
).
5°/ Expliciter f –1 ( x ) , on distinguera deux cas .
6°/ Calculer (f -1)’(x) en utilisant 2 méthodes.
EXERCICE N°6 :
Soit la fonction f : x (x+1 )
1x
- 1
1°/ Déterminer son ensemble de définition D puis étudier ses variations.
2°/ Etudier la dérivabilité de f à droite en x0 = -1.
3°/ Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
4°/ Justifier que f est une bijection de D sur une partie E de IR que vous préciser.
Tracer la courbe représentative de f –1 dans le même repère
5°/ Calculer l’expression de f –1(x) . La fonction f –1 est elle dérivable à droite en x0 = -1 ?
6°/ Calculer (f –1)’(x) : a) En utilisant l’expression de F –1(x) calculée précèdement .
b) En utilisant le théorème sur la dérivée de la bijection réciproque . .
EXERCICE N° 9 :
Soit la fonction définie par f(x) =
1
2
2xx
.
1°/ Montrer que f est une bijection de ] 1 , + [ sur un intervalle à préciser .
2°/ En déduire que f admet une fonction réciproque f –1 dont on donnera toutes les propriétés
Construire C f et C f –1 dans le même repère orthonormé (O ,
i
,
j
) . Expliciter f –1 .
EXERCICE N°18 :
Soit f : [ 0 , 8 ] IR
x ( 4 - x
2
3
3
2)
et soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ,
i
,
j
).
1°/ Montrer que f est continue sur [ 0 , 8 ].
2°/ Etudier la dérivabilité de f sur [ 0 , 8 ] , déterminer f’ et en déduire les variations de f sur [ 0 , 8 ]
3°/ a) Montrer que f est une bijection de [ 0 , 8 ] sur [ 0 , 8 ].
b) Déterminer sa fonction réciproque f –1 .
c) En déduire que la droite  : y = x est un axe de symétrie de C q’elle est la tangente à C en son
point d’ordonnée nulle
d) Ecrire une équation de la tangente à C au point d’intersection de C et .
4°/ Tracer la courbe d’équation :
2
3y
+
2
3x
= 4 dans le repère (O ,
i
,
j
).
Pour une bonne réussite
Signature : Dhahbi . A
Série d’exercices : Fonctions réciproques 6 Dhahbi .A