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Série d’exercices
Fonction réciproque
4éme Année * Section : Mathématique
Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893
EXERCICE N°1 :
Soit la fonction définie sue IR par
1 x 2
- 1
x
x
f( x ) =
1°/ Montrer que f est continue sur IR
si x ≠ 0 et f ( 0 ) = 0 .
, f est – elle dérivable en zéro .
2°/ Etudier les variations de f .
3°/ a) Montrer que f est une bijection de IR sur ] –1 , 1 [ .
b) Montrer que pour tout x  ] –1 , 1 [ , f -1 ( x ) =
2x .
1 x 2
c) Montrer que f -1 est dérivable sur ] –1 , 1 [ , puis calculer de deux manières différents (f –1)’( x )
EXERCICE N°2 :
Soit la fonction définie sur ]0 ,  ] par f(x) = 1
2
sin x
1°/ Etudier les variation de f .
1tg 2 x
2
2°/ Vérifier que  x  ]0 ,  ] , on a f(x) =
x
2
2tg
2
3°/ a)Montrer que f est une bijection de ]0 ,  ] sur [ 1 , +  [ .
2
b) On désigne par g la fonction réciproque de f , calculer g ( 1 ) , g ( 2 ) et g( 2 ) .
c) Montrer que g est dérivable sur ] 1 , +  [ et que : g’(x) =
1
x x 2 1
EXERCICE N°3 :
Soit la fonction définie sur ]0 ,  [ par f(x) = 1
2
cos x
1°/ Montrer que f est une bijection de ]0 ,  [ sur un intervalle E que l’on précisera .
2
2°/ Montrer que f –1 est dérivable sur un intervalle E et que (f –1)’ (x) =
1
x x 2 1
EXERCICE N°4 :
cos(x )
3 définie sur I = ] 0 ,  [ .
On considère l’application f : x 
sin x
1°/ Etudier f et tracer sa courbe ( C f ) .
2°/ Montrer que f admet une fonction réciproque f –1 définie sur J à préciser . Tracer (C f –1 ).
3°/ Calculer f –1 (0) , f –1 (  3 ) , f –1 (- 3 ) .
2
4°/ Etudier la dérivabilité de f –1 et calculer (f –1)’(0) , (f –1)’(  3 ) et
2
Série d’exercices : Fonctions réciproques
1
(f –1)’(- 3 ) .
Dhahbi .A
Série d’exercices :4éme Maths
EXERCICE N°5 :
On considère l’application f : x  x + 1 . 4x 2 1 .
2
1°/ Etudier f et tracer sa courbe ( C f ) dans un repère orthonormé (O , i , j ) .
Préciser la tangente T à ( C f ) au point d’abscisse nulle .
2°/ a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur J (à préciser ) . Tracer (C f –1 ).
b) Déterminer f –1 (x) pour x  J.
c) Etudier la dérivabilité de f –1 et calculer (f –1)’( x ) .
a) Calculer de deux manières (f –1)’( 1 ) .
2
EXERCICE N°6 :
Soit la fonction f définie sur ]0 , 1 ] par f(x) = sin (  x )
2
1°/ Montrer que f réalise une bijection de [ 0 , 1] sur [ 0 , 1] .
2°/ Soit g la fonction réciproque de f .
a) Montrer que g est dérivable sur [ 0 , 1 ] .
b) Calculer g’(x) pour tout x  [ 0 , 1 [
3°/ Soit h la fonction définie sur [ 0 , 1 ] par h(x) = 2x 1 x 2
2
Etudier les variations de h et en déduire h ( [ 0 , 1 ] ).
2
4°/ Soit k la fonction définie sur [ 0 , 1 ] par k(x) = g o h (x) .
2
Montrer que k est dérivable sur [ 0 , 1 ] et calculer k’(x).
2
5°/ Montrer que pour tout x  [ 0 , 1 ] ; k(x) = 2g(x) .
2
EXERCICE N°9 :
Soit f : ] 1 , 1 [  IR
2
x  cos 
x
,
1°/ Montrer que f réalise une bijection de ] 1 , 1 [ sur un intervalle I que l’on précisera .
2
2°/ Montrer que f -1 est dérivable sur J et on a (
1 )’ =
1
f 1(x)
 1 x 2
3°/ Construire C f et C f –1 dans le même repère orthonormé (O , i , j ).
4°/ Soit g : ] 5 , 3 [  IR
2
,
x  cos 
x2
a) Montrer que f réalise une bijection de ] 5 , 3 [ sur un intervalle J que l’on précisera .
2
b) Montrer que g –1 est dérivable et on a : (
1
1
)’ =
g 1(x)2
 1 x 2
, x J
b) Montrer que g –1 est dérivable et on a : (
c) Calculer f –1(0) , g –1(0)
1
1
)’ =
g 1(x)2
 1 x 2
, x J
. En déduire que pour tout x  J , on a :
1
 1
g 1(x)2 f 1(x)
d) Montrer que d’après c) C g –1 = t 2 j o S (C f) avec  : y = x
EXERCICE N° 10 :
Soit la fonction f définie par : f : ] –2 , 1 [  IR
;
x  cotg [  (x2)]
3
1°/ Etudier l’application f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , i , j ).
2°/ a) Montrer que f est bijective , soit h = f –1 .Tracer C f –1 dans le même repère .
b) Montrer que h est continue et dérivable sur IR .
c) Calculer h’(x) , pour tout x élément de IR .
3°/ Soit g la fonction définie sur IR* par :  x  IR* , g ( x ) = h ( x ) + h ( 1 ) .
x
a) Calculer g’ ( x ) pour tout x élément de IR*
b) En déduire que g est constante sur les intervalles ] -  , 0 ] et ] 0 , +  [ et déterminer g ( x ).
EXERCICE N°11 :
Soit l’application f : [ 0 ,  ]  IR
2
x  f( x ) =
1
.
1sin x
1°/ Soit l’application φ définie par  x  ] 0 ,  ] , φ ( x ) = 1 x - sin x
x
2
a) Dresser le tableau de variation de φ .
b) En déduire que l’équation f( x ) = x admet une solution unique α puis vérifier que α  ] 0 ,  ] .
2
2°/ montrer que f est une bijection de [ 0 ,  ] sur un intervalle J à déterminer
2
3°/ a) Pour tout x élément de J , exprimer sin( f -1( x ) ) et cos (f -1( x ) ) en fonction de x .
b) En déduire f -1( 2 ) et f -1( 2 3
2 ).
c) Calculer f -1(
1
) .
1cos x
4°/ Montrer que f -1 est dérivable sur ] 1 , 1 ] et calculer (f –1)’( x ) pour tout x élément de ] 1 , 1 ] .
2
2
5°/ Soit h ( x ) = x (f –1)’( x ) pour tout x élément de ] 1 , 1 ] .
2
a) Calculer h’ ( x ) et h’’( x ) pour tout x élément de ] 1 , 1 ] .
2
b) Montrer que ,  n  IN* , h (n) ( x ) =
(1)n1(2n1)!
2n1(n1)! (2x1)2n1
.
EXERCICE N°1 :
Soit la fonction définie sur ]0 ,  [ par f(x) = 1
2
cos x
1°/ Montrer que f est une bijection de ]0 ,  [ sur un intervalle E que l’on précisera .
2
2°/ Montrer que f –1 est dérivable sur un intervalle E et que (f –1)’ (x) =
1
x x 2 1
EXERCICE N°6 :
Soit f : ] 1 , 1 [  IR
2
x  cos 
x
,
1°/ Montrer que f réalise une bijection de ] 1 , 1 [ sur un intervalle I que l’on précisera .
2
2°/ Montrer que f -1 est dérivable sur J et on a (
1 )’ =
1
f 1(x)
 1 x 2
3°/ Construire C f et C f –1 dans le même repère orthonormé (O , i , j ).
4°/ Soit g : ] 5 , 3 [  IR
2
,
x  cos 
x2
a) Montrer que f réalise une bijection de ] 5 , 3 [ sur un intervalle J que l’on précisera .
2
b) Montrer que g –1 est dérivable et on a : (
1
1
)’ =
g 1(x)2
 1 x 2
, x J
b) Montrer que g –1 est dérivable et on a : (
1
1
)’ =
g 1(x)2
 1 x 2
, x J
c) Calculer f –1(0) , g –1(0)
. En déduire que pour tout x  J , on a :
1
 1
g 1(x)2 f 1(x)
d) Montrer que d’après c) C g –1 = t 2 j o S (C f) avec  : y = x
EXERCICE N°3 :
Soit la fonction f : x 
1
.
1 x3
1°/ Montrer les variations de f sur son domaine de définition et dresser son tableau de variation .
2°/ Montrer que f est une bijection de domaine de définition sur un intervalle à préciser .
3°/ Expliciter f -1 .
EXERCICE N°4 :
Soit la fonction définie sur [  , 3 ] par : f(x) = 1 + sin2x .
4 4
1°/ Etudier et représenter graphiquement Cf .
2°/ Montrer que f admet une fonction réciproque dont on donnera toutes les propriétés .
3°/ Démontrer que f ( x ) = x admet une solution unique de [  , 3 ] .
4 4
4°/ Préciser le domaine de dérivabilité de f -1 et calculer ( f -1 )’( x ) .
EXERCICE N°5 :
Soit la fonction f définie sur IR+ par :
f(x ) = f( x ) =
1°/ Montrer que f est continue sur IR +.
4 x 2
x 2  2x - x + 2
si 0 ≤ x ≤ 2
si x > 0
2°/ Etudier la dérivabilité de f sur [0 , +  [.
3°/ Montrer que f est une bijection de IR+ sur un intervalle J que l’on précisera.
4°/ Tracer les courbe représentatives C f et C f –1 dans le même repère orthonormé (O, i , j ).
5°/ Expliciter f –1 ( x ) , on distinguera deux cas .
6°/ Calculer (f -1)’(x) en utilisant 2 méthodes.
EXERCICE N°6 :
Soit la fonction f : x  (x+1 )
x1 - 1
1°/ Déterminer son ensemble de définition D puis étudier ses variations.
2°/ Etudier la dérivabilité de f à droite en x0 = -1.
3°/ Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
4°/ Justifier que f est une bijection de D sur une partie E de IR que vous préciser.
Tracer la courbe représentative de f –1 dans le même repère
5°/ Calculer l’expression de f –1(x) . La fonction f –1 est elle dérivable à droite en x0 = -1 ?
6°/ Calculer (f –1)’(x) :
a) En utilisant l’expression de F –1(x) calculée précèdement .
b) En utilisant le théorème sur la dérivée de la bijection réciproque . .
EXERCICE N° 9 :
Soit la fonction définie par f(x) = 22 x .
x 1
1°/ Montrer que f est une bijection de ] 1 , +  [ sur un intervalle à préciser .
2°/ En déduire que f admet une fonction réciproque f –1 dont on donnera toutes les propriétés
Construire C f et C f –1 dans le même repère orthonormé (O , i , j ) . Expliciter f –1 .
EXERCICE N°18 :
Soit f : [ 0 , 8 ]  IR
2 3
x  ( 4 - x 3 ) 2 et soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O , i , j ).
1°/ Montrer que f est continue sur [ 0 , 8 ].
2°/ Etudier la dérivabilité de f sur [ 0 , 8 ] , déterminer f’ et en déduire les variations de f sur [ 0 , 8 ]
3°/ a) Montrer que f est une bijection de [ 0 , 8 ] sur [ 0 , 8 ].
b) Déterminer sa fonction réciproque f –1 .
c) En déduire que la droite  : y = x est un axe de symétrie de C q’elle est la tangente à C en son
point d’ordonnée nulle
d) Ecrire une équation de la tangente à C au point d’intersection de C et .
4°/ Tracer la courbe d’équation : 3 y 2
+ 3 x 2 = 4 dans le repère (O , i , j ).
Pour une bonne réussite
Signature : Dhahbi . A
Série d’exercices : Fonctions réciproques
6
Dhahbi .A