DM1_SUITES NUMERIQUES

DM1_SUITES NUMERIQUES
3 septembre 2013
Activité _Somme de cubes
1.
Problème ouvert à l’aide de l’ordinateur
Le but de ce problème est de comparer les deux sommes sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 et Sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 3 .
A. Conjecturer le lien entre les deux sommes à l’aide du logiciel adapté.
Vous pourrez calculer les premiers termes de chacune des deux suites pour 𝑛 = 1, puis pour 𝑛 = 2 etc…
B.
Démontrer cette conjecture en utilisant le raisonnement adapté.
On utilisera : sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 =
2.
𝑛(𝑛+1)
2
.
Algorithme de calcul sur calculatrice
On désire créer un algorithme permettant de donner les valeurs successives de la somme sn = ∑𝑛𝑘=1 𝑘 .
Faites tourner l’algorithme sous forme de boite et flêches ci-contre et déterminer s2 , s10, s20.
k=0
s=0
Initialisation
1ere BOUCLE : calcul de s1
…
k
0
S
0
k prend la valeur k+1
s prend la valeur s+k
S=0
Afficher k
Afficher s
1.
2.
Créer un algorithme de calcul de Sn en s’inspirant du précédent.
Essayer d’écrire ces deux algorithmes sur votre calculatrice et vérifier qu’ils tournent.
L’algorithme demande une valeur de 𝑛, en interdisant les cas farfelus, et renvoie la valeur de s n ou Sn.
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3 septembre 2013
Activité _Somme de cubes
1.
Problème ouvert à l’aide de l’ordinateur
Le but de ce problème est de comparer les deux sommes s n = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 et Sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 3 .
A. Conjecturer le lien entre les deux sommes à l’aide du logiciel adapté.
Vous pourrez calculer les premiers termes de chacune des deux suites pour 𝑛 = 1, puis pour 𝑛 = 2 etc…
Suite à la lecture des termes sur le tableur, nous pouvons émettre la
conjecture suivante : 𝑆𝑛 = 𝑠𝑛 ²
B.
Démontrer cette conjecture en utilisant le raisonnement
adapté.
On utilisera : sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 =
𝑛(𝑛+1)
2
.
Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ . Posons 𝑃𝑛 la propriété « 𝑆𝑛 = 𝑠𝑛 ² »
Démontrons 𝑃𝑛 par récurrence :
Initialisation:
Vérifions que 𝑃1 est vraie, c’est-à-dire : « 𝑆1 = 𝑠1 ² »
Or 𝑆1 = 13 = 1 = 1² = 𝑠1 ².
𝑃1 est donc vraie.
Hérédité :
Soit 𝑘 ∈ ℕ∗ . Supposons que 𝑃𝑘 est vraie c’est-à-dire « 𝑆𝑘 = 𝑠𝑘 ² ».
Montrons que 𝑃𝑘+1 est vraie c’est-à-dire « 𝑆𝑘+1 = 𝑠𝑘+1 ² =
(𝑘+1)2 [𝑘+2]²
2²
».
𝑘
3
3
3
Or : 𝑆𝑘+1 = ∑𝑘+1
𝑖=1 𝑖 = ∑𝑖=1 𝑖 + (𝑘 + 1) par décomposition de la somme.
D’où : 𝑆𝑘+1 = 𝑆𝑘 + (𝑘 + 1)3 par définition de 𝑆𝑘
Ainsi : 𝑆𝑘+1 = 𝑠𝑘 ² + (𝑘 + 1)3 grâce à l’hypothèse de récurrence
Sachant que : sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 =
𝑛(𝑛+1)
𝑘(𝑘+1)
2
2
, 𝑆𝑘+1 = (
En factorisant : 𝑆𝑘+1 = (𝑘 + 1)2 [
Finalement : 𝑆𝑘+1 =
Donc 𝑃𝑘+1 est vraie.
Conclusion :
𝑘2
4
(𝑘+1)2 [𝑘 2 +4𝑘+4]
4
)² + (𝑘 + 1)3
+ 𝑘 + 1]
=
(𝑘+1)2 [𝑘+2]²
2²
en reconnaissant une identité remarquable.
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3 septembre 2013



Nous avons vérifié que 𝑃1 est vraie.
Pour tout 𝑘 ∈ ℕ∗ , nous avons montré que si 𝑃𝑘 est vraie, alors 𝑃𝑘+1 est vraie.
Donc pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑃𝑛 est vraie.
2.
Algorithme de calcul sur calculatrice
On désire créer un algorithme permettant de donner les valeurs successives de la somme sn = ∑𝑛𝑘=1 𝑘 .
Faites tourner l’algorithme sous forme de boite et flêches ci-contre et déterminer s2 , s10, s20.
Voici les deux algorithmes dévoilés sur le logiciel PYTHON.