Modèle mathématique.

BTS CG2
M. DUFFAUD
MATHEMATIQUES - D.S. N° 1
Mercredi 16 octobre 2002 . Durée : 2 heures
(Probabilités)
BTS CG2
LES CALCULATRICES SONT AUTORISEES POUR CETTE EPREUVE,
TOUT AUTRE DOCUMENT EST FORMELEMENT INTERDIT.
IL EST BIEN ENTENDU INTERDIT PENDANT L'EPREUVE DE S'ECHANGER LES
CALCULATRICES.
Exercice 1
Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité
1)
2)
3)
4)
10
20
30
k
0,5
0,3
0,2
P(X=k)
Calculer l’espérance et la variance de X
Calculer l’espérance et la variance de Y=2X-1
Soit Y une autre variable aléatoire dont l’espérance vaut 2 et la variance 10
Déterminer l’espérance et l’écart type de Z=X-Y.
Soit U la variable aléatoire telle que U = aX+b, avec a et b deux nombres réels.
Déterminer a pour que V(U)= 549 et b sachant que E(U)= 41
Exercice 2
Une boite contient 10 boules. Sur chacune d’elles on a inscrit un nombre suivant le tableau ci
dessous
5
6
10
11
12
13
14
Nombre
inscrit
1
2
1
3
1
1
1
Nombre de
boules
Un joueur mise 10 euros, tire une boule au hasard et reçoit la somme (en euros) inscrite sur la
boule. Toute les boules ont la même probabilité d’être tirées.
1) Le joueur joue une fois. On appelle p1 la probabilité qu’il perde de l’argent (c’est à dire
qu’il reçoive moins de 10 euros à l’issue du tirage) et p2 la probabilité qu’il reçoive plus
de 10 euros.
Donner p1 et p2.
2) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le « gain » du joueur.
Par exemple si un joueur tire le nombre 12, son « gain » est +2, s’il tire le 6 son « gain »
est –4.
a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ? (il y a 7 valeurs de X
différentes)
b) Donner la loi de probabilité de X.
c) Calculer P(X>0). Interpréter ce résultat pour le joueur.
d) Calculer son espérance mathématique E(X)=m. Que représente E(X) pour le joueur ?
e) Calculer la variance et l’écart type  de X.
f) Calculer P(m -  <X) et P( X < m +  ) puis P(m -  <X< m +  )
3) Proposer une solution, en changeant un nombre inscrit sur une boule, pour que rendre ce
jeu équitable (c’est à dire pour que son espérance soit nulle).
4) Soit Y la variable aléatoire telle que Y=2X+100
a) Calculer son espérance mathématique E(Y).
b) Calculer la variance et l’écart type de Y.
c) Calculer P(Y>0) et P(X>106).
d) Trouver un exemple d’application concrète pour ce jeu de la variable Y.