Ch 06 Probabilités

Ch 06 Probabilités
I – VARIABLE ALEATOIRE ET LOI DE PROBABILITE
I.1 - Définition d’une variable aléatoire
Définition
On appelle variable aléatoire discrète toute application X de Ω dans IR. L’ensemble des valeurs
prises par X, noté X(Ω), s’appelle l’univers image de Ω par X.
Exemple
Une urne contient 8 boules (3 blanches et 5 noires). On tire successivement et sans remise 2 boules
de l’urne. Soit X la variable aléatoire qui désigne le nombre de boules blanches tirées de l’urne.
Définir X(Ω).
I.2 - Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
Définition
La loi de probabilité de X est la fonction qui à tout élément xi de X(Ω) associe la probabilité que X
prenne cette valeur xi, notée p(X = xi).
X(Ω) = {x1, x2, … ,xn }
Loi de probabilité sous forme de tableau
x
x1
x2
xn
p(X = xi)
p1
p2
pn
Exemple
Reprendre l’exemple précédent et définir la loi de probabilité de X.
Ch. 06 Lois de probabilité
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II – Espérance, VARIANCE, ECART TYPE
II.1 - Espérance mathématique
Définition
Soit X une v.a. réelle telle que X(Ω) = {x1, x2, … , xn} et pi = p(X = xi)
1 ≤ i ≤ n.
On appelle espérance mathématique de X le nombre réel E(X) défini par E(X) =
.
Exemple
Calculer E(X) sur l’exemple précédent. Que représente E(X) ?
II.2 - Variance – Ecart-type
Définition de la variance
Soit X une variable aléatoire réelle telle que X(Ω) = {x1, x2, … , xn} et pi = p(X = xi)
On appelle variance de X, notée V(X), le nombre réel défini par V(X) =
1 ≤ i ≤ n.
.
Propriété
Pour calculer la variance on utilise la formule suivante :
V(X) =
.
Ecart-type
Pour toute variable aléatoire X, on note : σ(X) =
, où σ(X) désigne l’écart-type de la v.a. X.
Exemple
Calculer la variance et l’écart-type sur l’exemple précédent.
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